Das Wichtigste in Kürze

Eine Kreisbewegung wird durch die Angabe des Drehzentrums bzw. der Rotationsachse und einer Angabe zur Drehgeschwindigkeit beschrieben. Hierzu gibt es folgende Optionen:

    • Winkelgeschwindigkeit $\omega$ mit der Einheit $\text{rad}/\text{s} = \text{s}^{-1}$

    • Frequenz $f$ mit der Einheit $\text{Hz}$ (Hertz)

    • Periode $T$ mit der Einheit $\text{s}$

    • Bahngeschwindigkeit $v$ mit der Einheit $\text{m}/\text{s}$

Die Bahngeschwindigkeit $v$ ist abhängig vom Ort, insbesondere vom Abstand $r$ zum Drehzentrum:

\[ v = r \cdot \omega \]

Die Winkelgeschwindigkeit, Frequenz oder Periode sind für den ganzen rotierenden Körper gleich, unabhängig vom Ort.

Eine Kreisbewegung ist nur möglich, wenn die Zentripetalkraft $F_Z$ die Masse $m$ dauernd auf die nicht-gerade Kreisbahn umlenkt. Sie zeigt zum Zentrum der Kreisbahn hin. Die dauernde Änderung der Geschwindigkeitsrichtung heisst auch Zentripetalbeschleunigung $a_Z$.

\[ F_Z = m \cdot r \cdot \omega^2 \]

Wenn ein rotierendes System mit der Technik des Kräftegleichgewichts und der Newtonschen Gesetze der Mechanik berechnet werden soll, muss eine Scheinkraft eingeführt werden: Die Zentrifugalkraft $F_Z$:

\[ F_Z = m \cdot r \cdot \omega^2 \]

Die Zentrifugalkraft korrigiert den Umstand, dass das System im scheinbaren Kräftegleichgewicht sich auf einer Kreisbahn, statt auf einer geraden Linie mit konstanter Geschwindigkeit bewegt. Die Zentrifugalkraft ist im Betrag gleich gross wie die Zentripetalkraft, zeigt jedoch vom Drehzentrum weg.

Häufigste Fragen

Wenn eine konstante seitliche Kraft wirkt, entsteht eine Kreisbewegung um ein Zentrum herum, das in der Verlängerung der Kraftlinie sitzt.

Die seitliche Kraft ist die Zentripetalkraft. Sie verändert nur die Richtung der Geschwindigkeit, nicht aber ihren Betrag. Der betroffene Körper, der diese Kraft spürt, wird die ganze Zeit seinen Kurs ändern, aber mit gleichförmiger Geschwindigkeit auf dem Kreis unterwegs sein.

Dreht sich ein Körper um seine eigene Achse, können wir uns vorstellen, dass je zwei Hälften des Körpers sich um ein gemeinsames Zentrum bewegen. Beide Hälften spüren die Zentripetalkraft, die sie auf der Kreisbahn behalten.

Deshalb wird jede Kreisbewegung durch eine, zur Bahngeschwindigkeit senkrecht wirkende (seitliche) Zentripetalkraft bewirkt.

Jede Kreisbewegung hat ein Drehzentrum und eine Drehachse, um welche sich der Körper dreht. Meistens wird das Problem in zwei Dimensionen dargestellt, so dass wir nur von einem Drehzentrum reden und die Drehung sich in der Zeichenebene abspielt. Für die Drehrichtung unterscheiden wir dann noch zwischen:

  • Drehrichtung im Uhrzeigersinn
  • Drehrichtung im Gegenuhrzeigersinn

Wie schnell sich etwas dreht, beschreiben wir mit einer Geschwindigkeit. Hierzu gibt es folgende Optionen:

  • Winkelgeschwindigkeit $\omega$ mit der Einheit $[\omega] = \text{rad}/\text{s} = \text{s}^{-1}$
  • Frequenz $f$ mit der Einheit $[f]=\text{s}^{-1} = \text{Hz}$
  • Periode $T$ mit der Einheit $[T]=\text{s}$
  • Bahngeschwindigkeit $v$ mit der Einheit $[v]=\text{m}/\text{s}$

Die ersten beiden, d.h. Winkelgeschwindigkeit $\omega$ und Frequenz $f$, werden wir bevorzugen. Die Periode kann schnell und einfach in eine Frequenz umgewandelt werden. Die Bahngeschwindigkeit ist oft weniger praktisch, weil sie vom genauen Ort am Körper abhängt.

Jede Kreisbewegung wird durch eine, zur Bahngeschwindigkeit senkrecht wirkende (seitliche) Zentripetalkraft bewirkt.

