Das Wichtigste in Kürze

Die Exponentialfunktion ist eine Potenz mit Basis $a$ und der Funktionsvariablen (meist $x$ oder $t$) im Exponenten:

\[ f(x) = f_0 \cdot a^{(x/\lambda)} \qquad \qquad f(t) = f_0 \cdot a^{(t/\tau)} \]

Die Basis $a$ darf nicht eins sein ($a \neq 1$) und muss positiv sein ($a > 0$ bzw. $a \in \mathbb{R}^+$).

Exponentielles Wachstum $(a>1)$: Die Exponentialfunktion wächst so, dass der Funktionswert in regelmässigen Abständen mit dem gleichen Faktor (Basis $a$) multipliziert wird.

Es ist am Anfang erstaunlicherweise sehr langsam, “explodiert” aber irgendwann und überholt alle anderen Funktionsarten. Die Exponentialfunktion hat deshalb in der Diskussion der Grenzwerte die höchste Mächtigkeit.

Die Wachstumsrate (Steigung) des exponentiellen Wachstums ist selber wieder exponentiell.

Aufgrund dieser Eigenschaft haben wir exponentielles Wachstum bei biologischen Vermehrungsprozessen, Zinseszinsrechnungen oder Kettenreaktionen der Physik oder Chemie.

Exponentieller Zerfall: $0<a<1$: Mit jedem Einerschritt der Funktionsvariable wird der Funktionswert kleiner, da $a<1$. Der Funktionswert bleibt aber immer positiv und nähert sich dem Wert null an.

Ableitung Exponentialfunktion:

\[ \frac{d}{dx}\Big(e^x\Big) = e^x \]

\[ \frac{d}{dx}\Big(a^x\Big) = (\ln a)\cdot a^x \]

Die erste Ableitungsfunktion der Exponentialfunktion ist selber wieder die Exponentialfunktion.

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Häufigste Fragen

Eine Exponentialfunktion ist eine Funktion mit einer konstanten Basis $a$ und der Funktionsvariablen (z.B. $x$) im Exponenten der Potenz, z.B.

\[ f(x) = a^x \]

Mit jedem Einerschritt der Variablen, wird der Funktionswert mit der Basis multipliziert.

So ist die Anzahl Zellen einer Zellkultur, die sich in regelmässigen Zeitabschnitten verdoppelt (Basis 2) eine Exponentialfunktion der Zeit, d.h. wir finden in der Funktionsgleichung den Ausdruck $2^t$ vor.

Aus der Funktionsgleichung einer Exponentialfunktion können wir die Basis und die Konstante $\tau$ oder $\lambda$ (griechischer Buchstaben “tau” bzw. “lambda”) ablesen:

\[ f(x) = f_0 \cdot a^{(x/\lambda)} \qquad \qquad f(t) = f_0 \cdot a^{(t/\tau)} \]

Die Basis $a$ beschreibt, mit welchem Faktor der Funktionswert multipliziert wird, wenn die Funktionsvariable $x$ oder $t$ um eins zunimmt.

Die Konstanten $\tau$ bzw. $\lambda$ stellen die “Steilheit” der Funktion ein, d.h. wie stark die Exponentialfunktion zunimmt bzw. abklingt. Je kleiner die Werte von $\tau$ oder $\lambda$, desto steiler die Funktion.

Nein, die Exponentialfunktion produziert ausschliesslich positive Funktionswerte, d.h. sie kreuzt die horizontale Achse nie.

Oft wird der Wert der Variablen $x$ bzw. $t$ gesucht, der einen bestimmten Funktionswert ergibt. Da die Variable im Exponenten steht, kann die Gleichung mit einem Logarithmus gelöst werden.

Beispielsweise erreicht die Exponentialfunktion $2^x$ den Funktionswert 8, wenn $x=3$ ist. Wir erhalten das mit dem Logarithmus über die ganze Gleichung:

\[ 2^x \stackrel{!}{=} 8 \]

\[ \log_2 (2^x) = \log_2 (8) \quad \rightarrow \quad x = \log_2(8) = 3 \]

Wenn die Basis $a>1$ ist, wird bei jedem Zuwachs um 1 der Funktionsvariablen $x$ bzw. $t$ der Funktionswert mit einem Faktor $a$ multipliziert.

