Das Wichtigste in Kürze

Bei Kreisbewegungen ist die Bahngeschwindigkeit $v$ die Geschwindigkeit eines Punktes auf einer Kreisbahn mit Radius $r$. Die Richtung der Bahngeschwindigkeit ist tangential zum Kreis der Kreisbewegung.

\[ v = r \cdot \omega \]

Dabei ist $\omega$ die Winkelgeschwindigkeit der Kreisbewegung.

Einheit der Bahngeschwindigkeit:

\[ [\;v\;] = \frac{\text{m}}{\text{s}} \]

Je grösser der Abstand $r$ vom Drehzentrum, desto grösser ist die Bahngeschwindigkeit. Deshalb haben beim Propeller die Enden die grösste Bahngeschwindigkeit, während das Drehzentrum selbst die Bahngeschwindigkeit null hat.

Wir können die Bahngeschwindigkeit auch mit Hilfe des Kreisumfangs $U$ und der Periode $T$ berechnen, die für eine Umrundung benötigt wird:

\[ v = \frac{U}{T} = \frac{2 \pi r}{T} \]

Häufigste Fragen

Unter der Bahngeschwindigkeit verstehen wir die Geschwindigkeit eines Punktes (oder Körpers) auf einer Kreisbahn.

Bei Kreisbewegungen verlaufen alle Punkte auf einer jeweiligen Kreisbahn. Sie haben eine Geschwindigkeit auf dieser Bahn, die Bahngeschwindigkeit. Planeten haben eine Bahngeschwindigkeit um ihren Stern herum, Monde sind mit einer Bahngeschwindigkeit um ihren Planeten unterwegs etc.

Am einfachsten lässt sich die Bahngeschwindigkeit errechnen aus dem Umfang $U$ (Strecke für eine Umrundung) und der Periode $T$ (Zeit für eine Umrundung):

\[ v = \frac{U}{T} = \frac{2 \pi r}{T} \]

Wenn die Kreisbewegung mit einer Winkelgeschwindigkeit beschrieben ist, können wir die Bahngeschwindigkeit wie folgt berechnen:

\[ v = r \cdot \omega \]

Die Einheit der Bahngeschwindigkeit ist

\[ [\;v\;] = \frac{\text{m}}{\text{s}} \]

Natürlich kann sie auch in km/h oder bei sehr grossen Geschwindigkeiten gar in km/s angegeben werden.

Menschen am Äquator haben die grösste Bahngeschwindigkeit aufgrund der Rotation der Erde um ihre eigene Achse. Im Gegensatz dazu, hat ein Mensch am Nord- oder Südpol keine Bahngeschwindigkeit, weil sich um seine eigene Achse dreht.

Der Radius der Erde am Äquator beträgt ca. 6378 km. Damit können wir den Umfang $U$ der Kreisbahn für den Menschen am Äquator berechnen:

\[ U = 2 \pi r = 2 \pi \cdot 6’378’000\;\text{m} = 4.007 \cdot 10^7\;\text{m} \]

Die Periode $T$ ist die Zeit, die der Mensch für eine ganze Umdrehung braucht, d.h. einen ganzen Tag, bzw. 24 Stunden à je 3600 Sekunden:

\[ T = 24 \cdot 3600\;\text{s} = 86’400\;\text{s} \]

Die Bahngeschwindigkeit am Äquator ist somit:

\[ v = \frac{U}{T} = \frac{4.007 \cdot 10^7\;\text{m}}{86’400\;\text{s}} = 463.8\;\frac{\text{m}}{\text{s}} = 1670\;\text{km}/\text{h} \]

Die Bahngeschwindigkeit ist ein Unterthema der Kreisbewegung. Du findest dort zusätzliche Infos.

Richtung der Bahngeschwindigkeit

Bei einer Kreisbewegung wandern Teile eines sich drehenden Körpers auf Kreisbahnen. Wie schnell diese unterwegs sind, wird durch die Bahngeschwindigkeit beschrieben.

Die Richtung der Bahngeschwindigkeit ist immer tangential zum Kreis.

Wir sehen das auch sehr schön in folgendem Beispiel:

Beispiel: Trennscheibe

Eine Trennscheibe dreht mit sehr grosser Winkelgeschwindigkeit und bringt das bearbeitete Metall zum Glühen. Erkläre die Richtung der Leuchtspuren auf dem Bild und vergleiche sie mit der Kreisbewegung und der Bahngeschwindigkeit.

Kreisbewegung (tangentiale Bahngeschwindigkeit)
Kreisbewegung (tangentiale Bahngeschwindigkeit), Image by alireza naseri, shared on Unsplash

Die glühenden Metallteilchen kleben am Rand der Trennscheibe und drehen sich mit ihr. Ihre Bahn ist ein Kreis. Wir sehen deshalb einen leuchtenden Kreis.

Hin und wieder lösen sich glühende Metallteilchen von der Trennscheibe. Ab dem Punkt, wo sie sich lösen, sind sie näherungsweise kräftefrei, d.h. bewegen sich gemäss Newtons Erstem Gesetz geradlinig mit konstanter Geschwindigkeit.

