Das Wichtigste in Kürze

Die Winkelgeschwindigkeit $\omega$ wird manchmal auch Kreisfrequenz genannt. Sie beschreibt, wie schnell sich ein Winkel (z.B. bei einer Kreisbewegung) mit der Zeit ändert. Die Winkelgeschwindigkeit wird in der Physik oft auch bei der Beschreibung von Schwingungen oder Wellen verwendet.

Abkürzung: $\omega$ (kleines Omega)

Einheit: $\text{s}^{-1}\;\;$, seltener auch: $\;\;\text{Hz}\;\;$ (Hertz)

Die Winkelgeschwindigkeit ist verwandt mit der Frequenz $f$, die um den Faktor $2\pi$ kleiner ist, da sie die ganze Umdrehung als 1 zählt, während die Winkelgeschwindigkeit die ganze Umdrehung als $2\pi$ (Bogenmass für 360°) benutzt:

\[ \omega = 2\pi \cdot f \]

Häufigste Fragen

Die Winkelgeschwindigkeit sagt, wie schnell ein Winkel sich ändert, wobei Bogenmass statt Grad verwendet wird. Bei einer Kreisbewegung sagt die Winkelgeschwindigkeit, wie schnell sich etwas dreht.

Eine Winkelgeschwindigkeit von $\omega = 2\pi\;\text{s}^{-1}$ entspricht einer ganzen Umdrehung (360° = $2\pi$) pro Sekunde. Wenn die Kreisbewegung doppelt so schnell ist, macht sie in einer Sekunde 2 Umdrehungen und damit $2 \cdot 2\pi = 4\pi$. Die Winkelgeschwindigkeit ist dann $\omega = 4\pi\;\text{s}^{-1}$.

Am einfachsten ist die Berechnung der Winkelgeschwindigkeit aufgrund einer Frequenz $f$. Eine Frequenz einer Kreisbewegung beschreibt die Anzahl Umdrehungen pro Zeitperiode, z.B. 3 Umdrehungen pro Sekunde wären

\[ f = 3\;\text{s}^{-1} \]

Da eine ganze Kreisumdrehung einem Bogenmass von $2\pi$ entspricht, gilt für 3 Umdrehungen pro Sekunde eine Winkelgeschwindigkeit von

\[ \omega = 3 \cdot 2\pi\;\text{s}^{-1} = 6\pi\;\text{s}^{-1} \]

Die Winkelgeschwindigkeit ist somit immer das $2\pi$-fache der Frequenz:

\[ \omega = 2\pi \cdot f \]

Die Winkelgeschwindigkeit ist eine Art Frequenz. Sie wird oft auch Kreisfrequenz genannt, da sie bei Kreisbewegungen ein Mass ist für die Anzahl Umdrehungen pro Zeit.

Dennoch müssen wir Winkelgeschwindigkeit $\omega$ und Frequenz $f$ unterscheiden.

Die Frequenz bezieht sich auf die Anzahl ganzer Kreisumdrehungen pro Zeitperiode, z.B. $f=50\;\text{Hz} = 50\;\text{s}^{-1}$ bedeutet 50 Umdrehungen pro Sekunde oder 3000 Umdrehungen pro Minute.

Die Winkelgeschwindigkeit gibt an, wie sich der Winkel pro Zeitperiode verändert hat, z.B. geht der Minutenzeiger in 5 Minuten um einen Zwölftel des ganzen Kreises weiter:

\[ \omega = \frac{\frac{1}{12} \cdot 2\pi}{5\;\text{min}} \]

Wir können diese Geschwindigkeit umrechnen, indem wir die Minuten mit der Grundeinheit Sekunden ersetzen:

\[ \omega = \frac{\frac{\pi}{6}}{300\;\text{s}} = \frac{\pi}{1800}\;\text{s}^{-1} = 1.745 \cdot 10^{-3}\;\text{s}^{-1} \]

Die Frequenz des Minutenzeigers erhalten wir, indem wir sagen, dass er eine Umdrehung pro Stunde macht:

\[ f = \frac{1}{1\;\text{h}} = \frac{1}{3600\;\text{s}} = 2.78 \cdot 10^{-4}\;\text{s}^{-1} \]

Die Frequenz $f$ ist genau das $2\pi$-fache kleiner als die Winkelgeschwindigkeit $\omega$.