Bakterien können sich durch Zellteilung vermehren. Die Anzahl Bakterien in der Kultur wird nach jedem gleichen Zeitabstand mit 2 multipliziert.

Aus einem Bakterium werden 2, 4, 8, 16, 32 usw. Dieses Wachstum ist exponentielles Wachstum und wird mit einer Exponentialfunktion mit Basis $a=2$ beschrieben.

Wenn die Basis $a<1$ ist, wird bei jedem Zuwachs um 1 der Funktionsvariablen $x$ bzw. $t$ der Funktionswert mit dem Faktor $a$ multipliziert, so dass er kleiner wird.

Wir haben z.B. folgende Funktion:

\[ f(x) = 16 \cdot \Big(\frac{1}{2}\Big)^x \]

In diesem Fall macht die Basis $a=\frac{1}{2}$, dass der Funktionswert mit jedem Einerschritt von $x$ halbiert wird.

Wir starten mit 16 und hätten dann 8, 4, 2, 1 etc. Ein exponentieller Zerfall verläuft umgekehrt zu einem exponentiellen Wachstum.

Für das eindeutige Festlegen einer Exponentialfunktion reichen zwei Parameter oder zwei Punkte aus, durch welche die Funktion verläuft.

\[ f(x) = f_0 \cdot a^{(x/\lambda)} \qquad \qquad f(t) = f_0 \cdot a^{(t/\tau)} \]

Mit den Parametern $\lambda$ bzw. $\tau$ können wir einstellen, wie steil die Kurve verläuft. Was wir jedoch nicht einstellen können, ist der Achsabschnitt.

Dazu muss der Parameter $f_0$ entsprechend eingestellt werden. Er bestimmt den Achsabschnitt.

Wenn wir zwei Punkte haben, durch welche die Funktion verläuft, können wir durch einsetzen der Koordinatenwerte in die Funktionsgleichung pro Punkt eine Gleichung erhalten. Das Gleichungssystem von zwei Gleichungen lösen und schon haben wir die beiden unbekannten Parameter bestimmt.

“Exponentielles Wachstum: Am Anfang am langsamsten – plötzlich explodiert es und überholt alles”

Exponentielles Wachstum

Das exponentiellen Wachstum ist besonders, weil es das grösste Wachstum überhaupt ist. Interessanterweise wächst es aber am Anfang viel schwächer als andere Funktionen.

Fast plötzlich “explodiert” es und lässt alle anderen Funktionen hinter sich.

In der nachfolgenden Tabelle vergleichen wir eine lineare, eine quadratische und eine exponentielle Funktion:

  • Lineare Funktion: $f(t) = 2t – 1$
  • Quadratische Funktion: $f(t) = t^2$
  • Exponentialfunktion: $f(t) = 0.5 \cdot 2^t$
PunktABCDEFGHI
Zeit t (in s)123456789
Lineare Funktion1357911131517
$\Delta$+2+2+2+2+2+2+2+2
Quadratische Funktion149162536496481
$\Delta$+3+5+7+9+11+13+15+17
Exponentialfunktion1248163264128256
$\Delta$+1+2+4+8+16+32+64+128

Alle drei Funktionen starten bei 1 und wachsen unterschiedlich schnell an. Die Zeile $\Delta$ zeigt uns, um wie viel der Funktionswert von Punkt zu Punkt zunimmt.

Bei der linearen Funktion kommt jedes Mal der gleiche Wert (+2) hinzu, wie bei einer Treppe. Es ist die Wachstumsrate bzw. die Steigung der Funktion. Bei der linearen Funktion ist die Steigung erwartungsgemäss konstant.

Die quadratische Funktion nimmt schneller zu. Wir sehen, dass die Steigung (Wachstumsrate $\Delta$) bei +3 startet und dann selber linear zunimmt. In der Differenzialrechnung werden wir sehen, dass das kein Zufall ist: Die Steigung einer quadratischen Funktion ist immer linear.

Die Exponentialfunktion, die wir hier anschauen, startet ebenfalls bei 1 und verdoppelt sich mit jedem Schritt. Hier fällt uns auf, dass die Zuwachsrate $\Delta$ selber wie eine Exponentialfunktion ist.

