Das Wichtigste in Kürze

Der Logarithmus ist eine andere Schreibweise für eine Potenz, die v.a. dann benutzt wird, wenn der Exponent gesucht ist:

\[ a^b = x \quad \leftrightarrow \quad \log_a(x) = b \]

Die Formulierung lautet wie folgt: “$a$ hoch wie viel gibt uns das Argument $x$? Es ist $b$”.

Der Logarithmus kann eine beliebige Basis (positive) $a$ haben, sofern die gleichen Anforderungen erfüllt sind, wie bei der Exponentialfunktion:

\[ a \in \mathbb{R}^+ , \quad a \neq 1 \]

Für die natürliche Basis $e$ nennen wir den Logarithmus den natürlichen Logarithmus $\log_e(x) = \ln(x)$:

\[ \ln(x) = b \quad \Leftrightarrow \quad e^b = x \]

Oft kommt auch der sog. Zehnerlogarithmus $\log_{10}(x) = \lg(x)$ vor, dessen Basis $a=10$ ist:

\[ \lg(x) = b \quad \Leftrightarrow \quad 10^b = x \]

Die Funktionswerte der Logarithmusfunktion sind in der Regel irrational und nur mit dem Taschenrechner zu berechnen.

Eigenschaften von Logarithmen für beliebige, jedoch zulässige Basen $a$:

\[ \log_a(1) = 0 \]

\[ \log_a(a) = 1 \]

\[ log_a \big( a^x \big) = x \]

\[ a^{(\log_a(x))} = x \]

Erste Ableitung Logarithmusfunktion:

\[ \frac{d}{dx}\Big(\ln(x)\Big) = \frac{1}{x} \]

\[ \frac{d}{dx}\Big(\log_a(x)\Big) = \frac{1}{\ln (a) \cdot x} \]

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Häufigste Fragen

asdf

Die Potenz $2^3 = 8$ kann auch mit Hilfe eines Logarithmus geschrieben werden:

\[ 2^3 = 8 \quad Leftrightarrow \quad \log_2(8) = 3 \]

Diese neue Notation bringt uns dann einen Mehrwert, wenn der Exponent die gesuchte Grösse ist:

\[ 2^x = 8 \]

Mit dem Logarithmus geschrieben, erhalten wir:

\[ x = \log_2(8) \]

Die Unbekannte ist auf der einen Seite der Gleichung isoliert und kann jetzt berechnet werden. In diesem einfachen Beispiel kennen wir natürlich die Lösung $x=3$, aber sonst würden wir sie mit dem Taschenrechner erhalten.

Eine Gleichung mit einem Logarithmus kann auch wieder als Potenz geschrieben werden. Wir machen dazu ein einfaches Beispiel:

\[ \log_2(x) = 3 \quad \Leftrightarrow \quad 2^3 = x \]

Wir sehen sofort, dass wir für $x$ einfach $2^3$ rechnen müssen:

\[ \underline{x=8} \]

Der Logarithmus ist in $\mathbb{R}$ für negative Argumente nicht definiert.

Die erste Ableitung des natürlichen Logarithmus ist die einfache Hyperbelfunktion:

\[ \frac{d}{dx} \ln(x) = \frac{1}{x} \]

Für eine andere Basis $a$ verwenden wir die folgende Fomel:

\[ \frac{d}{dx}\Big(\log_a(x)\Big) = \frac{1}{\ln (a) \cdot x} \]

Andere Schreibweise für eine Potenz

Der Logarithmus ist nichts anderes als eine andere Schreibweise für eine Potenz. Warum eine neue Schreibweise? Was bringt das?

Wenn wir Gleichungen lösen, dann ist die Unbekannte meistens in der Basis, z.B. $x^2$ in einer quadratischen Gleichung. Eine solche Gleichung lösen wir mit einer Wurzel, übrigens ebenfalls eine andere Schreibweise für eine Potenz.