Die Winkelgeschwindigkeit ist ein Unterthema der Kreisbewegung. Du findest dort zusätzliche Infos.

Eine Kreisbewegung wird vorzugsweise mit der Winkelgeschwindigkeit $\omega$ (kleines Omega) beschrieben.

Sie hat den Vorteil, dass sie für den ganzen rotierenden Körper immer gleich gross ist, unabhängig vom betrachteten Punkt.

Die Winkelgeschwindigkeit beschreibt, wie schnell sich der Winkel bei der Kreisbewegung ändert. Eine ganze Umdrehung entspricht einer Änderung des Winkels um $2\pi$ (eine ganze Umdrehung im Bogenmass).

Im Unterricht benutze ich gerne einen Tennisball, der an einer Schnur befestig ist.

Beschreibung der Drehgeschwindigkeit mit Hilfe der Winkelgeschwindigkeit. Wie ändert sich der Winkel mit der Zeit?
Beschreibung der Drehgeschwindigkeit mit Hilfe der Winkelgeschwindigkeit. Wie ändert sich der Winkel mit der Zeit?

Wenn ich den Ball einmal pro Sekunde kreisen lasse, hat er eine Winkelgeschwindigkeit von $\omega = 2\pi\;\text{s}^{-1}$.

Ein viel langsamerer Sekundenzeiger braucht genau eine Minute, um den Winkel von $2\pi$ zurückzulegen. Seine Winkelgeschwindigkeit beträgt deshalb:

\[ \omega = \frac{2\pi}{1\,\text{min}} = \frac{2\pi}{60\,\text{s}} = \frac{\pi}{30}\;\text{s}^{-1} \]

Beachte, dass die Einheit der Winkelgeschwindigkeit “Radian pro Sekunde” ist. “Radian” steht für Bogenmass ist im Grunde genommen einfach eine Zahl (ohne Einheit). Wir schreiben deshalb kurz “pro Sekunde”:

\[ [\omega] = \text{s}^{-1} \]

Beispiel: Berechnung der Winkelgeschwindigkeit

Wie viel beträgt die Winkelgeschwindigkeit des Minutenzeigers einer Uhr?

Der Minutenzeiger braucht 1 Stunde bzw. 3600 Sekunden für eine Umdrehung. Eine Umdrehung entspricht einem Winkel von $2\pi$. Somit ist die Winkelgeschwindigkeit:

\[ \omega = \frac{2\pi}{3600\;\text{s}} = 0.00175\;\text{s}^{-1} = \underline{1.75\cdot10^{-3}\;\text{s}^{-1}} \]

Winkelgeschwindigkeit und Bahngeschwindigkeit

Zwei Zahnräder, die sich berühren, drehen sich unterschiedlich schnell, wenn sie verschieden gross sind.

Das damit zu tun, dass der kurzzeitige Berührungspunkt auf beiden Zahnrädern mit der gleichen Bahngeschwindigkeit unterwegs ist.

Das muss er auch, denn sonst würden sich die Zahnräder in diesem Punkt nicht nur berühren, sondern sie würden aneinander reiben, was zu unnötigen Reibungsverlusten führen würde (Materialverschleiss, Erwärmung etc).

Kreisbewegung: Winkelgeschwindigkeit von Zahnräder
Kreisbewegung: Winkelgeschwindigkeit von Zahnräder. Die beiden Zahnräder haben im Berührungspunkt die gleiche Bahngeschwindigkeit

Wenn wir die Formel für die Berechnung der Bahngeschwindigkeit zur Hand nehmen, dann erhalten wir für das Zahnrad 1:

\[ v = r_1 \cdot \omega_1 \]

Für das Zahnrad 2:

\[ v = r_2 \cdot \omega_2 \]

Jetzt setzen wir die beiden Bahngeschwindigkeiten $v$ gleich und erhalten die Gleichung:

\[ r_2 \cdot \omega_2 = r_1 \cdot \omega_1 \]

Wir dividieren durch r_2 und erhalten schliesslich:

\[ \omega_2 = \frac{r_1}{r_2} \cdot \omega_1 \]

Das Zahnrad 2 dreht sich mit einer Winkelgeschwindigkeit $\omega_1$, die um den Faktor $r_1/r_2$ grösser ist, als beim Zahnrad 1. Wenn beispielsweise das Zahnrad 2 einen halb so grossen Durchmesser bzw. Radius hat als das Zahnrad 1, dann dreht es sich doppelt so schnell.