Diese Zentripetalkraft kann in verschiedensten Formen auftreten, z.B. als Seilkraft beim Seilkarussell im Bild unten. Sie kann auch eine Reibungskraft sein, z.B. bei einem Fahrzeug in einer Kurve oder eine Gravitationskraft bei einem Planeten, der um seinen Stern kreist.

Die Zentripetalkraft ermöglicht die Kreisbewegung, ändert aber nichts an der Bahngeschwindigkeit. Man spricht deshalb von gleichförmiger Kreisbewegung, bei welcher die Bahngeschwindigkeit konstant bleibt.

Wirkt auch eine Kraft in Richtung der Bahngeschwindigkeit, so wird diese durch Beschleunigung grösser. Ist die Kraft der Bahngeschwindigkeit entgegengesetzt, wird die Kreisbewegung durch Abbremsen langsamer.

Kreisbewegung (Karussell)
Kreisbewegung (Karussell), licensed CC0, from PxHere

Winkelgeschwindigkeit

Eine Kreisbewegung wird vorzugsweise mit der Winkelgeschwindigkeit $\omega$ (kleines Omega) beschrieben.

Sie hat den Vorteil, dass sie für den ganzen rotierenden Körper immer gleich gross ist.

Die Winkelgeschwindigkeit beschreibt, wie schnell sich der Winkel bei der Kreisbewegung ändert. Eine ganze Umdrehung entspricht einer Änderung des Winkels um $2\pi$ (eine ganze Umdrehung im Bogenmass).

Im Unterricht benutze ich gerne einen Tennisball, der an einer Schnur befestig ist.

Beschreibung der Drehgeschwindigkeit mit Hilfe der Winkelgeschwindigkeit. Wie ändert sich der Winkel mit der Zeit?
Beschreibung der Drehgeschwindigkeit mit Hilfe der Winkelgeschwindigkeit. Wie ändert sich der Winkel mit der Zeit?

Beispielsweise braucht ein Sekundenzeiger genau eine Minute, um den Winkel von $2\pi$ zurückzulegen. Seine Winkelgeschwindigkeit beträgt deshalb:

\[ \omega = \frac{2\pi}{1\,\text{min}} = \frac{2\pi}{60\,\text{s}} = \frac{\pi}{30}\;\text{s}^{-1} \]

Mehr Informationen und Beispiele zur Winkelgeschwindigkeit findest du im Artikel dazu.

Frequenz

In der Umgangssprache verwenden wir eigentlich immer die Frequenz, wenn wir die Drehgeschwindigkeit beschreiben. Wir sagen z.B. “Der Motor hat 3000 Umdrehungen pro Minute”. Wir kümmern uns nicht um Winkel, geschweige um Bogenmass etc. sondern betrachten nur ganze Umdrehungen.

\[ f = \frac{3000}{1\,\text{min}} = \frac{3000}{60\,\text{s}} = 50\,\text{s}^{-1} = 50\,\text{Hz} \]

Für den Sekundenzeiger würden wir eine viel kleinere Frequenz erhalten:

\[ f = \frac{1}{\text{min}} = \frac{1}{60}\;\text{s}^{-1} = \frac{1}{60}\;\text{Hz} \]

Die Umrechnung von Frequenz zu Winkelgeschwindigkeit ist sehr einfach: Die Frequenz $f$ zählt eine Umdrehung mit 1 und die Winkelgeschwindigkeit $\omega$ zählt diese Umdrehung mit $2\pi$, also einfach immer das $2\pi$-fache der Frequenz:

\[ \omega = f \cdot 2\pi \]

Für unseren Motor mit $f=50\,\text{Hz}$ gibt das:

\[ f = 50\;\text{s}^{-1} \quad \rightarrow \quad \omega = (100\pi)\;\text{s}^{-1} \]

Mehr Informationen und Beispiele zur Frequenz findest du im Artikel dazu.

Periode

Die Periode ist die Zeit, die verstreicht, bis sich etwas wiederholt. Für den Sekundenzeiger auf der Uhr ist diese Zeit: 1 Minute. Für den Motor mit 1000 Umdrehungen pro Minute ist die Zeit für 1 Umdrehung natürlich: $\frac{1}{3000}$-stel von einer Minute.

Die Periode ist einfach der Kehrwert der Frequenz:

\[ T = \frac{1}{f} \qquad \qquad f = \frac{1}{T} \]

Für den Sekundenzeiger erhalten wir:

\[ T = \frac{1}{f} = \frac{\;\;1\;\;}{\frac{1}{60\,\text{s}}} = 60\;\text{s} \]

Der Sekundenzeiger braucht ja 60 Sekunden, um seine ganze Umdrehung abzuschliessen.

