Integration durch Substitution

Die Integration durch Substitution ähnelt in ihrer Art der Ableitung mit der Kettenregel. Wir schauen uns das an einem Beispiel an:

Beispiel

Berechne das folgende Integral:

\[ \int_0^1 \sqrt{5x+4} \; dx \]

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Wir sehen, dass wir hier eine Verschachtelung haben. Die äussere Funktion ist die Wurzel, die innere Funktion ist der lineare Ausdruck \(5x+4\). Wir substituieren die innere Funktion mit \(u\):

\[ u = 5x + 4 \]

Damit können wir das Integral vereinfachen:

\[ \int_0^1 \sqrt{u} \; dx \]

Das Problem ist jetzt aber, dass wir nicht sehen, dass \(u\) eigentlich eine Funktion von \(x\) ist. Auch ist die Integrationsvariable \(x\) und nicht \(u\), sonst könnten wir das Integral einfach lösen. Wir müssen deshalb aus dem \(dx\) ein \(du\) machen. Dazu leiten wir \(u\) nach \(x\) ab:

\[ \frac{du}{dx} = \frac{d}{dx} (5x+4) = 5 \]

Jetzt multiplizieren wir diese Gleichung mit \(dx\) und erhalten:

\[ du = 5 \, dx \]

Wir können jetzt auch mit \(5\) dividieren und erhalten den Ausdruck, den wir brauchen, um \(dx\) zu ersetzen:

\[ dx = \frac{1}{5} \, du \]

Ersetzen wir \(dx\) mit dem erhaltenen Ausdruck, kriegen wir ein Integral, das wir lösen können:

\[ \int \frac{1}{5} \sqrt{u} \; du \]

Die Integrationsgrenzen müssen jetzt auch noch angepasst werden, denn es müssen “\)u\)-Grenzen” sein, wenn wir über \(u\) integrieren und nicht die \(x\)-Grenzen \(0\) und \(1\). Für die Neuberechnung der Grenzen benützen wir einfach die Definition von \(u\):

Neue untere Integrationsgrenze:

\[ x=0 \quad \rightarrow \quad u=5x+4 \]

\[ =5 \cdot 0 + 4 = 4 \]

Neue obere Integrationsgrenze:

\[ x=1 \quad \rightarrow \quad u=5x+4 \]

\[ =5 \cdot 1 + 4 = 9 \]

Das zu lösende Integral ist jetzt vollständig substituiert:

\[ \int_0^1 \sqrt{5x+4} \; dx \; = \; \int_4^9 \sqrt{u} \; du \]

Jetzt brauchen wir die Stammfunktion von \(\sqrt{u}\). Wir erhöhen den Exponenten um 1 und dividieren durch den neuen Exponenten:

\[  F(u) = \frac{2}{3} u^{3/2} \]

\[ \require{cancel} \rightarrow \quad \frac{dF}{du} = \cancel{\frac{2}{3}} \cdot \cancel{\frac{3}{2}} u^{1/2} \]

\[ \frac{1}{5} \int_4^9 \sqrt{u} \; du = \frac{1}{5} \cdot \big[ \frac{2}{3} u^{3/2} \big]_4^9 \]

\[ = \frac{1}{5} \cdot \frac{2}{3} \cdot \Big( 9^{3/2} – 4^{3/2} \Big) \]

\[ = \frac{2}{15} \cdot \Big( 3^3 – 2^3 \Big) = \frac{2}{15} \cdot \Big( 27 – 8 \Big) = \underline{\;\frac{38}{15}\;} \]

Beispiel

Berechne das folgende Integral mit Substitution:

\[ \int_1^e \frac{\big(\ln(x)\big)^2}{x} \; dx \]

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Wir haben eine innere Funktion (den natürlichen Logarithmus) verschachtelt in einer äusseren Funktion (das Quadrat). Wir wählen deshalb die folgende Substitution:

\[ u = \ln(x) \]

Jetzt ersetzen wir das \(dx\):

\[ \frac{du}{dx} = \frac{d}{dx} \ln(x) = \frac{1}{x} \]

\[ du = \frac{1}{x} \cdot dx \]

\[ dx = x \cdot du \]

Die Integrationsgrenzen müssen jetzt noch ersetzt werden:

Neue untere Integrationsgrenze:

\[ x=1 \quad \rightarrow \quad u = \ln(x) = \ln(1) = 0\]

Neue obere Integrationsgrenze:

\[ x=e \quad \rightarrow \quad u = \ln(x) = \ln(e) = 1\]

Jetzt können wir das Integral komplett substituieren:

\[  \require{cancel} \int_1^e \frac{\big(\ln(x)\big)^2}{x} \; dx = \int_0^1 \frac{u^2}{\cancel{x}} \; \cancel{x} \cdot du \]

\[ = \int_0^1 u^2 \; du = \Big[ \frac{1}{3} u^3 \Big]_0^1 \]

\[ = \frac{1}{3}1^3 – \frac{1}{3}0^3 = \underline{\;\frac{1}{3}\;} \]