Im Vergleich der drei Funktionen erkennen wir, dass die lineare Funktion (grün) am langsamsten zunimmt und die Exponentialfunktion (rot) am stärksten. Interessanterweise ist aber die Exponentialfunktion ganz am Anfang die Langsamste! ????

Erst im Punkt D überholt die Exponentialfunktion (rot) die lineare Funktion (grün) und zwischen F und G auch die quadratische Funktion (blau).

Verdoppelungsfunktion

Schauen wir uns eine einfache Exponentialfunktion an mit Basis $a=2$:

\[ f(x) = 2^x \]

Mit jeder Erhöhung von $x$ um eins, verdoppelt sich der Funktionswert oder es kommt genau so viel dazu, wie es schon hat.

Beachte: Am Anfang ist der Unterschied nicht so klar zwischen einer Exponentialfunktion und einer Potenzfunktion, denn auch die Exponentialfunktion ist ja eine Potenz. Das Argument $x$ bzw. $t$ ist bei der Exponentialfunktion im Exponenten.

Vergleiche dazu eine Potenzfunktion (z.B. $f(x)=x^3$). Sie hat das Argument $x$ in der Basis der Potenz.

Der Punkt A ist ein gemeinsamer Punkt, denn er ist allen Exponentialfunktionen gemeinsam (abgesehen vom Vorfaktor):

\[ f(x) = a^x \quad \rightarrow \quad a^0 = 1 \quad (\forall a \in \mathbb{R}^+, \; a \neq 1 )\]

Egal welche Basis $a$ wir haben, an der Stelle $x=0$ erhalten wir immer den Funktionswert 1, d.h. alle Exponentialfunktionen mit allen möglichen Basen verlaufen durch den Punkt A(0,1).

Der Punkt bei $x=1$ B(1,2) verrät uns die Basis 2, denn

\[ f(x) = a^x \quad \rightarrow \quad a^1 = a \]

Exponentielles Wachstum Beispiele

Wenn eine Funktion gerade so stark anwächst, wie sie ist (wenn die Steigung gleich ist, wie die Funktion selber), dann haben wir exponentielles Wachstum.

Aufgrund dieser Eigenschaft finden wir viele Beispiele, wo sich exponentielles Wachstum einstellt:

  • Biologie: Die Anzahl neuer Zellen/Bakterien hängt ab von der Anzahl bestehender Zellen/Bakterien, die die Neuen produzieren.
  • Finanzmathematik: Die Zinserträge sind abhängig von der Höhe des Kapitals, das diese abwirft.
  • Physik: Die Anzahl freier Neutronen, die Urankerne spalten können, ist abhängig von der Anzahl Urankerne, die gespalten worden sind. (Kettenreaktion) ????

Beispiel: Verzinsung eines Sparguthabens

Ein Sparguthaben von CHF 20’000 wird zu einem jährlichen Zins von $z=\;$5% angelegt. Wie viel beträgt das Guthaben nach 15 Jahren inkl. Zinseszins?

Zu Beginn haben wir $K_0 = 20’000$. Nach einem Jahr haben wir einen Zins zugut, d.h. zum Anfangskapital $K_0$ kommt noch $K_0 \cdot z$ hinzu oder wir multiplizieren einfach $K_0$ mit $(1+z)$:

\[ K(1) = K_0 \cdot (1 + z) \quad (a)\]

Mit jedem Jahr multiplizieren wir dem Faktor $(1+z)$, d.h. das ist unsere Basis unserer Exponentialfunktion.

Nach zwei Jahren kommt zu K(1) ein weiterer Zins dazu, d.h. wir benutzen wieder die gleiche Formel, setzen aber $(a)$ für $K(1)$ ein:

\[ K(2) = K(1) \cdot (1 + z) = \Big ( K_0 \cdot (1 + z) \Big ) \cdot (1+z) = K_0 \cdot (1 + z)^2 \]

Analog erhalten wir:

\[ K(3) = K_0 \cdot (1 + z)^3 \]

\[ K(4) = K_0 \cdot (1 + z)^4 \]

Nach 15 Jahren haben wir:

\[ K(15) = K_0 \cdot (1 + z)^{15} = 20’000 \cdot (1+0.05)^{15} = 20’000 \cdot 2.079 \approx \underline{41’579} \]

Das lange Warten hat sich gelohnt, denn das Kapital hat sich in den Jahren mehr als verdoppelt.

