Das Wichtigste in Kürze

Ein Polynom ist die Summe von Potenzen einer Variablen (z.B. $x$) mit Koeffizienten $a_i$ (Vorfaktoren).

\[ f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + … + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 \]

Das ist die übliche Normalform mit absteigender Potenz. Der ganze Ausduck kann auch als Polynomfunktion der Variablen $x$ gesehen werden.

Der Exponent der grössten vorkommenden Potenz bestimmt den Grad $\boldsymbol{n}$ des Polynoms.

Das Polynom kann auch geschrieben werden mit einem Summenzeichen:

\[ \sum_{k=0}^{n}a_k x^k \]

Oft können Polynome auch ganz oder teilweise in Produktform ausgedrückt werden, d.h. als Produkt von vielen Faktoren $(x-x_k)$:

\[ (x-x_n)(x-x_{n-1})\cdot…\cdot(x-x_3)(x-x_2)(x-x_1) \]

Die Koeffizienten $x_1$, $x_2$ etc. entsprechen den Nullstellen. Das Polynom kann nur insoweit in Produktform umgewandelt werden, wie es auch Nullstellen hat.

Die Ableitung einer Potenzfunktion wird gebildet, indem zuerst mit dem Exponenten multipliziert und dieser dann um eins reduziert wird:

\[ f(x)=x^n \quad \rightarrow \quad f'(x)=n \cdot x^{n-1} \]

Mit Hilfe der Summen- und der Faktorregel der Differentialrechnung, können wir die einzelnen Potenz-Terme ableiten und dann am Schluss wieder zusammenzählen.

Häufigste Fragen

Polynome sind in ihrer Normalform Summen von Potenzen. Wenn $x$ die Variable der Funktion ist, dann ist es eine Summe von $x$-Potenzen. Meistens steht vor jeder Potenz noch ein Faktor, z.B.

\[ 2 x^3 + 4 x^2 – 8 x +9 \]

Wenn das Polynom noch nicht in Normalform steht, muss es zuerst ausmultipliziert werden, z.B.

\[ (x-2)^3 = x^3 -6x^2 + 12x -8 \]

Wann ist eine Funktion kein Polynom?

Sobald in der Funktionsgleichung andere Terme vorkommen, die nicht einer Potenz mit Vorfaktor der Funktionsvariablen entsprechen, ist die Funktion keine Polynomfunktion, z.B.

\[ x^3 – \cos(x) + 2^x – \frac{2}{x} \]

Das ist z.B. dann der Fall, wenn Terme negative Exponenten haben (gebrochenrationale Funktionen), trigonometrische Funktionen, Exponentialfunktionen, Logarithmen enthalten etc.

Der Grad eines Polynoms entspricht der grössten vorkommenden Potenz, wenn das Polynom in Normalform ausmultipliziert ist.

Beispielsweise hat die folgende Funktion den Grad 3:

\[ f(x) = (x+1)^2 \cdot x \]

Wenn wir zuerst die erste Klammer mit Hilfe der binomischen Formel ausmultiplizieren, erhalten wir:

\[ f(x) = (x^2 + 2x + 1) \cdot x \]

Das gibt uns die Normalform:

\[ f(x) = x^3 + 2x^2 + x \]

Die dritte Potenz ist die Grösste und das Polynom hat den Grad 3.

Eine Polynomfunktion hat höchstens so viele Nullstellen, wie der höchst vorkommende Exponent (Grad des Polynoms). Es kann aber sein, dass die Anzahl Nullstellen kleiner ist.

Beispielsweise hat die Funktion $f$ 0, 1 oder 2 Nullstellen:

\[ f(x) = x^2 – x – 1 \]

Bei einem ungeraden Grad, gibt es mindestens eine Nullstelle. Bei einem geraden Grad kann es null Nullstellen geben (z.B. eine Parabel mit Grad 2, die über der $x$-Achse schwebt)

Was ist ein Polynom?

Polynome sind Summen von Potenzen einer Variable. Jede einzelne Potenz kann zudem mit einem Faktor multipliziert sein.