Bei Exponentialfunktionen ist die Unbekannte im Exponenten und wir können sie mit einem Logarithmus.

\[ a^b = x \quad \leftrightarrow \quad \log_a(x) = b \]

Wir lesen den Logarithmus wie folgt:

“$a$ hoch wie viel gibt $x$? Die Lösung: $a$ hoch $b$ gibt $x$.”

Auch wenn es am Anfang etwas komisch ist, gewöhnt man sich relativ schnell daran.

Aufgrund der Eigenschaften von Potenzen, kriegen wir folgende Identität, gültig für jede Basis $a$:

\[ \log_a(1) = 0 \]

Diese Identität folgt direkt daraus, dass $a^0 = 1$, egal wie gross $a$ ist.

Aus $a^1=a$ folgt die nächste Identität:

\[ \log_a(a) = 1 \]

Damit wissen wir, dass der Logarithmus von 1 immer null ergibt und dass wir 1 kriegen, wenn wir die Basis in den Logarithmus eingeben.

Beispiel: Einfachste Anwendung

Was ist der Wert von $x$ in der folgenden Gleichung?

\[ 3^x = 243 \]

Wir können die Potenz mit dem Logarithmus umschreiben:

\[ x = \log_3(243) \]

Dazu benutzen wir den “Spuch”: “Drei hoch wie viel ist 243? Es ist x” und vergleichen mit dem, was oben geschrieben steht. Das stimmt so.

Jetzt tippen wir das so in den Taschenrechner ein und er spuckt uns das Resultat für $x$ aus:

\[ \underline{x=5} \]

In diesem einfachen Fall können wir das Resultat auch erraten. Das geht aber nur bei schönen, ganzen Zahlen. In all den anderen Fällen sind wir auf den Taschenrechner angewiesen.

Beispiel: Einfache Berechnungen ohne Taschenrechner

Berechne für die folgenden einfachen Logarithmen die Unbekannte $y$ ohne Taschenrechner:

\[ \text{a)} \;\; y = \log_2 (8), \quad \text{b)} \;\; \log_3 (y) = 3, \quad \text{c)} \;\; \log_y \Big (\frac{1}{2} \Big ) = 2 \]

Teilaufgabe a)

Wir benutzen wieder die Fragestellung, die den Logarithmus definiert: $a$ hoch wie viel gibt uns das Argument $x$? Es ist $b$.

Angewandt auf den ersten Logarithmus, heisst es: 2 hoch wie viel gibt uns das Argument 2? Es ist $y$, d.h. wir haben eigentlich die folgende Gleichung zu lösen:

\[ 2^y = 8 \]

Wir wissen natürlich, dass die Lösung 3 ist, denn $2^3 = 8$. Deshalb gilt:

\[ \underline{y = 3} \]

Teilaufgabe b)

Die Fragestellung heisst jetzt: $3$ hoch wie viel gibt uns das Argument $y$? Es ist $3$

\[ 3^3 = \underline{y = 27} \]

Teilaufgabe c)

Die Fragestellung lautet: $y$ hoch wie viel gibt uns das Argument $\frac{1}{2}$? Es ist $2$

\[ y^2 = \frac{1}{2} \quad \rightarrow \quad \underline{y = \frac{1}{\sqrt{2}}} \]

Logarithmus als Umkehrfunktion

Wir wissen, dass der Logarithmus eigentlich zu einer Potenz gehört:

\[ \log_a(x) = b \quad \Leftrightarrow \quad a^b = x \]

Wenn wir die Potenz auf der rechten Seite als unsere Funktion $f$ betrachten, dann weist sie dem Argument $b$ den Funktionswert $x$ zu. Sie nimmt ein $b$ und macht daraus eine Potenz, deren Wert $x$ entspricht:

\[ f: \; b \mapsto x, \quad f(b) = a^b = x \]

Der Logarithmus macht genau das Umgekehrte: Er nimmt das $x$ und macht daraus das passende $b$:

\[ f^{-1}: \, x \mapsto b, \quad f^{-1} = \log_a(x) = b \]

Deshalb ist der Logarithmus mit Basis $a$ die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion mit Basis $a$.

