Geschwindigkeit

Verschiedene Arten von Geschwindigkeit

Es gibt viele Arten von Geschwindigkeit. Wir werden in diesem Artikel die folgenden Arten von Geschwindigkeit kennenlernen:

• Translatorische Geschwindigkeit: Das ist die Geschwindigkeit für eine translatorische Bewegungen, d.h. eine nicht-rotative Verschiebung im Raum
• Momentangeschwindigkeit: Unter der Momentangeschwindigkeit ist die translatorische Geschwindigkeit zu einem ganz bestimmten Ort und Moment gemeint
• Mittlere Geschwindigkeit: Die mittlere Geschwindigkeit ist das Mittel aller Geschwindigkeiten für eine bestimmte Zeitperiode bzw. für eine bestimmte Strecke

Für die nachfolgenden Arten von Geschwindigkeiten sei auf die entsprechenden, verlinkten Artikel verwiesen:

• Bahngeschwindigkeit: Sie ist die translatorische Geschwindigkeit auf einer meist kreisförmigen Bahn, z.B. auf einer Umlaufbahn um die Sonne
• Winkelgeschwindigkeit: Ist die Rate, mit welcher der Winkel (in Bogenmass) pro Zeit ändert. Sie beschreibt die Drehgeschwindigkeit einer Kreisbewegung
• Lichtgeschwindigkeit: Ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit von elektromagnetischen Wellen, zu welchen auch das Licht gehört.
• Wellengeschwindigkeit: Ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit einer Welle, die für diese Wellenart typisch ist.
• Fluchtgeschwindigkeit: Ist die Geschwindigkeit, die ein Flugobjekt mindestens haben muss, um aus dem Gravitationspotenzial (z.B. von der Erde) ausbrechen zu können und nicht wieder zurückzufallen.

Translatorische Geschwindigkeit

Abkürzung: \(v\)

Einheiten: \(\frac{\text{km}}{\text{h}} \; \) oder \(\; \frac{\text{m}}{\text{s}}\)

Beachte, dass die Geschwindigkeit eine Vektorgrösse ist, d.h. \(v = |\vec{v}|\) ist der Betrag der Geschwindigkeit. Hinzu kommt noch die Richtung der Geschwindigkeit, die der Richtung der Bewegung entspricht.

Wenn du Geschwindigkeiten bei zusammengesetzten Bewegungen addieren, müssen Sie Vektoren addieren. Sie können nur dann die Vektoreigenschaft ignorieren, wenn die beiden Geschwindigkeiten parallel sind. Gleichgerichtete Geschwindigkeiten addieren sich als Summengeschwindigkeit, entgegensetzt gerichtete Geschwindigkeiten werden von einander subtrahiert (Differenzgeschwindigkeit).

Wenn die Geschwindigkeit grösser oder kleiner wird oder sich in der Richtung ändert, spricht man von Beschleunigung, die als Änderung der Geschwindigkeit pro Zeit definiert ist.

Momentane Geschwindigkeit 

Die momentane Geschwindigkeit ist die Steigung des Verlaufs im s,t-Diagramm am entsprechenden Punkt:

• steil nach rechts oben = grosse Geschwindigkeit vorwärts (\(s\) nimmt zu)
• relativ flach nach rechts oben = kleine Geschwindigkeit vorwärts (\(s\) nimmt zu)
• horizontal = Halt, keine Geschwindigkeit (\(s\) bleibt konstant)
• relativ flach nach rechts unten = kleine Geschwindigkeit rückwärts (\(s\) nimmt ab)
• steil nach rechts unten = grosse Geschwindigkeit rückwärts (\(s\) nimmt ab)

Wird die Geschwindigkeit über Zeit aufgezeichnet, erhält man ein v,t-Diagramm.

Wenn sich die Geschwindigkeit allmählich ändert, ist der Verlauf im s,t-Diagramm gekrümmt. Ist der Verlauf nach rechts gekrümmt, nimmt die Vorwärtsgeschwindigkeit ab (Abbremsen). Sobald die \(s\)-Werte im Verlauf abnehmen und es sich um eine Rückwärtsbewegung handelt, ist eine Krümmung nach rechts eine Beschleunigung zu noch grösseren Rückwärtsgeschwindigkeiten.

Die momentante Geschwindigkeit ist die Steigung der Tangente an den Verlauf im entsprechenden Punkt (\(t\), \(s\)), der einem bestimmten Zeitpunkt \(t\) und einem bestimmten Ort \(s\) entspricht. Um die Steigung der Tangente zu bestimmen, wird eine beliebige, aber nicht zu kleine Zeitperiode \(\Delta t\) betrachtet und die Änderung des Orts für die Tangente \(\Delta s\) genommen. Die momentane Geschwindigkeit errechnet sich dann aus

\[ v = \frac{\Delta s}{\Delta t} \]

Die momentane Geschwindigkeit wird z.B. von einem Radargerät der Polizei gemessen. Dieses Gerät misst die Geschwindigkeit eines Fahrzeugs an einem bestimmten Ort (dem Standort des Radargeräts) und zu einer bestimmten Zeit (dem Zeitpunkt des Auslösens).