Hier ein Beispiel eines Polynoms dritten Grades, weil die höchste vorkommende Potenz ein $x^3$ ist:

\[ x^3 – 4x^2 – 3x + 18 \]

Die vorher erwähnten Faktoren bzw. Koeffizienten betragen hier:

  • 1 für die dritte Potenz ($x^3$)
  • (-4) für die zweite Potenz ($x^2$)
  • (-3) für die erste Potenz ($x^1=x$) und
  • 18 für die nullte Potenz ($x^0=1$). Wir können dieses Polynom auch folgendermassen schreiben:

\[ 1 \cdot (x^3) + (-4) \cdot (x^2) + (-3) \cdot x + 18 \cdot 1 \]

Wenn wir dieses Polynom verallgemeinern, mit den Faktoren $a_3$, $a_2$ bis $a_0$ erhalten wir:

\[ a_3 \cdot (x^3) + a_2 \cdot (x^2) + a_1 \cdot x + a_0 \qquad (a_i=0 \quad \forall i>3) \]

Beachte die Klammer am Schluss. Sie besagt, dass es noch weitere Faktoren $a_i$ gibt, wobei wir für $i$ eine beliebige natürliche Zahl uns vorstellen können, z.B. $a_4, a_5, …., a_{29}, …$ etc. Diese sind aber alle null für alle Indizes, die grösser 3 sind. ????

Ausdrücken eines Polynoms mit Summenzeichen

Jetzt kehren wir die Reihenfolge der Summanden um:

\[ a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + a_4 x^4 + … + a_n x^n + … \]

Stell dir vor, wir hätten mit $i$ eine Zählvariable, die nacheinander die Werte $0, 1, 2, 3, 4, … , n, …$ annimmt. Mit dem Summenzeichen ausgedrückt, erhalten wir dann:

\[ \sum_{i=0}^{\infty} a_i x^{i} \]

Die Laufvariable $i$ läuft von 0 bis $\infty$. Das Summenzeichen $\Sigma$ ist der griechische Grossbuchstabe Sigma, der unserem “S” entspricht. Er steht für Summe. ????

“Die Produktform gibt uns die Nullstellen. Sie ist aber nicht immer möglich, da es nicht immer Nullstellen gibt.”

Polynomfunktionen in Normalform

Polynomfunktionen können auch als ganzrationale Funktionen bezeichnet werden. Sobald wir einen Bruch haben mit einem Polynom im Zähler und einem Polynom im Nenner, nennen wir die Funktion eine gebrochenrationale Funktion.

Als Normalform bezeichnen wir die ausmultiplizierte Summenform mit absteigenden Potenzen, z.B.

\[ f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + … + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 \]

Mit der Normalform erkennen wir sofort den Grad des Polynoms. Auch ist der Achsabschnitt $a_0$ direkt ablesbar, d.h. wir wissen, wo der Funktionsverlauf die $y$-Achse schneidet.

Beispiel: Normalform

Drücke die folgende Funktion in der Normalform aus und bestimme den Achsabschnitt

\[ f(x)=(x^2-9x+18)(x-1) \]

Für die Normalform multiplizieren wir aus und fassen dann die Koeffizienten mit gleichen Potenzen zusammen:

\[ f(x)=(x^3-9x^2+18x)-(x^2-9x+18) \]

\[ f(x)=x^3-9x^2+18x-x^2+9x-18 \]

\[ \underline{f(x)=x^3-10x^2+27x-18} \]

Wir sehen den letzten Koeffizienten mit dem Wert -18. Das ist der Achsabschnitt, d.h. der Verlauf der Funktion schneidet die $y$-Achse auf der Höhe -18.

Das ist schnell nachvollziehbar, denn alle Punkte auf der $y$-Achse haben $x=0$. Oben eingesetzt bleibt nur noch der letzte Koeffizient übrig, um den Funktionswert zu bestimmen.

Polynomfunktionen in Produktform

Wenn wir die Nullstellen eines Polynoms suchen, brauchen wir die Produktform.

Polynome können ganz oder teilweise in Produktform ausgedrückt werden, d.h. als Produkt von vielen Klammern als Faktoren $(x-x_k)$:

\[ (x-x_n)(x-x_{n-1})\cdot…\cdot(x-x_3)(x-x_2)(x-x_1) \]

Hier sind die Nullstellen in $x_1$, $x_2$, … $x_{n-1}$ und $x_n$ zu finden.

Beispiel: Produktform

Drücke die folgende Funktion in der Produktform aus und bestimme die Nullstellen.

\[ f(x)=(x^2-9x+18)(x-1) \]

Für die Produktform übernehmen wir den einen Faktor $(x-1)$ von der Aufgabenstellung. Wir brauchen jetzt nur noch den anderen Klammerterm in ein Produkt von zwei Faktoren aufzuteilen.