Allgemein gilt, dass wenn wir eine Funktion und ihre Umkehrung gleich nacheinander ausführen, erhalten wir wieder das ursprüngliche Argument:

\[ f(b) = f\Big( f^{-1}(x)\Big) = x \]

\[ f^{-1}(x) = f^{-1}\Big( f(b)\Big) = b \]

Der Logarithmus ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion mit der gleichen Basis:

\[ a^{\big( \log_a(x)\big)} = x \]

\[ \log_a\big( a^b \big) = b \]

Analog gilt es auch für den natürlichen Logarithmus…

\[ e^{\big( \ln(x)\big)} = x \]

\[ \ln\big( e^b \big) = b \]

…und für den Zehnerlogarithmus:

\[ 10^{\big( \lg(x)\big)} = x \]

\[ \lg\big( 10^b \big) = b \]

Beispiel: Zellteilungen

Wie viele Zellteilungen braucht es, damit aus einer Zelle mindestens Tausend bzw. eine Million Zellen entstanden sind?

Es geht hier um eine Exponentialfunktion mit der Basis 2, denn Zellen verdoppeln sich bei einer Zellteilung:

\[ f(x) = 2^x \]

Die Fragestellung der Aufgabe ist die Folgende:

\[ 2^{x_1} \geq 1’000 \quad x_1 = ? \]

\[ 2^{x_2} \geq 1’000’000 \quad x_2 = ? \]

Diese Potenzen mit dem Logarithmus ausgedrückt, geben uns:

\[ x_1 = \log_2(1’000) \]

\[ x_2 = \log_2(1’000’000) \]

Der Taschenrechner liefert uns das Ergebnis:

\[ x_1 = \log_2(1’000) \approx 9.966 \]

\[ x_2 = \log_2(1’000’000) \approx 19.931 \]

Da die Werte nahe bei 10 bzw. 20 liegen, schauen wir uns die ganzzahligen Vergleichswerte an, denn es gibt ja nur ganzzahlige Zellteilungen:

\[ 2^{10} = 1’024 > 1’000 \]

\[ 2^{20} = 1’048’576 > 1’000’000\]

Damit wissen wir, dass nach 10 bzw. 20 Zellteilungen, wir mehr als Tausend bzw. eine Million Zellen haben.

Gleichungen mit Logarithmus lösen

Wenn wir eine Exponentialgleichung haben und die Unbekannte im Exponenten ist, können wir sie sehr einfach mit dem “Gegenmittel Logarithmus” ???? lösen, wie wir im nachfolgenden Beispiel zeigen.

Beispiel: Lösen einer Exponentialgleichung

Welcher Wert von $x$ erfüllt die folgende Gleichung?

\[ \frac{e^{(x+1)}}{3} = 1 \]

Unsere Unbekannte ist im Exponenten, d.h. es handelt sich um eine Exponentialgleichung. Die Basis der Potenz ist $e$.

Als Erstes multiplizieren wir mit 3, um den Bruch los zu werden:

\[ e^{(x+1)} = 3 \]

Jetzt wenden wir den natürlichen Logarithmus (ebenfalls mit Basis $e$) auf beide Seiten der Gleichung an:

\[ \ln\Big( e^{(x+1)} \Big) = \ln \big( 3 \big) \]

Rechts haben wir etwas, was wir einfach in den Taschenrechner eingeben können.

Links haben wir den natürlichen Logarithmus einer Potenz, ebenfalls mit Basis $e$. Das Eine ist die Umkehrfunktion des Anderen. Die Wirkungen heben sich gegenseitig auf.

Wir geben $(x+1)$ in die Exponentialfunktion hinein, widerrufen dies aber gleich wieder, indem wir anschliessend das Ganze in den natürlichen Logarithmus geben. Wir können $(x+1)$ auch einfach sein lassen:

\[ \ln\Big( e^{(x+1)} \Big) = (x+1) \]

Wenn die linke Seite jetzt also nur $(x+1)$ ist, ergibt sich:

\[ x+1 = \ln(3) \]

Wir subtrahieren 1 und geben das in den Taschenrechner ein:

\[ x = \ln(3) -1 = \underline{0.0986…} \]

“Nichts steigt langsamer als der Logarithmus!”

