Rotation um die x-Achse

Wenn wir den Verlauf einer Funktion um die $x$-Achse rotieren lassen, entsteht ein Rotationskörper gemäss folgender Abbildung.

Mit Hilfe der Integralrechnung lässt sich das Volumen $V$ dieses Körpers relativ einfach berechnen. Wir betrachten dazu eine unendlich dünne Scheibe (mit der Dicke $dx$). Es handelt sich dabei um einen Zylinder mit Radius $r = f(x)$ und einer “Zylinderhöhe” von $h=dx$. Für das Zylindervolumen schreiben wir: Volumen = Grundfläche (eines Kreises) mal Höhe.

\[ V_{\text{Zylinder}} = \pi r^2 h \] 

Die infinitesimal dünne Scheibe (Dicke $dx$) hat ein infinitesimal kleines Volumen $dV$:

\[ dV = \pi f(x)^2 dx \]

Um das ganze Volumen zu erhalten, müssen wir einfach über alle infinitesimalen Scheiben summieren, d.h. integrieren:

\[ V = \int dV \]

Wir setzen jetzt den Ausdruck für $dV$ ein und lösen das Integral:

\[ V = \int_a^b \pi f^2(x)\;dx = \pi \int_a^b f^2(x)\;dx \]

Das Volumen eines Rotationskörpers um die $x$-Achse herum, beschrieben durch die Funktion $f(x)$, berechnet sich mit dem folgenden Integral:

\[ V = \pi \int_a^b f^2(x)\;dx \]

Beispiel

Berechne das Volumen eines Kegels, der durch die Rotation von $f(x)=x$ von $0$ bis $h$ entsteht.


Wir benutzen die Formel für den Rotationskörper um die $x$-Achse herum und setzen $f(x)=x$ und die Integrationsgrenzen $0$ und $h$ ein:

\[ V = \pi \int_0^h x^2\;dx = \pi \Big[ \frac{1}{3}x^3 \Big]_0^h \]

\[ V = \frac{\pi}{3} \big( h^3 – \cancel{0^3} \big) = \;\; \underline{\frac{\pi h^3}{3}} \]

Rotation um die y-Achse

Wenn wir einen Rotationskörper um die $y$-Achse haben, können wir genau gleich vorgehen. Wir schauen uns das an einem Beispiel an.

Beispiel

Berechne den Rotationskörper um die $y$-Achse herum, der durch die Parabel $f(x)=x^2$ erzeugt wird.


Zuerst versuchen wir die Formel für den Rotationskörper um die $x$-Achse zu gebrauchen, denn schliesslich ist das Volumen unabhängig davon, wie die Achse heisst oder in welche Richtung sie zeigt. Statt um die $x$-Achse herum, rotieren wir um die $y$-Achse herum, d.h. wir müssen einfach alles was $x$ heisst mit $y$ umbenennen:

\[ V = \pi \int f(x)^2\;dx \]

\[ \rightarrow \quad V = \pi \int_a^b g(y)^2\;dy \]

Das Problem ist nur, dass wir eine Funktion brauchen, deren Argument die Achse ist, um die wir rotieren. Für eine Rotation um die $x$-Achse ist es eine Funktion $f$ von $x$, für eine Rotation um die $y$-Achse ist es eine Funktion $g$ von $y$. Was ist die Funktion $g(y)$, wenn wir $f(x)=x^2$ haben? Es ist genau die Umkehrfunktion:

\[ y = x^2 \quad \leftrightarrow \quad \sqrt{y} = x \]

\[ g(y) = \sqrt{y} \]

Wir setzen dies ein in unser Integral für den Rotationskörper:

\[ V = \pi \int_a^b \big( \sqrt{y} \big)^2 \; dy = \pi \int_a^b y\; dy \]

\[ = \pi \Big[ \frac{1}{2}y^2 \Big]_a^b = \underline{\frac{\pi}{2} \big( b^2 – a^2 \big)} \]

Das Volumen eines Rotationskörpers um die $y$-Achse herum, beschrieben durch die Funktion $g(y)$, berechnet sich mit dem folgenden Integral:

\[ V = \pi \int_a^b g^2(y)\;dy \]

Dabei ist $g(y)=f^{-1}(y)$ die Umkehrfunktion von $f(x)$:

\[ y = f(x) \quad \leftrightarrow \quad f^{-1}(y) = x \]

Aufgabensammlung

  • Anwendungen der Integralrechnung (5037) – Aufg. 3

  • Anwendungen der Integralrechnung (5037) – Aufg. 4