Schweredruck (hydrostatischer Druck)

Beachte, dass der Schweredruck \(p\) abhängig ist von der Höhe \(h\) der Flüssigkeitssäule über dem Messpunkt. Was darunter liegt, spielt keine Rolle. Je schwerer die Flüssigkeit, d.h. je grösser die Dichte der Flüssigkeit \(\rho\), desto schneller steigt der Schweredruck an.

Interessant ist auch, dass der Schweredruck komplett unabhängig ist von der Querschnittsfläche \(A\) und deren Geometrie. Es kommt nicht darauf an, ob es schlankes, breites, quaderförmiges oder zylindrisches Gefäss ist. Nur die Höhe der Flüssigkeitssäule über dem Punkt ist für den Schweredruck der entsprechenden Flüssigkeit relevant.

Wir sehen auch, dass die Erdbeschleunigung \(g\) mitverantwortlich ist für den Schweredruck. Das ist nicht weiter verwunderlich. Ohne Erdbeschleunigung hätten wir kein Eigengewicht und damit auch keinen Schweredruck.

Beispiel

Wie gross ist der Druck unter Wasser in \(15\,\text{m}\) Tiefe, wenn der Luftdruck rund \(1\,\text{bar}\) beträgt?

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Wir setzen die folgenden Grössen ein: \(\,\rho = 1000\,\text{kg}/\text{m}^3\), \(\,g=9.81\,\text{m}/\text{s}^2\), \(\,h=15\,\text{m}\,\) und \(\,p_U = 1\,\text{bar}\,\), wobei wir den Umgebungsdruck vorher noch in \(\text{Pa}\) umrechnen:

\[ p = \rho g h + p_U = 1000\,\frac{\text{kg}}{\text{m}^3} \cdot 9.81\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 15\,\text{m} + 10^5\,\text{Pa} \]

\[ p = (1000 \cdot 9.81 \cdot 15) \,\text{Pa} + 10^5\,\text{Pa} = 247’150\,\text{Pa} \]

Jetzt rechnen wir wieder in \(\text{bar}\) zurück und erhalten das Resultat: \(p = \underline{2.47\,\text{bar}}\).

Beachte, dass die Einheiten schön aufgehen:

\[ \require{cancel} \frac{\text{kg}}{\text{m}^3} \cdot \frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot \text{m} = \frac{\text{kg m}}{\text{s}^2} \cdot \frac{\cancel{\text{m}}}{\text{m}^{\cancel{3}\,2}} = \text{N} \cdot \frac{1}{\text{m}^2} = \text{Pa} \]

Zu den \(1\,\text{bar}\) Luftdruck kommen noch knapp \(1.5\,\text{bar}\) hinzu, die durch die \(15\,\text{m}\)-Wassersäule entstehen.

Die Faustregel lautet deshalb:

Druck aufgrund des Eigengewichts

In der Mechanik ist es oft nützlich, sich als ganz kleinen Käfer vorzustellen. Wir stellen uns dazu die Frage: “Was würden wir unter einem dicken Buch spüren?”. Von oben drückt das Buch mit seiner Gewichtskraft. Von unten spüren wir aber auch einen Druck. Die Tischplatte drückt mit der Normalkraft. Die Normalkraft muss gleich gross sein, wie die Kraft von oben, denn beide Kräfte müssen sich aufheben. Nur so ist Newtons Erstes Gesetz erfüllt und wir haben einen Käfer, der in Ruhe ist und in Ruhe bleibt. Der Käfer wird mit zwei gleich grossen Kräften zusammengedrückt. Da die Kräfte nicht besonders gross sind, haben wird dadurch auch relativ wenig Druck.

Wenn wir jetzt mehr Bücher aufeinander stapeln, erhöht sich die Kraft auf den untere Käfer und damit haben wir viel Druck. Der andere Käfer, der unter dem obersten Buch liegt, spürt wieder die gleiche Kraft von oben und die gleiche Normalkraft von unten, wie in der ersten Situation (sofern es sich um das gleich schwere Buch handelt). Er spürt weiterhin wenig Druck. Was unter ihm liegt ist nicht relevant. Der Käfer spürt die Anzahl Bücher über ihm, aber nicht die Anzahl Bücher unter ihm.

In Wasser stapeln sich die Wasser-Teilchen und wir haben, wie beim Bücherstapel, unten eine grosse Kraft und damit viel Druck. Je weiter oben wir sind, desto kleiner wird der Druck. Unmittelbar an der Flüssigkeitsoberfläche gibt es keinen hydrostatischen Druck, wohl aber den allgemeinen Luftdruck.