Wenn wir die Winkelgeschwindigkeit zur Verfügung haben, müssen wir zuerst die Frequenz daraus berechnen, bevor wir den Kehrwert bilden, d.h. wir dividieren zuerst $\omega$ mit $2\pi$ und bilden dann den Kehrwert:

\[ T = \frac{1}{f} = \frac{\;\;1\;\;}{\frac{\omega}{2\pi}} = \frac{2\pi}{\omega} \]

Mehr Informationen und Beispiele zur Periode findest du im Artikel dazu.

Bahngeschwindigkeit

Bei einer Kreisbewegung wandern Teile eines sich drehenden Körpers auf Kreisbahnen. Wie schnell diese unterwegs sind, wird durch die Bahngeschwindigkeit beschrieben.

Im Gegensatz zu en bisherigen Grössen Winkelgeschwindigkeit, Frequenz und Periode, ist die Bahngeschwindigkeit nicht überall gleich, sondern hängt vom betrachteten Punkt ab. Sie nimmt mit zunehmendem Abstand $r$ vom Drehzentrum linear zu:

\[ v = r \cdot \omega \]

Dieser Abstand entspricht auch gleich dem Radius des Kreises der Bahn.

Mehr Informationen und Beispiele zur Bahngeschwindigkeit findest du im Artikel dazu.

Zentripetalkraft

Gemäss Newtons Erstem Gesetz bewegt sich ein Körper geradlinig mit konstanter Geschwindigkeit, wenn keine Kraft auf ihn wirkt. Das ist bei der Kreisbewegung offensichtlich anders. Die Bahn ist ein Kreis und die Geschwindigkeit ändert bei der gleichförmigen Kreisbewegung zwar nicht ihren Betrag, jedoch ihre Richtung und zwar andauernd. Diese Geschwindigkeitsänderung ist eine spezielle Beschleunigung, die Zentripetalbeschleunigung $a_Z$.

\[ a_Z = \frac{v^2}{r} \]

Wenn wir also eine Beschleunigung haben, die die Geschwindigkeit der Masse ändert, dann müssen wir gemäss Newtons Zweitem Gesetz auch eine Kraft haben, die auf die Masse wirkt.

Diese Kraft heisst Zentripetalkraft $F_Z$. Sie zeigt, gleich wie die Zentripetalbeschleunigung, zum Zentrum des Kreises hin.

\[ F = m \cdot a \quad \rightarrow \quad F_Z = m \cdot a_Z \]

Wir setzen den Ausdruck für die Zentripetalbeschleunigung von oben ein

\[ F_Z = m \cdot \Big(\frac{v^2}{r}\Big) = \frac{m \cdot v^2}{r} \]

und ersetzen die Bahngeschwindigkeit mit dem Produkt von Kreisradius und Winkelgeschwindigkeit: $v=r \cdot \omega$:

\[ F_Z = \frac{m \cdot (r \cdot \omega)^2}{r} = \frac{m \cdot r^{\cancel{2}} \cdot \omega^2}{\cancel{r}} \]

\[ F_Z = m \cdot r \cdot \omega^2 \]

So lässt sich der Betrag der Zentripetalkraft berechnen, die den Körper so beschleunigt, dass er sich auf einer Kreisbahn bewegt. Sie drückt ihn quasi auf die Kreisbahn. Sich selbst überlassen, würde der Körper auf einer geraden Linie weiterfliegen. Es kommt aber immer wieder die Zentripetalkraft $F_Z$, die diese Linie zu einer Kreisbahn “biegt”.

Jetzt ist die Zentripetalkraft keine eigenständige Kraft, sondern sie ist vielmehr eine “Rolle” oder ein “Job”. Was ich damit meine: Es gibt z.B. die Gravitationskraft und sie übernimmt bei unserem Mond ???? die Rolle der Zentripetalkraft, wenn es darum geht, den Mond um die Erde ???? kreisen zu lassen.

Der Mond wird ja von der Erde durch die Gravitationskraft angezogen. Diese Gravitationskraft ist die Zentripetalkraft in der Kreisbewegung des Mondes.

Fährt ein Auto in einem Kreisel, so macht es kurzzeitig eine Kreisbewegung. Auch hier muss eine Zentripetalkraft wirken, sonst würde das Auto geradeaus fahren. Die Kraft, die das Auto richtung Kreiselzentrum drückt, ist die Haftreibung zwischen den Reifen und der Strasse. Haben wir keinen Grip mehr, fährt das Auto aus dem Kreisel gerade aus weiter. ????

