Das Wichtigste in Kürze

Die Summenregel der Differentialrechnung lautet: Die Ableitung einer Summe ist die Summe der einzelnen Ableitungen der Summanden

\[ \frac{d}{dx}f(x) = \frac{d}{dx}\Big(f_1(x)+f_2(x)\Big) \]

\[ = \frac{d}{dx}f_1(x)+ \frac{d}{dx}f_2(x) \]

Angenommen, wir haben eine Funktion $f$, die eigentlich eine Summe von zwei Funktionen $f_1$ und $f_2$ ist:

\[ f(x)=f_1(x)+f_2(x) \]

Wir stellen den Differentialquotienten auf:

\[ f'(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \Big( \frac{f(x+\Delta x) – f(x)}{\Delta x} \Big) \]

\[ = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \Big( \frac{\big(f_1(x+\Delta x) + f_2(x+\Delta x)\big) – \big(f_1(x)+f_2(x)\big)}{\Delta x} \Big) \]

Wir stellen den Zähler etwas um und erhalten:

\[ f'(x)= \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \Big(\frac{f_1(x+\Delta x) – f_1(x)}{\Delta x} + \frac{f_2(x+\Delta x)-f_2(x)}{\Delta x} \Big) \]

\[ = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \Big(\frac{f_1(x+\Delta x) – f_1(x)}{\Delta x}\Big) + \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \Big(\frac{f_2(x+\Delta x)-f_2(x)}{\Delta x} \Big) \]

Wir sehen, dass die Ableitung einer Summe tatsächlich nichts anderes ist, als die Summe der Ableitungen der einzelnen Summanden:

\[ f'(x)=f_1′(x)+f_2′(x) \]

Wir halten diese Erkenntnis fest und schreiben Sie mit dem Ableitungsoperator:

Beispiel: Anwendung der Wellengleichung

Die Funktion einer physikalischen Welle ist $u(x,t)=\sin(x-t)$. Zeigen Sie, dass die folgende Wellengleichung erfüllt ist:

\[ \frac{\partial^2}{\partial t^2} u(x,t) = \frac{\partial^2}{\partial x^2} u(x,t) \]

(Die $\partial$ werden benutzt, weil die Funktion $u$ sowohl eine Funktion $x$, auch von $t$ ist.)

Bevor wir ableiten, benutzen wir die Identität für die Sinus-Funktion:

\[ \sin(x-t) = \sin(x)\cos(-t) + \cos(x)\sin(-t) \]

Jetzt benutzen wir den Umstand, dass der Kosinus eine gerade Funktion ist, d.h. $\cos(-t) = \cos(t)$. Der Sinus ist hingegen eine ungerade Funktion $\sin(-t) = -\sin(t)$. Somit erhalten wir:

\[ \sin(x-t) = \sin(x)\cos(t) – \cos(x)\sin(t) \]

Jetzt können wir ableiten. Die linke Seite der Wellengleichung wird zweifach nach $t$ abgeleitet:

\[ \frac{\partial^2}{\partial t^2} u(x,t) = \]

\[ \frac{\partial^2}{\partial t^2} \Big(\sin(x)\cos(t)\Big) – \frac{\partial^2}{\partial t^2} \Big(\cos(x)\sin(t)\Big) \]

Da $\sin(x)$ und $\cos(x)$ für $t$ eine Konstante darstellen, können wir sie mit der Faktorregel ausklammern:

\[ = \sin(x) \cdot \frac{d^2}{dt^2} \Big(\cos(t)\Big) – \cos(x) \cdot \frac{d^2}{dt^2} \Big(\sin(t)\Big) \]

Unter Benutzung der Ableitungsfunktionen für die trigonometrischen Funktionen, erhalten wir:

\[ = \sin(x) \cdot \big(-\cos(t)\big) – \cos(x) \cdot \big(-\sin(t)\big) \]

\[ = -\Big(\sin(x)\cos(t) – \cos(x)\sin(t)\Big) \]

\[ = \underline{-\sin(x-t)} \]

Für die rechte Seite:

\[ \frac{\partial^2}{\partial x^2} u(x,t) = \]

\[ \frac{\partial^2}{\partial x^2} \Big(\sin(x)\cos(t)\Big) – \frac{\partial^2}{\partial x^2} \Big(\cos(x)\sin(t)\Big) \]

\[ = \cos(t)\cdot \frac{d^2}{dx^2} \Big(\sin(x)\Big) – \sin(t)\cdot\frac{d^2}{dx^2} \Big(\cos(x)\Big) \]

\[ = \cos(t)\big(-\sin(x)\big) – \sin(t)\big(-\cos(x)\big) \]

\[ =  -\Big(\cos(t)\sin(x) – \sin(t)\cos(x)\Big) = \underline{-\sin(x-t)} \]

Die beiden zweifachen Ableitungen sind tatsächlich gleich! Wenn wir in der Physik ein Phänomen haben, bei welchem die Funktion zweifach nach der Zeit abgeleitet, proportional ist zur zweifachen Ableitung nach dem Ort, so handelt es sich um ein Wellenphänomen.