Das Wichtigste in Kürze

Verschiebung des Funktionsverlaufs in vertikaler Richtung:

Wenn die Original-Funktion $f(x)$ umd den Betrag $d$ verschoben wird, entsteht die verschobene neue Funktion $g(x)$:

\[ g(x)=f(x)+\boldsymbol{d} \]

Dabei ist der Graph von $g(x)$ um $d$ nach oben verschoben. Wenn $d$ negativ ist, entsprechend nach unten.

Verschiebung des Funktionsverlaufs in horizontaler Richtung:

Die Funktion $f(x)$ um den Betrag $d$ nach rechts verschoben, ergibt uns die neue Funktion $h(x)$:

\[ h(x)=f(x-\boldsymbol{d}) \]

Um den Funktionsverlauf nach links zu verschieben, wird der Wert $d$ addiert:

\[ h(x)=f(x+\boldsymbol{d}) \]

Für das horizontale Verschieben, wird die Funktionsvariabel, d.h. das Argument der Funktion in der Klammer verändert.

Häufigste Fragen

Eine vertikale Verschiebung betrifft die $y$-Koordinate bzw. den Funktionswert $y=f(x)$. Die Verschiebung ist deshalb sehr einfach: Es wird der Verschiebungsbetrag $d$ hinzuaddiert und der Funktionswert ist dadurch um $d$ grösser, d.h. weiter oben:

\[ g(x) = f(x) + d \]

Für eine Verschiebung um den Betrag $d$ nach unten, wird dieser Betrag vom Funktionswert $f(x)$ einfach subtrahiert:

\[ g(x) = f(x) – d \]

Zum Beispiel ist $g(x)=\sin(x)+1$ die Funktion $f(x)=\sin(x)$ um den Betrag 1 nach oben verschoben.

Für eine horizontale Verschiebung nach links, muss der Betrag $d$ zu der Funktionsvariablen $x$ addiert werden:

\[ f(x) \quad \rightarrow \quad g(x)=f(x+d) \]

Im Vergleich zu $f(x)$ darf $x$ um den Betrag $d$ kleiner sein, um den gleichen Funktionswert zu erhalten, z.B. ist $x^2=9$ für $x=3$. Wenn wir aber den Graphen um 2 nach links schieben, erhalten wir das Gleiche schon für $x=1$:

\[ f(x)=x^2 \quad \rightarrow \quad g(x)=(x+2)^2 \]

Beachte, dass $g(1)=(1+2)^2 = 9$ und dass die Klammer $(x+2)$ das $x$ ersetzt.

Für eine Verschiebung nach rechts, wird der Betrag $d$ von der Funktionsvariablen $x$ subtrahiert, d.h. sie wird ersetzt durch $(x-d)$:

\[ f(x) \quad \rightarrow \quad g(x)=f(x-d) \]

Für die Berechnung einer bereits durchgeführten Verschiebung, muss die Verschiebung rückgängig gemacht werden, um den Verschiebungsbetrag $d$ herauszufinden.

Der vertikale Fall ist einfach, z.B. ist $g(x) = x^2 + 3$ die Parabel $f(x)=x^2$, um 3 nach oben verschoben.

Für den horizontalen Fall muss die Funktion in die gewünschte Form gebracht werden, z.B. ist $g(x)=x^2+2x+1$ die Normalform einer binomischen Formel:

\[ g(x) = (x+1)^2 \]

Jetzt erkennen wir die Addition (Plus-Zeichen) und den Betrag 1, d.h. die Parabel $f(x)=x^2$ wurde hier um den Betrag 1 nach links verschoben:

\[ f(x)=x^2 \quad \rightarrow \quad g(x) = (x+1)^2 \]

Verschiebung in vertikaler Richtung

Wir können den Funktionsverlauf im Koordinatensystem sehr einfach nach oben oder unten verschieben. Es reicht den Verschiebungsbetrag zum Funktionswert $y=f(x)$ zu addieren und schon verschieben sich alle Punkte nach oben.

Deshalb wird für eine Verschiebung nach oben, einfach der Betrag $d$, um welchen die Funktion nach oben verschoben werden soll, hinzuaddiert, z.B.

\[ f(x)=\sin(x) \quad \rightarrow \quad g(x)=\sin(x)+1 \]

Die Funktion $f(x)$ schwingt zwischen +1 und -1. Die verschobene Funktion $g(x)$ hat den gleichen Verlauf, wie $f$, jedoch um 1 nach oben verschoben. Sie pendelt deshalb zwischen 0 und 2.

\[ g(x)=f(x)+\boldsymbol{d} \]

Dabei entspricht der Graph von $g(x)$ dem Graphen von $f(x)$, jedoch um $d$ nach oben verschoben.

Wenn $d$ eine negative Zahl ist, entspricht das einer Verschiebung nach unten, z.B. schwingt die Funktion $h(x)$ (Sinus-Funktion um 2 nach unten verschoben), zwischen den Werten -1 und -3 statt zwischen -1 und +1:

\[ f(x)=\sin(x) \quad \rightarrow \quad h(x)=\sin(x)-2 \]

Die gleiche Philosophie gilt auch beim Strecken und Stauchen der Funktion in $y$-Richtung! ????

Beispiel: Parabel nach unten verschieben

Verschiebe die Parabelfunktion $f_1(x)=x^2$ so nach unten, dass der Achsabschnitt (-4) beträgt. Bestimme die neue Funktionsgleichung von $f_2(x)$ und zeichne den Graphen ein. Erkennst du die beiden neuen Nullstellen in der Funktionsgleichung?

