Das Wichtigste in Kürze

Wenn wir zwei Festkörper zusammendrücken, entsteht an ihrer Grenzfläche $A$ ein Druck $p$, den wir in diesem Fall Auflagedruck nennen. Er entspricht der Kraft $F$ pro Fläche $A$:

\[ p = \frac{F}{A} \]

Grosse Auflagedrücke erreichen wir mit einer grossen Kraft oder typischerweise mit einer sehr kleinen Fläche.

Die Einheit von Druck und auch Auflagedruck ist ‘Newton pro Quadratmeter’, die auch mit der Einheit Pascal (Pa) abgekürzt werden kann:

\[ [p] = \frac{\text{N}}{\text{m}^2} = \text{Pa} \]

Da 1 Pa einem extrem kleinen Druck entspricht, wird in der Technik meistens die Einheit bar verwendet:

\[ 1\;\text{bar} = 10^5\;\text{Pa} \]

Häufigste Fragen

Der Auflagedruck $p$ berechnet sich aus der Kraft $F$, mit welcher zwei Flächen $A$ aufeinander drücken:

\[ p =  \frac{F}{A} \]

Je grösser die Kraft und je kleiner die Fläche, desto grösser ist der Auflagedruck.

Die Einheit des Drucks sind Newton pro Quadratmeter, die auch mit der Einheit Pascal $(\text{Pa})$geschrieben werden können:

\[ [p] = \frac{\text{N}}{\text{m}^2} = \text{Pa} \]

Jeder Druck ist richtungslos. Beim Auflagedruck ist das jedoch etwas verwirrend, denn die Kontaktfläche, auf die gedrückt wird, hat definitiv eine Richtung.

Die Kraft wirkt senkrecht (normal) zur Fläche.

Der Auflagedruck ist für beide Flächen gleich, unabhängig davon “wer” drückt, z.B. ist der Auflagedruck unterhalb von einem Absatz eines Damenschuhs wegen der kleinen Fläche relativ gross. Er ist gleich gross für den Boden, wie auch für den Schuh selbst.

Wenn zwei Festkörper sich berühren und gegeneinander mit einer Kraft drücken, dann entsteht an der Kontaktfläche ein Auflagedruck.

Wir können uns den Auflagedruck ein bisschen wie eine “Kraftdichte” vorstellen. Wenn die Kraft nur auf eine kleine Fläche wirkt, dann ist der Auflagedruck sehr gross. Wird die gleiche Kraft aber auf eine grosse Fläche verteilt, ist der Auflagedruck sehr klein.

Ein weiterer Unterschied ist die Richtung: Eine Kraft hat einen Betrag und eine Richtung, in welcher sie wirkt. Druck hat auch einen Betrag, jedoch keine Richtung. Wir können uns das ähnlich zu einer Temperatur vorstellen: Es herrscht einfach “Druck”.

Da die Auflagefläche bzw. Kontaktfläche, an welcher der Druck herrscht, eine Richtung hat (Orientierung der Fläche), wissen wir immer gleich auch die Richtung der Kraft, die zum Auflagedruck gehört.

“Der Luftdruck erzeugt einen Auflagedruck auf unserer Haut, wie wenn 100 kg auf einer Fingerfläche drücken würden!”

Wie berechnet man den Auflagedruck?

Wenn wir zwei Festkörper zusammendrücken, entsteht an ihrer Grenzfläche ein Druck, den wir in diesem Fall Auflagedruck nennen.

Der Auflagedruck $p$ berechnet sich aus der Kraft $F$, mit welcher zwei Flächen $A$ aufeinander drücken:

\[ p = \frac{F}{A} \]

Der Auflagedruck ist so etwas wie die ‘Kraftdichte’, d.h. wie stark die Kraft durch auf einer Fläche verteilt (kleiner Auflagedruck) oder wie stark sie auf eine kleine Fläche ‘aufkonzentriert’ ist (grosser Auflagedruck).

Wir sehen, dass wir einen hohen Auflagedruck erreichen…

  • mit einer sehr grossen Kraft
  • mit einer sehr kleinen Fläche

Die Wirkung von extrem kleinen Flächen kennen wir beispielsweise von der Messerklinge oder der Nadel einer Spritze. Die Kontaktfläche ist so klein, dass der hohe Auflagedruck das darunter liegende Material beschädigt.

Wenn jemand ins Eis eingebrochen ist, muss der Retter oder die Retterin die Gewichtskraft auf eine möglichst grosse Fläche verteilen, z.B. mit einem Brett. Dadurch wird die Kontaktfläche grösser und damit der Auflagedruck kleiner, so dass das Eis die Belastung hält.

Wenn es aber darum geht, ein Loch ins Eis zu bohren, ist es gerade umgekehrt. Die Spitze des Bohrers hat eine derart kleine Fläche, dass das Eis darunter durch den hohen Auflagedruck leicht aufbricht.