Graph des Logarithmus

Da der Logarithmus die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion (mit der gleichen Basis) ist, erhalten wir den Graphen des Logarithmus mit einer Spiegelung an der 45°-Geraden $(y=x)$.

Wir wählen die natürliche Basis $e$ :

Wir sehen, dass der Logarithmus nur auf der rechten Hälfte vorkommt, d.h. nur für $x>0$.

Für $x$-Werte, die nahe zu null liegen, fällt der Logarithmus fast senkrecht runter ins Negative. Das ist eine Asymptote, die wir wie folgt ausdrücken können:

\[ \lim_{x \rightarrow 0}\Big( \log(x) \Big) \rightarrow -\infty\]

Nach rechts steigt der Logarithmus und flacht immer mehr ab. Es wichtig zu wissen, dass er nie komplett abflacht, d.h. er steigt immer weiter, wenn auch immer weniger schnell.

Der Logarithmus ist, je weiter rechts wir gehen, die langsamste, steigende Funktion überhaupt!

Weil der Logarithmus aber trotz allem immer noch weiter steigt, gibt es keinen Grenzwert, den er anstrebt, sondern er steigt ins Unendliche: ????

\[ \lim_{x \rightarrow \infty}\Big( \log(x) \Big) \rightarrow +\infty\]

“Obwohl der Logarithmus immer mehr abflacht, erreicht er die Unendlichkeit…irgendwann…aber definitiv als letzter aller Funktionen.”

Beispiel: Graphen bestimmen

Bestimme die Basen der drei Logarithmusfunktionen im folgenden Graphen:

Wir schneiden die Logarithmusfunktionen auf der Höhe $x=1$ und erhalten eine erste $x$-Koordinate durch den Schnittpunkt (2,1) mit der blauen Kurve. Das ist der Logarithmus zur Basis 2, denn…

\[ \log_a(x=2) = 1 \quad \Leftrightarrow \quad a^1 = 2 \]

Also ist einfach

\[ \underline{a = 2} \]

Den zweiten Schnittpunkt erhalten wir mit der grünen Kurve bei ca. 2.71. Das ist höchstwahrscheinlich die Basis $e$.

Die rote Kurve wird auf der Höhe 1 geschnitten in (10,1). Sie ist demnach der Verlauf für den Zehnerlogarithmus. Damit haben wir die Kurven identifiziert:

  • Blaue Kurve: $\log_2(x), \quad \underline{a=2}$
  • Grüne Kurve: $\log_e(x) = \ln(x), \quad \underline{a=e}$
  • Rote Kurve: $\log_10(x), \quad \underline{a=10}$

Logarithmen für Basen a<1

Für die Basis haben wir uns bis hierher auf $a>1$ beschränkt, wie z.B. $a=2$, $a=e$ oder $a=10$. Wie steht es mit sehr kleinen Basen aus, die zwar positiv (Bedingung!), aber kleiner als 1 sind? Wie wäre z.B. der Verlauf eines Logarithmus mit Basis $a=\frac{1}{2}$ ?

Für diese Basis gilt beispielsweise:

\[ \log_{(1/2)}\Big( \frac{1}{2} \Big) = 1 \quad \Leftrightarrow \quad \Big( \frac{1}{2} \Big)^1 = \frac{1}{2} \]

\[ \log_{(1/2)} (2) = -1 \quad \Leftrightarrow \quad \Big( \frac{1}{2} \Big)^{-1} = \frac{1}{2^{-1}} = 2^1 = 2 \]

Ausserdem wird diese Kurve auch durch den Punkt B(1,0) gehen, der allen Logarithmen gemeinsam ist. Wir haben somit die folgenden drei Punkte, die diese Kurve ausmachen:

\[ (\frac{1}{2},1), \;\; B(1,0), \;\; (2,-1)\]

Es ist eine fallende Kurve, die von oben links oben nach unten rechts abfällt. In der folgenden Grafik ist es die blaue Kurve:

Ableitung Logarithmus

Die Ableitung der Logarithmusfunktion erhalten wir sehr einfach mit Hilfe der Ableitung einer Umkehrfunktion. Sie wird dort als Beispiel vorgerechnet. Der Logarithmus ist ja die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion.