Weitere Beispiele:

KreisbewegungKraft, die als Zentripetalkraft wirkt
Mond um die Erde, Erde um die Sonne etc.Gravitationskraft zwischen Erde und Sonne
Auto in einem KreiselHaftreibung zwischen Rad und Strasse
Tennisball an Schnur angemachtSeilkraft über die Schnur
Propeller eines FlugzeugsKraft im Propellermaterial, das den Propeller zusammenhält (sonst würde der auseinandergerissen werden)
SalatschleuderNormalkraft des Korb-Seitenwände, die auf die Salatblätter wirkt
Sportwagen in einer KurveNormalkraft des Sitzes, die den Fahrer vom seitlichen Herausfallen abhält
Proton im Large-Hadron-Collider (CERN)Lorentzkraft, die durch starke Magnete entlang der Bahn verursacht wird

Beispiel: Zentripetalkraft in der Wäschetrommel

Mit welcher Kraft drückt die Seitenwand der Wäschetrommel in der Waschmaschine (Durchmesser 50 cm) auf ein nasses T-Shirt (250 g) während des Schleudervorgangs bei 1’400 Umdrehungen pro Minute?

Für die Zentripetalkraft $F_Z$ brauchen wir die Masse, den Radius der Kreisbahn und die Winkelgeschwindigkeit. Die Masse ist in der Aufgabenstellung gegeben und den Radius erhalten wir durch Halbierung des Duchmessers:

\[ m = 0.2\;\text{kg} \]

\[ r = \frac{D}{2} = 0.25\;\text{m} \]

Wir haben in der Aufgabe die Freuquenz der Kreisbewegung. Diese rechnen wir in die Winkelgeschwindigkeit um, indem wir einfach die Anzahl Umdrehungen mit dem Bogenmass für eine ganze Umdrehung ($2\pi$) multiplizieren:

\[ \omega = 2\pi \cdot f = 2\pi \cdot 1400 \; \text{s}^{-1} = (2800\pi) \; \text{s}^{-1} \]

Beachte: Ich lasse die Zahl $\pi$ noch so stehen, denn sonst habe ich ein gerundetes und damit ungenaues Zwischenergebnis.

Jetzt können wir alles in die Formel für die Zentripetalkraft einsetzen:

\[ F_Z = m \cdot r \cdot \omega^2 \]

\[ F_Z = 0.2\;\text{kg} \cdot 0.25\;\text{m} \cdot (2800\pi \; \text{s}^{-1})^2 \]

\[ F_Z = 3.869 \cdot 10^6 \;\text{N} = \underline{3’869\;\text{kN}} \]

Diese Kraft ist so gross, wie etwa die Gewichtskraft eines Pferdes mit Masse 400 kg!

“Die Zentrifugalkraft ist keine Kraft. Sie existiert nicht einmal! Sie ist aber ein sehr nützliches Werkzeug, um anspruchsvollere Aufgaben zu rechnen.

Zentrifugalkraft

Möchte man ein rotierendes System mit der Technik des Kräftegleichgewichts und der Newtonschen Gesetze der Mechanik berechnen, so müssen wir eine Scheinkraft einführen: Die Zentrifugalkraft $F_Z$.

Sie ist gleich stark, wie die Zentripetalkraft, hat aber die umgekehrte Richtung, vom Drehzentrum wegzeigend:

\[ F_Z = m \cdot r \cdot \omega^2 \]

Warum braucht es diese “Fake”-Kraft?

Die Kreisbahn ist keine gerade Linie und wir können auch nicht behaupten, dass Kräftegleichgewicht herrscht, da wir auf diese Weise keine Kreisbahn erhalten würden.

Beim Arbeiten mit der Zentripetalkraft macht man deshalb zwei bewusste Fehler ????, die sich aber wieder aufheben:

  • Wir führen eine Kraft ein (Zentripetalkraft), die es nicht gibt
  • Wir nehmen an, dass die Masse bei Kräftegleichgewicht eine konstante Bahngeschwindigkeit einnimmt auf einem Kreis (statt einer geraden Linie).

Im nachfolgenden Bild ist das Kreisen eines Satelliten um die Erde herum eingezeichnet. Die Erde zieht am Satelliten (Gravitationskraft).