Mit dem Klammeransatz erkennen wir, dass $(-3)+(-6)=(-9)$ und $(-3)\cdot(-6)=18$. Wir schreiben deshalb:

\[ x^2-9x+18 = (x-3)(x-6) \]

So erhalten wir schliesslich die Produktform:

\[ \underline{f(x)=(x-3)(x-6)(x-1)} \]

Die Polynomfunktionn $f(x)$ hat somit die Nullstellen bei +3, +6 und +1, weil für diese Werte eine der Klammern in der Produktform null wird.

Da in einer Klammer $(x-x_k)$ die Funktionsvariable $x$ steht, kann es bei einem Polynom vom Grad $n$ höchstens $n$ solche Klammern geben.

Wenn nämlich all diese Klammern miteinander ausmultipliziert würden, hätten wir die Normalform mit der höchsten Potenz $x^n$.

Die Anzahl Klammern der Produktform entspricht der maximal möglichen Anzahl Nullstellen der Polynomfunktion.

Es heisst maximal mögliche Anzahl weil auch eine kleinere Anzahl Nullstellen (und Klammern) möglich ist. ????

Beispiel: Grad und Anzahl Nullstellen

Bestimme für die folgende Polynomfunktion den Grad und die Nullstellen. Vergleiche den Grad und die Anzahl Nullstellen.

\[ f(x) = x^2 + 1 \]

Wir sehen sofort, dass das ein Polynom mit Grad 2 ist. Es gibt also maximal zwei Nullstellen.

Natürlich wissen wir auch, wie der Verlauf ausschaut: Es ist eine nach oben offene Parabel.

Die Funktion ist uns in der Normalform gegeben. Wir sehen, dass der Achsabschnitt bei +1 ist. Die Parabel schneidet die $y$-Achse auf dieser Höhe.

Wenn wir versuchen, das Polynom in Produktform zu bringen, scheitern wir

\[ x^2 + 1 \stackrel{!}{=} 0 \]

Das Quadrat auf der linken Seite ist positiv und wir addieren +1, d.h. wir haben links garantiert +1 oder mehr. Wir können niemals null erreichen. Die Gleichung hat keine Lösungen für $x$. Es gibt keine Nullstellen.

Tatsächlich schwebt die Parabel über der $x$-Achse und hat im Achsabschnitt ihren tiefsten Punkt auf der Höhe +1.

Für diese Funktion gibt es keine Produktform!

Ableitung Polynomfunktionen

Die Ableitung von Polynomfunktionen ist zum Glück sehr einfach. ????

Um dies zu illustrieren, betrachten wir die Funktion $f(x)=\frac{1}{4}x^2$, die wir mehrfach ableiten:

\[ f(x)=\frac{1}{4}x^2 \quad \rightarrow \quad f'(x)=\frac{1}{2}x \]

\[ f'(x)=\frac{1}{2}x \quad \rightarrow \quad f”(x)=\frac{1}{2} \]

\[ f”(x)=\frac{1}{2} \quad \rightarrow \quad f”'(x)=0 \]

Wir finden eine Regel: ????

\[ f(x)=\frac{1}{4}x^{\boxed{2}} \]

\[ f'(x) = \boxed{2} \cdot \frac{1}{4}x^{(2 \;\boxed{-1}\;)} = \frac{1}{2} x \boxed{1} \]

\[ f”(x) = \boxed{1} \cdot \frac{1}{2}x^{(1 \;\boxed{-1}\;)} = \frac{1}{2} x \boxed{0} \]

\[ f”'(x) = \boxed{0} \cdot \frac{1}{2}x^{(0 \;\boxed{-1}\;)} = 0 \]

Die Ableitung läuft wie folgt ab:

  • In einem ersten Schritt wird der Exponent vorne mit dem Koeffizienten multipliziert
  • In einem zweiten Schritt subtrahieren wir 1 vom Exponenten.

Mathematisch ausgedrückt, heisst das:

\[ \frac{d}{dx} x^n \;\;=\;\; n \cdot x^{n-1} \]

Diese Regel wenden wir auf jeden einzelnen Summanden an, denn es gilt ja die Summenregel der Differentialrechnung: Die Ableitung einer Summe ist die Summe der einzelnen Ableitungen der Summanden.

Auch die Vorfaktoren stören nicht. Wir multiplizieren sie einfach mit der Ableitung (gemäss Faktorregel).