Der Achsabschnitt ist momentan bei null, weil wir ja im Prinzip die Funktionsgleichung $f_1(x)=x^2+0$ haben. Damit der Achsabschnitt bei -4 liegt, muss am Ende der Funktionsgleichung eine (-4) stehen.

Wir schreiben deshalb einfach:

\[ f_2(x) = x^2-4 \]

Jetzt können wir eine kleine Wertetabelle aufstellen…

$x$-2-1012
$f_2(x)$0-3-4-30

…und die neuen Punkte unten eintragen. Beachte, dass der neue Scheitelpunkt die $y$-Achse tatsächlich bei $y=-4$ schneidet: $f(0)=-4$

Interessant ist noch die Frage nach den Nullstellen. Wenn wir die neue Funktionsgleichung zuerst mit null gleichstellen und dann links faktorisieren, erhalten wir:

\[ f_2(x) = x^2-4 \;\; \stackrel{!}{=} \;\; 0 \]

\[ (x+2)(x-2) = 0 \]

Wir haben dazu die dritte binomische Formel angewandt. Wir sehen, dass die Gleichung erfüllt ist, wenn eine der beiden Klammern null ist. Das ist der Fall für zwei $x$-Werte, nämlich für $x=-2$ und für $x=2$, unsere beiden neuen Nullstellen!

“Die vertikale Verschiebung geschieht am Funktionswert, die horizontale Verschiebung findet an der Funktionsvariablen, statt”

Verschiebung in horizontaler Richtung

Bei der Verschiebung nach oben bzw. unten, haben wir in $y$-Richtung verschoben. Wir haben deshalb am Funktionswert geschraubt:

\[ y = f(x) \quad \rightarrow \quad y=g(x)=f(x)+d \]

Wenn der Funktionsverlauf horizontal verschoben wird, müssen wir an der Funktionsvariablen $x$ schrauben, d.h. am Argument der Funktion. Dafür gehen wir wirklich in die Funktion rein und ersetzen $x$ mit:

  • $(x-d)$ für eine Verschiebung um $d$ nach rechts
  • mit $(x+d)$ für eine Verschiebung nach links

\[ y = f(x) \quad \rightarrow \quad y=g(x)=f(x \pm d) \]

Beachte, dass wir nicht das $y$ um $d$ grösser/kleiner machen, sondern in der Funktionsklammer drin das $x$ vergrössern bzw. verkleinern. ????

Verschiebung des Funktionsverlaufs in horizontaler Richtung:

Wir können auch einen neuen Funktionsgraphen $g(x)$ erhalten, der um den Betrag $\boldsymbol{d}$ nach rechts verschoben ist, mit:

\[ y = f(x) \quad \rightarrow \quad y=g(x)=f(x – d) \]

Wenn $\boldsymbol{d}$ negativ ist, d.h. in der Klammer ein Wert zum Argument hinzuaddiert wird, verschiebt sich der Verlauf entsprechend nach links:

\[ y = f(x) \quad \rightarrow \quad y=g(x)=f(x + d) \]

Beispiel: Parabel nach links verschieben

Verschiebe die Parabelfunktion $f_1(x)=x^2$ so nach links, dass der Achsabschnitt (+4) beträgt. Bestimme die neue Funktionsgleichung von $f_3(x)$ und zeichne den Graphen ein. Erkennst du die neue Nullstelle in der Funktionsgleichung?

Da wir nach links verschieben, müssen wir den Punkt (2,4) zum Punkt (0,4) verschieben, d.h. um 2 nach links. Wir erhalten somit:

\[ f_1(x)=x^2 \quad \rightarrow \quad f_3(x) = \big(x-(-2)\big)^2 \]

\[ f_3(x) = \big(x+2\big)^2 \]

Eine kleine Wertetabelle dazu:

$x$-4-3-2-10
$f_3(x)$41014

Der neue Graph ist unten eingezeichnet. Wie du siehst, ist der Achsabschnitt tatsächlich bei (+4), denn $f_3(0)=4$.

Wir können die neue Funktionsgleichung auch ausmultiplizieren bzw. die binomischen Formeln anwenden:

\[ f_3(x) = (x+2)^2 = x^2 + 4x \; \underline{+\;4} \]

Jetzt ist der neue Achsabschnitt in der Funktionsgleichung deutlich erkennbar.

Für die Nullstelle nehmen wir wieder die ursprüngliche Version, denn das ist bereits die faktorisierte Form:

\[ f_3(x) = (x+2)^2 \]

\[ = (x+2)\cdot(x+2) \;\; \stackrel{!}{=}\;\; 0 \]

Die Gleichung ist erfüllt, wenn $\underline{x=-2}$ ist. Aus der Grafik können wir diese neue Nullstelle bestätigen.

Aufgabensammlung

  • Funktionen und Umkehrfunktionen (5062) – Aufg. 4

    4 Teilaufgaben (pdf/Video-Lösung):
    Funktionen verschieben
    strecken oder stauchen

Lernziele

  • Du kannst gegebene Funktionen vertikal und horizontal verschieben und die neuen Funktionsgleichungen hinschreiben
  • Du kannst (in einfachen Fällen) den Vorgang des Verschiebens rückgängig machen und so eine Funktion als Verschiebung einer anderen Funktion deuten.

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