Das ist logisch, denn wenn der Umfang des kleineren Zahnrad halb so gross ist, dann muss das kleine Zahnrad zwei mal drehen, bis der gleiche Berührungspunkt auf dem grossen Zahnrad einen ganzen Umfang geschafft hat.

Beispiel: Zwei Zahnräder

Mit welcher Winkelgeschwindigkeit dreht sich ein kleines Zahnrad (20 Zähne), wenn das ihn berührende grosse Zahnrad (80 Zähne) genau 1’200 Umdrehungen pro Minute macht?

Das grosse Zahnrad, nennen wir es “Zahnrad 1” dreht mit einer Frequenz von 1200 Umdrehungen pro Minute:

\[ f_1 = \frac{1200}{\text{min}} = \frac{1200}{60\;\text{s}} = 20\;\text{Hz} \]

Für die Winkelgeschwindigkeit des grossen Zahnrads, multiplizieren wir mit $2\pi$, da es sich pro Umdrehung um diesen Winkel (in Bogenmass) dreht:

\[ \omega_1 = 20\;\text{s}^{-1} \cdot 2\pi = 40\pi\;\text{s}^{-1} \]

Die beiden Radien $r_1$ und $r_2$ haben wir in der Aufgabenstellung nicht gegeben. Wir gehen aber davon aus, dass jeder Zahn gleich breit ist, unabhängig von der Grösse des Zahnrads.

Das Zahnrad 1 hat 80 Zähne. Sein Umfang $U_1$ ist somit genau 4-mal länger als der Umfang des kleinen Zahnrads 2 $U_2$ mit nur 20 Zähnen. Es gilt:

\[ \frac{U_1}{U_2} = \frac{80}{20} = \frac{4}{1} \]

Mit der Formel für den Kreisumfang $U=2 \pi r$ erhalten wir:

\[ \frac{U_1}{U_2} = \frac{\cancel{2\pi}r_1}{\cancel{2\pi}r_2} = \frac{r_1}{r_2} = 4 \]

Wir wissen jetzt, dass das kleine Zahnrad viermal schneller dreht als das grosse Zahnrad:

\[ \omega_2 = \frac{r_1}{r_2} \cdot \omega_1 = 4 \cdot \omega_1 \]

Wir setzen den Wert für $\omega_1$ ein und erhalten die Winkelgeschwindigkeit des kleinen Zahnrads:

\[ \omega_2 = 4 \cdot 40\pi \;\text{s}^{-1} = 160\pi\;\text{s}^{-1} \approx \underline{500\;\text{s}^{-1}} \]

Bei einem Kettenantrieb ist die Überlegung genau gleich. Die Kette hat immer die gleiche Geschwindigkeit $v$, die der Bahngeschwindigkeit beim grossen, wie auch beim kleinen Zahnrad entspricht.

Wir setzen wieder beide Bahngeschwindigkeiten gleich und erhalten die gleiche Gleichung. Der einzige Unterschied ist die Drehrichtung: Beide Zahnräder drehen jetzt in die gleiche Richtung.

Kreisbewegung: Winkelgeschwindigkeit von Zahnräder mit Kette
Kreisbewegung: Winkelgeschwindigkeit von Zahnräder mit Kette. Die Kette hat überall die gleiche Geschwindigkeit, die der gemeinsamen Bahngeschwindigkeit der Zahnräder entspricht

Aufgabensammlung

Mountainbike (0057)

Aufgabe mit mehreren Teilschritten, komplette Lösung (pdf/Video):

  • Berechnung der Winkelgeschwindigkeit aufgrund einer Frequenz
  • Berechnung der Winkelgeschwindigkeit eines zweiten Zahnrads
  • Berechnung der Bahngeschwindigkeit

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Lernziele

  • Du kannst die Winkelgeschwindigkeit berechnen und mit korrekter Einheit angeben.

Weitere Links

Winkelgeschwindigkeit (Wikipedia)