Mittlere Geschwindigkeit 

Die momentane Geschwindigkeit ändert sich die ganze Zeit. Praktischer ist die mittlere Geschwindigkeit. Sie sagt aus, wie gross die Geschwindigkeit in einem bestimmten Zeitraum war. Die mittlere Geschwindigkeit ist, wie der Name sagt, die Mittelung oder der Durchschnitt aller Geschwindigkeiten im betrachteten Zeitraum.

Die mittlere Geschwindigkeit wird ermittelt, indem Startpunkt und Endpunkt der betrachteten Periode verbunden werden. Die Steigung der entstehende Sekante entspricht der mittleren Geschwindigkeit:

\[ \overline{v} = \frac{\Delta s}{\Delta t} \]

Es ist fast ein bisschen erstaunlich, dass wir für die Berechnung eines Durchschnitts die einzelnen Geschwindigkeiten gar nicht brauchen. Uns reicht es zu wissen, wie weit wir in wieviel Zeit gekommen sind. Aus den beiden Punkten kriegen wir \(\Delta s\) und \(\Delta t\) und können so die mittlere Geschwindigkeit \(\overline{v}\) berechnen.

Beispiel 

Ein Auto fährt mit einer Geschwindigkeit, die dauernd ändert. In einem Zeitraum von 2 Stunden kommt es 120 km weit. Wie gross war die mittlere Geschwindigkeit in dieser Zeitperiode?

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Die mittlere Geschwindigkeit beträgt natürlich ganz einfach

\[ \overline{v} = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{120\;\text{km}}{2\;\text{h}} \]

Das Auto ist in diesen zwei Stunden mal schneller mal langsamer als 120 km/h. Der Durchschnitt aller Geschwindigkeit beträgt aber 120 km/h.

Umrechnen von Geschwindigkeitseinheiten 

Je nachdem, in welchen Einheiten der Streckenabschnitt \(\Delta s\) und die Zeitperiode \(\Delta t\) in die Formel für die Geschwindigkeit eingesetzt worden sind, ändert sich die Geschwindigkeitseinheit. Oft ist es die falsche Einheit, so dass es ganz nützlich ist zu wissen, wie eine Einheit in eine andere umgerechnet werden soll.

Beispiel 

Wie vielen Metern pro Sekunde entspricht die Geschwindigkeit von 72 km/h?

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Wir starten mit der Angabe der Aufgabe und schreiben sie als Bruch.

\[ v = 72 \frac{\text{km}}{\text{h}} \]

Nun drücken wir die gegebenen Kilometer in die gesuchten Meter aus und die gegebenen Stunden in gesuchte Sekunden:

\[ v = 72 \frac{1000\;\text{m}}{3600\;\text{s}} = \frac{72 \cdot 1000}{3600} \cdot \frac{\text{m}}{\text{s}} \]

Damit haben wir die gesuchte Einheit. Wir müssen nur noch die Zahlen vorne verrechnen. Wir kürzen dazu mit 100 und erhalten:

\[ \require{cancel} v = \frac{72 \cdot 10\cancel{00}}{36\cancel{00}} \cdot \frac{\text{m}}{\text{s}} = \frac{72}{3.6} \cdot \frac{\text{m}}{\text{s}} = 20 \frac{\text{m}}{\text{s}} \]

Wir müssen die Geschwindigkeit in km/h einfach durch 3.6 teilen und erhalten die Geschwindigkeit in m/s.

Beispiel 

Wie vielen Kilometern pro Stunde entspricht die Geschwindigkeit von 10 m/s?

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Es ist der umgekehrte Weg, verglichen mit dem oberen Beispiel, d.h. wir könnten die Geschwindigkeit in m/s einfach mit 3.6 multiplizieren. Der Übung halber, schauen wir uns die Sache aber etwas mehr im Detail an:

Wir vorhin starten mit der Angabe der Aufgabe und drücken die Einheiten in den gesuchten Einheiten km und h aus:

\[ v = 10 \frac{\text{m}}{\text{s}} = 10 \frac{\frac{1}{1000}\text{km}}{\frac{1}{3600}\text{h}} \]

Ein Meter ist ja der Tausendstel eines Kilometers und eine Sekunde ist der 3600-stel einer Stunde. Den Doppelbruch schreiben wir um als Produkt des Zählerbruchs mit dem Kehrbruch des Nennerbruchs:

\[ \require{cancel} v = 10 \cdot \frac{1\;\text{km}}{10\cancel{00}} \cdot \frac{36\cancel{00}}{1\;\text{h}} = 10 \cdot 3.6 \frac{\text{km}}{\text{h}} = 36\;\frac{\text{km}}{\text{h}} \]

Wie erwartet, müssen wir die Geschwindigkeit in m/s einfach mit 3.6 multiplizieren und erhalten die Geschwindigkeit in km/h.