Erste Ableitung Logarithmusfunktion:

\[ \frac{d}{dx}\Big(\ln(x)\Big) = \frac{1}{x} \]

\[ \frac{d}{dx}\Big(\log_a(x)\Big) = \frac{1}{\ln (a) \cdot x} \]

Beispiel: Steigung in der Nullstelle

Welche Steigung hat der natürliche Logarithmus in seiner Nullstelle?

Wir wissen ja, dass der Logarithmus von links unten $(-\infty)$ kommt und dann nach rechts oben in die Unendlichkeit ansteigt. Irgendwo muss er somit die $x$-Achse kreuzen und eine Nullstelle haben.

Aus der Definition des natürlichen Logarithmus folgt:

\[ y = \ln(x) = \log_e(x) \quad \Leftightarrow \quad e^y = x \]

Für die Nullstelle gilt $y=0$. Somit:

\[ 0 = \ln(x) = \log_e(x) \quad \Leftightarrow \quad e^0 = x \]

Es folgt natürlich, dass $x=1$, da jede Potenz mit null im Exponenten eins ergibt. Unsere Nullstelle ist somit der Punkt B(1,0).

Jetzt nehmen wir die erste Ableitung des natürlichen Logarithmus:

\[ \frac{d}{dx} \ln(x) = \frac{1}{x} \]

Für $x=1$ erhalten wir somit eine Steigung 1.

Lernziele

  • Du weisst, wie der Logarithmus definiert ist und wie die Fragestellung heisst, mit welcher du dir die Bedeutung des Logarithmus merken solltest. Du kannst den Logarithmus in eine äquivalente Potenz umwandeln und umgekehrt.
  • Du weisst, dass der Logarithmus das schwächste Wachstum überhaupt hat und somit die geringste Mächtigkeit hat, auch wenn die Logarithmusfunktion anfangs (für kleine x) unendlich steil ist.
  • Du weisst, dass der Logarithmus die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion ist.
  • Du weisst, dass der Logarithmus einer Potenz (mit gleicher Basis) und die Potenz eines Logarithmus (mit gleicher Basis) sich gegenseitig aufheben und wir damit einen Logarithmus oder eine Potenz (mit Unbekannter im Exponenten) weg kriegen.
  • Du kannst Exponentialgleichungen lösen, indem du den Logarithmus auf die ganze Gleichung anwendest.
  • Du kannst den Verlauf der Logarithmusfunktion zu einer gegeben Basis a zeichnen.
  • Du kannst die Logarithmusfunktion ableiten.

Mini-Test

(zu diesem Thema gibt es noch keinen Mini-Test)

Weitere Links

Aufgabensammlung

  • Logarithmen (5048) – Aufg. 1

    4 Teilaufgaben (pdf/Video-Lösung):
    Verlauf von Logarithmusfunktionen zeichnen

  • Logarithmen (5048) – Aufg. 2

    5 Teilaufgaben (pdf/Video-Lösung):
    Exponentialgleichungen mit Logarithmus lösen

  • Logarithmen (5048) – Aufg. 3

    1 Aufgabe (pdf/Video-Lösung):
    Rätselaufgabe (Textaufgabe)

  • Logarithmen (5048) – Aufg. 4

    3 Teilaufgaben (pdf/Video-Lösung):
    Exponentielles Wachstum (Textaufgabe)

  • Logarithmen (5048) – Aufg. 5

    5 Teilaufgaben (pdf/Video-Lösung):
    Exponentialgleichungen ohne Taschenrechner lösen

  • Logarithmen (5048) – Aufg. 6

    5 Teilaufgaben (pdf/Video-Lösung):
    Logarithmen ohne Taschenrechner berechnen