Eine Wassersäule erzeugt einen nach unten immer grösser werdenden Druck, der durch das Eigengewicht der Flüssigkeit erzeugt wird. Er wird deshalb auch Schweredruck genannt. Entscheidend ist die Höhe der Wassersäule über dem Messpunkt.

Herleitung

Für die Herleitung des Schweredrucks betrachten wir eine Wassersäule in einem schlanken Behälter, z.B. in einem Messzylinder. Wir interessieren uns für den Druck auf einer beliebigen Höhe im Behälter. Wir werden diese Höhe \(h\) aber nicht von unten her messen, sondern von oben.

Die Wassersäule über dem betrachteten Punkt habe eine Masse \(m\), die mit ihrer Gewichtskraft \(F_g\) auf die Querschnittsfläche \(A\) des Behälters drückt. Für den Druck haben wir also:

\[ p = \frac{F_g}{A} = \frac{mg}{A} \]

Die Masse \(m\) können wir auch mit dem Volumen der Wassersäule \(V\) und der Dichte von Wasser \(\rho\) ausdrücken:

\[ m = \rho_W \cdot V = \rho \cdot (Ah) \]

Wir setzen diesen Ausdruck oben für \(m\) ein und kürzen die Fläche \(A\) heraus:

\[ \require{cancel} p = \frac{\rho \cdot (\cancel{A}h) \cdot g}{\cancel{A}} \]

Damit erhalten wir einen Ausdruck für den Schweredruck \(p\), der durch eine Wassersäule der Höhe \(h\) über dem betrachteten Punkt erzeugt wird:

\[ p = \rho g h \]

Meistens haben wir über der Flüssigkeitsoberfläche auch noch den Luftdruck bzw. Umgebungsdruck \(p_U\). Das ist gewissermassen ein Stapel von Luftteilchen, der auch ein Eigengewicht hat und somit zu einem eigenen Schweredruck führt. Wir addieren einfach die beiden Drücke und erhalten für den totalen Druck:

\[ p = \rho g h + p_U \]

Pascals Fassversuch

Blaise Pascal (1623 – 1662) war ein französischer Mathematiker und Physiker. Nach ihm ist die Einheit des Drucks benannt.

Im Jahr 1648 führte er sein berühmtes Experiment durch: Er stellte ein mit Wasser gefülltes Holzfass auf. Das Fass war einwandfrei und wasserdicht. An das Fass angebracht war ein langes, dünnes Rohr, das senkrecht aus dem Fass bis zum zweiten Stock eines Hauses reichte.

Er füllte über das dünne Rohr das Fass immer mehr auf, so dass der Wasserspiegel anfing das Rohr hinauf zu klettern. Am Schluss füllte er demonstrativ ein bisschen Wein in das Rohr und brachte das Fass zum Bersten.

Mit seinem Versuch zeigte er auf eindrückliche Weise, dass er mit der Höhe der Wassersäule allein, einen hohen Druck im Fass erreichen konnte. Dieser Druck braucht nicht eine grosse Wassermenge, wie wir uns das aus Intuition vorstellen würden. Allein die Wasserhöhe einer dünnen Wassersäule reicht aus. Die Querschnittsfläche \(A\) hat für den Schweredruck keinen Einfluss!

Hydrostatisches Paradoxon

Pascals Fassversuch zeigte eindrücklich, wie der Schweredruck \(p\) nur von der Höhe, nicht aber von der Querschnittfläche des Gefässes abhängt. Wir können deshalb verschieden geformte Gefässe nebeneinander aufstellen und unten alle mit einem Rohr verbinden. Der Druck unterhalb der Wasserstände muss natürlich überall gleich sein, denn ein Druckunterschied würde sich sofort ausgleichen.

Erstaunlich ist, dass jedes Gefäss diesen Druck \(p\) erreicht, indem es den gleichen Füllstand zulässt. Wird einem Gefäss etwas mehr Wasser beigegeben, so entsteht kurzzeitig ein höherer Druck durch die höhere Wassersäule. Dieser Druck gleicht sich aber aus, indem das Wasser über die Rohrverbindung zu den anderen Gefässen fliesst. Dieses Mal werden die anderen Gefäss von unten aufgefüllt, bis sie alle wieder die gleich hohe Wassersäule erreichen.

In der Natur kann das hydrostatische Paradoxon gefunden werden, wo verschiedene Schichten von Grundwasser, die aber miteinander verbunden sind, alle den gleichen Füllstand erreichen. Bei einem Stausee besteht der grösste Druck an der tiefsten Stelle der Mauer. Dieser Druck ist aber nur abhängig von der Füllhöhe und nicht von der Grösse des Sees oder der Wassermenge, die durch die Mauer zurückgehalten wird.