Die Geschwindigkeit ist gleich der Bahngeschwindigkeit, als sie sich von der Kreisscheibe lösten, sowohl im Betrag, wie auch in der Richtung. Wir erkennen dadurch, dass die Bahngeschwindigkeiten tangential zum Kreis sind.

“Zwei Punkte können unterschiedliche Bahngeschwindigkeiten haben, obwohl sie zum gleichen Körper gehören, der die eine Winkelgeschwindigkeit, Frequenz oder Periode hat.”

Betrag der Bahngeschwindigkeit

Die Drehgeschwindigkeit von Kreisbewegungen kann mit verschiedenen Grössen beschrieben werden: Die Winkelgeschwindigkeit, die Frequenz oder die Periode sind Grössen, die z.B. für den ganzen Sekundenzeiger gelten, egal, ob wir etwa von seiner Spitze oder seiner Drehachse sprechen.

Bei der Bahngeschwindigkeit ist das anders: Die Spitze des Sekundenzeigers hat die höchste Bahngeschwindigkeit. Die Achse des Sekundenzeigers hat hingegen eine Bahngeschwindigkeit, die null ist.

Nehmen wir das Beispiel des Tennisball, der an einer Schnur befestigt ist:

Beschreibung der Drehgeschwindigkeit mit Hilfe der Bahngeschwindigkeit. Für die gleiche Kreisbewegung ist die Bahngeschwindigkeit je nach Ort unterschiedlich gross.
Beschreibung der Drehgeschwindigkeit mit Hilfe der Bahngeschwindigkeit. Für die gleiche Kreisbewegung ist die Bahngeschwindigkeit je nach Ort unterschiedlich gross.

Wenn wir die Bahngeschwindigkeit der beiden Punkte Innenbahn 1 und Aussenbahn 2 vergleichen, so sehen wir, dass der Punkt auf der Aussenbahn einen grösseren Kreis zurücklegt. Er schafft den grösseren Umfang in der gleichen Zeit, wie der Punkt auf der Innenbahn, d.h. er muss deshalb schneller unterwegs sein.

Bei einem Propeller dreht sich der Punkt an der Drehachse um sich selbst. Er hat keine Bahngeschwindigkeit und wir könnten ihn theoretisch mit dem Finger berühren. Das Ende eines Propellerrotors ist dagegen sehr schnell unterwegs und hat eine grosse Bahngeschwindigkeit.

Für die Bahngeschwindigkeit können wir einfach die Frage stellen: Wie gross ist die Strecke $\Delta s$ z.B. für einen Umfang und wie gross ist die Periode $T$, die für einen ganzen Umfang $U=2\pi r$ nötig war:

\[ v = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{2\pi r}{T} \]

Die Winkelgeschwindigkeit ist ähnlich: Sie sagt, wie viel Winkel die Kreisbewegung macht pro Zeit. Für eine ganze Umdrehung nimmt sie nicht den Umfang, sondern den Winkel von $2\pi$ im Bogenmass (oder eben den Bogen des Einheitskreises):

\[ \omega = \frac{2\pi}{\Delta t} \]

Wir können diesen Ausdruck nach $2\pi$ umformen

\[ 2\pi = \omega \cdot \Delta t \]

und oben im Ausdruck für die Bahngeschwindigkeit einsetzen. Wir erhalten dann:

\[ v = \frac{2\pi \cdot r}{\Delta t} = \frac{(\omega \cdot \cancel{\Delta t}) \cdot r}{\cancel{\Delta t}} \]

\[ v = r \cdot \omega \]

Die Bahngeschwindigkeit $v$ ist abhängig vom Abstand $r$ zum Drehzentrum. Sie nimmt linear mit dem Abstand (Radius) zu: Je grösser der Abstand, desto grösser der Umfang, desto grösser die Bahngeschwindigkeit. ????

Für das Drehzentrum selbst ist der Abstand null und die Bahngeschwindigkeit dann ebenfalls null.

Beispiel: Bahngeschwindigkeit der Erde

Berechne die Bahngeschwindigkeit der Erde in km/h. Die Erdbahn kann als Kreis um die Sonne approximiert werden, mit Radius $r=150.42 \cdot 10^6\;\text{km}$

Die Bahngeschwindigkeit der Erde ist der Umfang einer Umrundung der Sonne in einem Jahr. Wir berechnen zuerst den Umfang in der Grundeinheit (Meter):

\[ U = 2\pi r = 2\pi \cdot 150.42 \cdot 10^9\;\text{m} = 9.451\cdot 10^{11}\;\text{m} \]

Diesen Umfang schafft die Erde in der Zeit eines Jahres, das wir auch in die Grundeinheit (Sekunde) umrechnen:

\[ \Delta t = 1\;y = 365.25 \cdot 24 \cdot 3600\;\text{s} = 3.156 \cdot 10^7\;\text{s} \]

Jetzt berechnen wir die Bahngeschwindigkeit:

\[ v = \frac{U}{\Delta t} = \frac{9.451\cdot 10^{11}\;\text{m}}{3.156 \cdot 10^7\;\text{s}} = 2.995\cdot 10^4\;\frac{\text{m}}{\text{s}} \]

Für die Geschwindigkeit in km/h multiplizieren wir mit 3.6 und erhalten:

\[ v = 3.6 \cdot 2.995\cdot 10^4\;\frac{\text{km}}{\text{h}} = \underline{100’782\;\frac{\text{km}}{\text{h}} } \]

Die Erde ist ein sehr schnelles Raumschiff! ????