Wie die Ableitung genau geht, kannst du in den folgenden Beispielen ablesen.

Beispiel: Ableitung eines Polynoms dritten Grades

Was ist die Ableitung der Funktion $f(x)=4x^3+x$ ?

Wir wenden zuerst die Summenregel an und teilen die Funktion in zwei Teilfunktionen auf und leiten sie einzeln ab:

\[ \frac{d}{dx}\Big(4x^3+x\Big) = \frac{d}{dx}\Big(4x^3\Big) + \frac{d}{dx}\Big(x\Big) \]

Die erste Teilfunktion enthält den Faktor $4$. Wir wenden deshalb die Faktorregel an:

\[ \frac{d}{dx}\Big(4x^3\Big) = 4 \cdot \frac{d}{dx}\Big(x^3\Big) \]

\[ = 4 \cdot 3 \cdot x^2 = 12x^2 \]

Die zweite Teilfunktion ist schnell abgeleitet:

\[ \frac{d}{dx}\Big(x\Big) = 1 \cdot x^0 = 1 \]

Jetzt addieren wir die beiden wieder zusammen:

\[ \frac{d}{dx}\Big(4x^3+x\Big) = \underline{12x^2 + 1} \]

Beispiel: Erste Ableitung eines allgemeinen Polynoms zweiten Grades

Wir nehmen ein allgemeines Polynom zweiten Grades: $f(x)=a_2x^2+a_1x+a_0$.

Was ist die erste Ableitungsfunktion dieser Funktion?

Die Funktion ist eine Summe mit drei Summanden: $f(x)=f_2(x)+f_1(x)+f_0(x)$

Wir leiten die Summanden einzeln ab:

\[ f_2(x) = a_2x^2 \]

\[ \rightarrow \quad f_2′(x) = 2\cdot a_2x^{(2-1)} = 2a_2x \]

\[ f_1(x) = a_1x \]

\[ \rightarrow \quad f_1′(x) = 1\cdot a_1x^{(1-1)} = a_1 \]

\[ f_0(x) = a_0 \]

\[ \rightarrow \quad f_0′(x) = 0\cdot a_0x^{(0-1)} = 0 \]

Jetzt wenden wir die Summenregel an und erhalten:

\[ f'(x)=f_2′(x)+f_1′(x)+f_0′(x) \]

\[ = 2a_2x + a_1 + 0 = \underline{2a_2x + a_1} \]

Beispiel: Erste Ableitung einer quadratischen Funktion

Bestimme die erste Ableitung $f'(x)$ der Funktion $f(x)$:

\[ f(x)=3x^2-12x+9 \]

Die Potenzfunktion enthält drei Potenzen. Wir bilden die Ableitungen der einzelnen Potenzen und summieren diese dann zu einer Ableitungsfunktion.

\[ f_1(x) = 3x^2 \]

\[ \rightarrow \quad f_1′(x)=2\cdot 3x^{2-1} = 6x \]

\[ f_2(x) = -12x \]

\[ \rightarrow \quad f_2′(x)=-12\cdot x^{1-1} = -12 \]

\[ f_3(x) = 9 = 9x^0 \]

\[ \rightarrow \quad f_3′(x)=0\cdot 9x^{0-1} = 0 \]

Wir erhalten so die Ableitungsfunktion

\[ f'(x) = \underline{6x-12} \]

Beachte, dass oft mit der Identität $x^0=1$ gearbeitet wird: alles mit Exponent null ist einfach eins.

Der dritte Summand hat eine Ableitung, die verschwindet. Das ist nicht weiter erstaunlich, denn die Zahl 9 ist ja per Definition eine Konstante und die hat immer die Steigung null, weil sie sich ja nicht ändert.

Aufgabensammlung

  • Divisionsalgorithmus für Polynome (5002) – Aufg. 1

  • Divisionsalgorithmus für Polynome (5002) – Aufg. 2

  • Funktionen und Umkehrfunktionen (5062) – Aufg. 1

    1 Aufgabe (pdf/Video-Lösung):
    Wertetabelle ausfüllen und Funktionsverlauf zeichnen

Lernziele

  • Du weisst, wie ein Polynom definiert ist und wie es in Normalform und Produktform ausgedrückt wird
  • Du weisst auch, wie das Summenzeichen für das Beschreiben eines Polynoms eingesetzt wird
  • Du kannst eine Polynomfunktion ableiten

Weitere Links

Polynom (Wikipedia)