Exponentieller Zerfall

Etwas weniger bekannt ist der exponentielle Zerfall, der aber auch oft vokommt, z.B. in der Physik: radioaktiver Zerfall, Abkühlung, Entladung Kondensator.

Ist die Basis $a < 1$ (z.B. $a=\frac{1}{2}$), dann wird bei jedem Einerschritt der aktuelle Funktionswert mit $\frac{1}{2}$ multipliziert bzw. halbiert.

Dabei wird der Funktionswert immer kleiner, bleibt aber positiv: Wir haben dann den Fall des exponentiellen Zerfalls. Der Verlauf der Funktion geht wieder durch den gemeinsamen Punkt A und wir erkennen die Basis anhand des Funktionswerts im Punkt B.

Für immer grösser werdende $x$ wird ja der Funktionswert zunehmend kleiner, bleibt aber positiv. Er nähert sich dem Wert null an, obwohl er diesen nie erreicht. Man kann höchstens sagen, dass für $x \rightarrow \infty$ gilt $f(x) \rightarrow 0$ oder mit dem Grenzwert:

\[ \lim_{x \rightarrow \infty} f(x) = 0 \] 

Man nennt das auch asymptotische Annäherung der Funktion an die x-Achse, die in diesem Fall die Asymptote ist.

Der exponentielle Zerfall ist einfach das exponentielle Wachstum im “Rückwärtsgang”. Der Verlauf der Funktion wurde an der $y$-Achse gespiegelt.

\[ 2^x \quad \rightarrow \quad 2^{(-x)} = 2^{(-1) \cdot x} = \Big( 2^{-1} \Big)^x = \Big( \frac{1}{2} \Big)^x \]

Beispiel: Radioaktiver Zerfall (C-14)

Die ältesten Funde von Homo sapiens Knochen in Europa konnten mit der Radiokarbonmethode datiert werden. Die Konzentration von C-14 in den Knochen war dabei etwas grösser als $\frac{1}{128}$ der Normalkonzentration.

Schätze daraus das Alter der Knochen ab, wenn die Halbwertszeit von C-14 rund 5730 Jahre beträgt. ????

Wenn die C-14-Konzentration nur noch $\frac{1}{128}$ der Normalkonzentration beträgt, hat sie sich schon 7-mal halbiert:

\[ \frac{1}{128} = \Big ( \frac{1}{2^7} \Big ) = \Big ( \frac{1}{2} \Big )^7 \]

Damit haben wir etwa die 7-fache Halbwertszeit, d.h.

\[ 7 \cdot 5730 = \underline{40’110} \]

Der Fund ist somit ca. 40’000 Jahre alt.

Wenn der exponentielle Zerfall nicht zu null abklingt, sondern zu einem anderen Wert hin, dann spricht man von einer exponentiellen Abklingfunktion, z.B. der zeitliche Temperaturverlauf eines sich abkühlenden Gegenstands.

In der Wissenschaft und Technik haben wir oft auch eine Funktion, die sich von unten an einen höheren Wert anschmiegt. Eine solche Funktion nennen wir eine exponentielle Sättigungsfunktion oder ein beschränktes Wachstum (Sättigungskurve), z.B. beim Ansteigen einer Konzentration eines Stoffs in der Umgebung.

Ableitung Exponentialfunktion

Ableitung Exponentialfunktion:

\[ \frac{d}{dx}\Big(e^x\Big) = e^x \]

\[ \frac{d}{dx}\Big(a^x\Big) = (\ln a)\cdot a^x \]

Die erste Ableitungsfunktion der Exponentialfunktion ist selber wieder die Exponentialfunktion.

“Die einfachste Differentialgleichung kommt in der Natur oft vor. Deshalb sind viele Abläufe ein exponentielles Wachstum bzw. ein exponentieller Zerfall”

Lösung der einfachsten Differentialgleichung

Eine Differentialgleichung ist eine Gleichung mit Ableitungsfunktionen. Die einfachste Differentialgleichung ist die Gleichheit von Funktion und ihrer ersten Ableitungsfunktion:

\[ f'(x) = f(x) \]

Was ist die Lösung dieser Differentialgleichung? Es ist die Funktion $f(x)$, die diese Gleichung erfüllt.