Zentrifugalkraft bei einer Kreisbewegung
Die Kreisbewegung der Masse $m$ kann beschrieben werden als ein Kräftegleichgewicht der Gravitationskraft $F_G$ und der eingeführten Zentripetalkraft $F_Z$. (Globe, licensed under CC BY-SA 3.0)

Soweit hätten wir kein Kräftegleichgewicht. Wir führen jetzt aber eine Zentrifugalkraft $F_Z$ ein und behaupten jetzt, dass diese Kraft so gross ist, dass wir gerade das Kräftegleichgewicht erreichen ($F_{res} = 0$) und somit eine Kreisbewegung mit konstanter Bahngeschwindigkeit erhalten.

Die Bedingung für die Kreisbewegung ist also $F_{res}=0$ und somit:

\[ F_Z = F_G \]

Jetzt haben wir genau das gleiche Ergebnis, wie jemand, der mit der Zentripetalkraft argumentiert. Er würde auch behaupten, dass die Gravitationskraft $F_G$ die Zentripetalkraft $F_Z$ ausmacht.

Die Physiker mögen die Zentrifugalkraft gar nicht, weil sie nicht existiert und das Ganze wie ein “Gebastel” erscheint. Allerdings wird es schwierig ein Problem zu verstehen, wenn verschiedene Kräfte nur teilweise die Rolle der Zentripetalkraft übernehmen. In solchen Fällen ist die Arbeit mit der Zentrifugalkraft viel eleganter. ????

Aufgabensammlung

Mountainbike (0057)

Aufgabe mit mehreren Teilschritten, komplette Lösung (pdf/Video):

  • Berechnung der Winkelgeschwindigkeit aufgrund einer Frequenz
  • Berechnung der Winkelgeschwindigkeit eines zweiten Zahnrads
  • Berechnung der Bahngeschwindigkeit

Um auf die Übung zugreifen zu können, musst du eingeloggt sein.

Karussell (0050)

3 Aufgaben mit Lösungen (pdf/Video):

  • Bestimmung der Zentripetalkraft
  • Diskussion ihrer Wirkung
  • Berechnung der Zentripetalkraft
  • Haftreibungskraft als Zentripetalkraft

Um auf die Übung zugreifen zu können, musst du eingeloggt sein.

Kreisendes Pendel (0042)

3 Aufgaben mit Lösungen (pdf/Video):

  • Lösen einer Aufgabe mit Hilfe der Zentrifugalkraft und eines Kräftegleichgewichts
  • Berechnung der Zentrifugalkraft
  • Berechnung der Periode

Um auf die Übung zugreifen zu können, musst du eingeloggt sein.

Eisschnellläuferin (0051)

4 Aufgaben mit Lösungen (pdf/Video):

  • Berechnung des Radius einer Eisbahn
  • Einzeichnen der wirkenden Kräfte auf die Eisschnellläuferin (inkl. Zentrifugalkraft) und Diskussion
  • Berechnung der Bahngeschwindigkeit

Um auf die Übung zugreifen zu können, musst du eingeloggt sein.

Looping (0058)

Aufgabe mit kompletter Lösung (pdf/Video):

  • Berechnung der Minimalgeschwindigkeit, damit der Looping gelingt
  • Diskussion beider Wege, mit Zentripetalkraft und mit Zentrifugalkraft

Um auf die Übung zugreifen zu können, musst du eingeloggt sein.

Aufgabensammlung

  • Bahngeschwindigkeit des Merkurs (0055)

  • Eisschnellläuferin (0051)

  • Karussell (0050)

  • Kreisendes Pendel (0042)

  • Looping (0058)

  • Mountainbike (0057)

Lernziele

  • Du weisst, dass bei einer Kreisbewegung eines Körpers, die Winkelgeschwindigkeit für den ganzen Körper gilt, die Bahngeschwindigkeit jedoch vom Radius des betrachteten Punkts abhängt.
  • Du kannst Bahngeschwindigkeiten und Winkelgeschwindigkeiten berechnen oder sie ineinander umrechnen, jeweils mit korrekten Einheiten
  • Du kennst die Zentripetalkraft und weisst, dass sie eine “Rolle” ist, die durch verschiedene Kräfte wahrgenommen werden kann. Du kannst die Zentripetalkraft berechnen bzw. Aufgaben mit Zentripetalkraft lösen.
  • Du kennst die Zentrifugalkraft und weisst, wie sie angewandt bzw. berechnet wird. Du kannst mit Hilfe der Zentrifugalkraft das Kräftegleichgewicht für ein System aufstellen, das sich in einer gleichförmigen Kreisbewegung befindet.
  • Du weisst, warum die Znetrifugalkraft als “Scheinkraft” bezeichnet wird und kannst dies in eigenen Worten erklären. 

Weitere Links

Gleichförmige Kreisbewegung (Wikipedia)

Kreisbewegung (LEIFIphysik)