Beispiel: Bahn eines geostationären Satelliten

Wie gross ist die Bahngeschwindigkeit eines geostationären Satelliten, der im Abstand von 42’240 km vom Erdmittelpunkt entfernt ist?

Um diese Bahngeschwindigkeit zu berechnen, werden wir den Umfang der Kreisbahn durch die Zeit teilen, die der Satellit für einen Umfang braucht.

Der Umfang beträgt:

\[ U = 2\pi r = 2\pi \cdot 42’240’000\;\text{m} = 2.654 \cdot 10^8\;\text{m} \]

Für eine Umrundung braucht der Satellit genau 24 Stunden:

\[ \Delta t = 24 \cdot 3600 \; \text{s} = 86’400\;\text{s} \]

Das gibt uns eine Bahngeschwindigkeit:

\[ v = \frac{U}{\Delta t} = \frac{2.654 \cdot 10^8\;\text{m}}{86400 \; \text{s}} = 3072\;\text{m}/\text{s} \]

Umgerechnet in km/h, d.h. mit 3.6 multipliziert, gibt uns das:

\[ \underline{v = 11’058\;\text{km}/\text{h}} \]

Auch wenn das eine ganz ordentliche Geschwindigkeit ist, so ist sie deutlich kleiner als die Geschwindigkeit der ISS, die schneller sein muss, weil sie viel näher an der Erde ist.

Bahngeschwindigkeit bei Zahnrädern

Zahnräder, die sich berühren, drehen sich mit unterschiedlichen Winkelgeschwindigkeiten, wenn sie verschieden gross sind. Sie berühren sich aber in einem Punkt, der für beide Zahnräder die gleiche Bahngeschwindigkeit hat.

Das muss so sein, denn sonst würden sich die Zahnräder in diesem Punkt nicht nur berühren, sondern sie würden aneinander reiben, was zu unnötigen Reibungsverlusten führen würde (Materialverschleiss, Erwärmung etc).

Kreisbewegung: Winkelgeschwindigkeit von Zahnräder
Kreisbewegung: Winkelgeschwindigkeit von Zahnräder. Die beiden Zahnräder haben im Berührungspunkt die gleiche Bahngeschwindigkeit

Das Gleiche gilt auch beim Einsatz von Ketten oder Riemen: Die Bahngeschwindigkeit $v$ des ersten Zahnrads wird auf die Kette übertragen, die immer mit $v$ unterwegs ist. Diese überträgt diese Geschwindigkeit auf das zweite Zahnrad, welches daraus eine Winkelgeschwindigkeit erhält.

Beachte, dass die Drehrichtung beim Kettenantrieb die Gleiche ist.

Kreisbewegung: Winkelgeschwindigkeit von Zahnräder mit Kette
Kreisbewegung: Winkelgeschwindigkeit von Zahnräder mit Kette. Die Kette hat überall die gleiche Geschwindigkeit, die der gemeinsamen Bahngeschwindigkeit der Zahnräder entspricht

Im Artikel zur Winkelgeschwindigkeit leiten wir aus der Bedingung, dass die Bahngeschwindigkeiten beider Zahnräder gleich sein muss, eine Gleichung her und damit ein Verhältnis für die Winkelgeschwindigkeiten der beiden Zahnräder (mit Rechenbeispiel).

Aufgabensammlung

Mountainbike (0057)

Aufgabe mit mehreren Teilschritten, komplette Lösung (pdf/Video):

  • Berechnung der Winkelgeschwindigkeit aufgrund einer Frequenz
  • Berechnung der Winkelgeschwindigkeit eines zweiten Zahnrads
  • Berechnung der Bahngeschwindigkeit

Um auf die Übung zugreifen zu können, musst du eingeloggt sein.

Eisschnellläuferin (0051)

4 Aufgaben mit Lösungen (pdf/Video):

  • Berechnung des Radius einer Eisbahn
  • Einzeichnen der wirkenden Kräfte auf die Eisschnellläuferin (inkl. Zentrifugalkraft) und Diskussion
  • Berechnung der Bahngeschwindigkeit

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Aufgabensammlung

  • Intercity (0036)

  • Messung der Lichtgeschwindigkeit (0117)

Lernziele

  • Du weisst, dass bei einer Kreisbewegung eines Körpers, die Winkelgeschwindigkeit für den ganzen Körper gilt, die Bahngeschwindigkeit jedoch vom Radius des betrachteten Punkts abhängt.
  • Du kannst Bahngeschwindigkeiten und Winkelgeschwindigkeiten berechnen oder sie ineinander umrechnen, jeweils mit korrekten Einheiten

Weitere Links

Bahngeschwindigkeit-und-winkelgeschwindigkeit (LEIFIphysik)