Die einzige Funktion, die eine solche Gleichung erfüllen kann, ist eben die Exponentialfunktion $f(x)=e^x$, denn:

\[ f'(x) = \frac{d}{dx}\Big(e^x\Big) = e^x = f(x) \]

Die einfachste Differentialgleichung kommt in der Natur oft vor: Die Zuwachsrate von Lebewesen ist proportional zu der bereits anwesenden Anzahl Lebewesen. Je mehr Eltern, desto mehr Junge gibt es. Resultat: Exponentielles Wachstum. Das gilt eigentlich für alle Lebewesen, inkl. dem Menschen. Wir schauen uns aber den etwas anschaulicheren Fall der Bakterienpopulation an.

Beispiel: Wachstumsrate einer Bakterienpopulation

Die Population einer Bakterienart verdopple sich alle 15 Minuten. Wie viele Bakterien kommen nach Ablauf der ersten zwei Stunden pro Minute hinzu, wenn wir zu Anfang 1 Milliarde Bakterien haben? ????

Wir starten bei der Anfangspopulation von $n_0=10^9$ und verdoppeln, wenn $t$ um eins zunimmt, d.h. wir messen die Zeit in Viertelstunden.

\[ n(t)=n_0\cdot2^t \]

Die gesuchte Zuwachsrate erhalten wir durch die Ableitung der Funktion $n(t)$:

\[ \frac{d}{dt}n(t) = \frac{d}{dt}\Big(n_0\cdot2^t\Big) \]

\[ = n_0\cdot\frac{d}{dt}\big(2^t\big) = n_0\cdot\big(\ln(2)\cdot2^t\big) \]

Wir können jetzt einsetzen: $t = 8$ (8 Viertelstunden ergeben 2 Stunden) und $n_0=10^9$:

\[ \frac{d}{dt}n(t) = 10^9\cdot\big(\ln(2)\cdot2^8\big) \]

\[ = 177\cdot10^9 \;\;(15\;\text{min})^{-1} \]

Nach zwei Stunden ist die Zuwachsrate fast 200 Milliarden pro Viertelstunde, d.h. rund 15-mal weniger pro Minute:

\[ \frac{d}{dt}n(t) = \underline{11.8\cdot 10^9\;\text{min}^{-1}} \]

Lernziele

  • Du weisst, wie eine Exponentialfunktion definiert ist und welche Grundstruktur sie hat, v.a. die Funktionsvariable im Exponenten.
  • Du kennst die Bedeutung der Basis einer Exponentialfunktion: Sie muss positiv sein. Ist sie grösser 1, haben wir exponentielles Wachstum. Ist sie kleiner 1, exponentiellen Zerfall.
  • Die Funktionswerte einer Exponentialfunktion sind in jedem Fall positiv, selbst für den exponentiellen Zerfall
  • Du weisst, dass bei einer linearen Funktion mit jedem Einerschritt der Funktionsvariable ein konstanter Betrag zum Funktionswert hinzuaddiert wird und dass es bei der Exponentialfunktion eine Multiplikation mit einem konstanten Faktor ist.
  • Du weisst, dass das exponentielle Wachstum am Anfang erstaunlicherweise sehr langsam ist, dann aber “explodiert” und alle anderen Funktionsarten übertrifft.
  • Du weisst, dass die Steigung (Wachstumsrate) bzw. erste Ableitungsfunktion einer Exponentialfunktion, selber wieder eine Exponentialfunktion ist.

Mini-Test

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Weitere Links

Aufgabensammlung

  • Exponentialfunktionen (5047) – Aufg. 1

  • Exponentialfunktionen (5047) – Aufg. 2

  • Exponentialfunktionen (5047) – Aufg. 3

  • Exponentialfunktionen (5047) – Aufg. 4

  • Exponentialfunktionen (5047) – Aufg. 5

  • Logarithmen (5048) – Aufg. 2

    5 Teilaufgaben (pdf/Video-Lösung):
    Exponentialgleichungen mit Logarithmus lösen

  • Logarithmen (5048) – Aufg. 4

    3 Teilaufgaben (pdf/Video-Lösung):
    Exponentielles Wachstum (Textaufgabe)

  • Logarithmen (5048) – Aufg. 5

    5 Teilaufgaben (pdf/Video-Lösung):
    Exponentialgleichungen ohne Taschenrechner lösen