Die Integration durch Substitution ähnelt in ihrer Art der Ableitung mit der Kettenregel. Wir schauen uns das an einem Beispiel an:

Beispiel

Berechne das folgende Integral:

\[ \int_0^1 \sqrt{5x+4} \; dx \]


Wir sehen, dass wir hier eine Verschachtelung haben. Die äussere Funktion ist die Wurzel, die innere Funktion ist der lineare Ausdruck $5x+4$. Wir substituieren die innere Funktion mit $u$:

\[ u = 5x + 4 \]

Damit können wir das Integral vereinfachen:

\[ \int_0^1 \sqrt{u} \; dx \]

Das Problem ist jetzt aber, dass wir nicht sehen, dass $u$ eigentlich eine Funktion von $x$ ist. Auch ist die Integrationsvariable $x$ und nicht $u$, sonst könnten wir das Integral einfach lösen. Wir müssen deshalb aus dem $dx$ ein $du$ machen. Dazu leiten wir $u$ nach $x$ ab:

\[ \frac{du}{dx} = \frac{d}{dx} (5x+4) = 5 \]

Jetzt multiplizieren wir diese Gleichung mit $dx$ und erhalten:

\[ du = 5 \, dx \]

Wir können jetzt auch mit $5$ dividieren und erhalten den Ausdruck, den wir brauchen, um $dx$ zu ersetzen:

\[ dx = \frac{1}{5} \, du \]

Ersetzen wir $dx$ mit dem erhaltenen Ausdruck, kriegen wir ein Integral, das wir lösen können:

\[ \int \frac{1}{5} \sqrt{u} \; du \]

Die Integrationsgrenzen müssen jetzt auch noch angepasst werden, denn es müssen “$u$-Grenzen” sein, wenn wir über $u$ integrieren und nicht die $x$-Grenzen $0$ und $1$. Für die Neuberechnung der Grenzen benützen wir einfach die Definition von $u$:

Neue untere Integrationsgrenze:

\[ x=0 \quad \rightarrow \quad u=5x+4 \]

\[ =5 \cdot 0 + 4 = 4 \]

Neue obere Integrationsgrenze:

\[ x=1 \quad \rightarrow \quad u=5x+4 \]

\[ =5 \cdot 1 + 4 = 9 \]

Das zu lösende Integral ist jetzt vollständig substituiert:

\[ \int_0^1 \sqrt{5x+4} \; dx \; = \; \int_4^9 \sqrt{u} \; du \]

Jetzt brauchen wir die Stammfunktion von $\sqrt{u}$. Wir erhöhen den Exponenten um 1 und dividieren durch den neuen Exponenten:

\[  F(u) = \frac{2}{3} u^{3/2} \]

\[ \rightarrow \quad \frac{dF}{du} = \cancel{\frac{2}{3}} \cdot \cancel{\frac{3}{2}} u^{1/2} \]

\[ \frac{1}{5} \int_4^9 \sqrt{u} \; du = \frac{1}{5} \cdot \big[ \frac{2}{3} u^{3/2} \big]_4^9 \]

\[ = \frac{1}{5} \cdot \frac{2}{3} \cdot \Big( 9^{3/2} – 4^{3/2} \Big) \]

\[ = \frac{2}{15} \cdot \Big( 3^3 – 2^3 \Big) = \frac{2}{15} \cdot \Big( 27 – 8 \Big) = \underline{\;\frac{38}{15}\;} \]

Vorgehen bei der Integration durch Substitution:

  • Innere und äussere Funktion identifizieren: Substitution $u=u(x)$ für die innere Funktion notieren
  • Substitution $u(x)$ nach $x$ ableiten. Den gewonnenen Ausdruck für $dx$ einsetzen und so mit $du$ ersetzen
  • Mit der Substitution $u(x)$ die $x$-Integrationsgrenzen zu $u$-Integrationsgrenzen machen
  • Alles einsetzen und Integral nach $u$ lösen

Falls es sich um ein unbestimmtes Integral handelt (ohne Integrationsgrenzen), ist das Resultat die Stammfunktion mit $u$ ausgedrückt. Hier muss $u$ am Schluss wieder mit $x$ rücksubstituiert werden. 

Beispiel

Berechne das folgende Integral mit Substitution:

\[ \int_1^e \frac{\big(\ln(x)\big)^2}{x} \; dx \]


Wir haben eine innere Funktion (den natürlichen Logarithmus) verschachtelt in einer äusseren Funktion (das Quadrat). Wir wählen deshalb die folgende Substitution:

\[ u = \ln(x) \]

Jetzt ersetzen wir das $dx$:

\[ \frac{du}{dx} = \frac{d}{dx} \ln(x) = \frac{1}{x} \]

\[ du = \frac{1}{x} \cdot dx \]

\[ dx = x \cdot du \]

Die Integrationsgrenzen müssen jetzt noch ersetzt werden:

Neue untere Integrationsgrenze:

\[ x=1 \quad \rightarrow \quad u = \ln(x) = \ln(1) = 0\]

Neue obere Integrationsgrenze:

\[ x=e \quad \rightarrow \quad u = \ln(x) = \ln(e) = 1\]

Jetzt können wir das Integral komplett substituieren:

\[  \int_1^e \frac{\big(\ln(x)\big)^2}{x} \; dx = \int_0^1 \frac{u^2}{\cancel{x}} \; \cancel{x} \cdot du \]

\[ = \int_0^1 u^2 \; du = \Big[ \frac{1}{3} u^3 \Big]_0^1 \]

\[ = \frac{1}{3}1^3 – \frac{1}{3}0^3 = \underline{\;\frac{1}{3}\;} \]

Aufgabensammlung

  • Integrationsmethoden (5036) – Aufg. 1

  • Integrationsmethoden (5036) – Aufg. 2

  • Integrationsmethoden (5036) – Aufg. 3