In der Kontinuumsmechanik, d.h. in der Lehre der Belastungen und Deformationen von Materialien, spricht man nicht von Auflagedruck, sondern von der Druckspannung $\sigma$ im Material:

\[ \sigma = \frac{F}{A} \]

Beispiel: Klötze auf Tischfläche

Du hast verschiedene Würfel (bzw. Quader) auf einem Tisch. Die Seitenkante beträgt $a=10\,\text{cm}$. Die Gewichtskraft der Würfel ist $F_g=10\,\text{N}$.

Ermittle die vier Auflagedrücke $p$ in Newton pro Quadratmeter.

In der ersten Situation haben wir einen Würfel mit Gewichtskraft $F_g=10\,\text{N}$, aufliegend auf seiner Würfelfläche von $A=100\,\text{cm}^2$. Der Auflagedruck ist also:

\[ p = \frac{10\,\text{N}}{100\,\text{cm}^2} = \frac{10\,\text{N}}{10^2 \cdot 10^{-4}\,\text{m}^2} = 10^{1-2-(-4)}\,\text{N}/\text{m}^2 \]

\[ p = 10^3\,\text{N}/\text{m}^2  \]

In der zweiten Situation haben wir die doppelte Gewichtskraft, aber die gleiche Fläche. Damit verdoppelt sich der Druck auf der Unterseite des unteren Würfels $p = 2 \cdot 10^3 \;\text{N}/\text{m}^2$.

Die dritte Situation hat mit dem doppelten Würfel wieder die doppelte Gewichtskraft, jedoch auf der doppelten Auflagefläche. Damit wird die doppelte Kraft auf eine doppelte Fläche verteilt, was zum gleichen Druck führt, wie unterhalb eines Würfels, nämlich $p = 10^3\;\text{N}/\text{m}^2$. Beachte, dass wir auch einfach nur den einen Würfel anschauen können. Der Auflagedruck ist unabhängig vom zweiten Würfel.

Schliesslich haben wir zwei halbe Würfel mit der doppelten Fläche, d.h. die Gewichtskraft eines Würfels wird auf die doppelte Fläche verteilt, was zum halben Druck führt: $p = 0.5\cdot 10^3 \;\text{N}/\text{m}^2 = 500 \;\text{N}/\text{m}^2$.

“Wir können eine Tafel Schokolade aufschmelzen und sie so dünn verstreichen, dass sie einen ganzen Quadratmeter bedeckt.”

Einheiten des Drucks: ‘Pascal’ und ‘bar’

Die Grundeinheiten der Kraft sind ‘Newton’ und der Fläche ‘Quadratmeter’, somit erhalten wir für den Auflagedruck: $\text{N}/\text{m}^2$. Für diese ‘Newton pro Quadratmeter’, gibt es auch die Einheit Pascal $(\text{Pa})$ :

\[ [p] = \frac{\text{N}}{\text{m}^2} = \text{Pa} \]

Der Druck von $1\;\text{Pa}$ ist sehr, sehr klein. Er entsteht z.B. wenn eine Gewichtskraft von 100 Gramm auf einer Fläche von einem ganzen Quadratmeter wirkt. Wir können eine Tafel Schokolade aufschmelzen und sie so dünn verstreichen, dass sie einen ganzen Quadratmeter bedeckt. ????

Dieser super-schwache Druck, den die Schokolade durch ihr Eigengewicht auf die Fläche überträgt, entspricht einem Pascal.

Wir nutzen deshalb Hectopascal oder Kilopascal :

\[ 1\;\text{hPa} = 10^2\;\text{Pa} = \frac{100\;\text{N}}{1\;\text{m}^2} \]

\[ 1\;\text{kPa} = 10^3\;\text{Pa} = \frac{1000\;\text{N}}{1\;\text{m}^2} \]

In der Technik wird die viel grössere Druckeinheit ‘bar’ verwendet:

\[ 1\;\text{bar} = 10^5\;\text{Pa} \]

Der uns umgebende Luftdruck beträgt ca. 1 bar, d.h. er entspricht dem Auflagedruck einer Gewichtskraft von 100’000 Newton auf einem Quadratmeter verteilt. Wenn wir uns nur eine kleine Fläche von $1\;\text{cm}^2$ anschauen, also 1/100 von einem Quadratmeter, dann sind es noch 1000 Newton:

\[ 1\,\text{bar} = \frac{10^5\;\text{N}}{1\;\text{m}^2} = \frac{10^3\;\text{N}}{1\;\text{cm}^2} \]

Diese 1000 Newton entsprechen einer Gewichtskraft von 100 Kilogramm!

\[ F_g = m \cdot g = 100\;\text{kg} \cdot 9.81\;\frac{\text{m}}{\text{s}^2} \approx 1000\;\text{N} \]

Der Luftdruck erzeugt also einen Auflagedruck auf unserer Haut, wie wenn 100 kg auf einer Fingerfläche $(A \approx 1\;\text{cm}^2)$ drücken würden! ????‍????

Beispiel: Handdruck

Du drückst mit der flachen Hand ($A=100\,\text{cm}^2$) mit einer Kraft von $F=100\,\text{N}$ gegen eine Wand.

Wie viel beträgt der Auflagedruck in bar?

Wir nehmen die Definition des Drucks und teilen die Kraft durch die Fläche.

\[ p = \frac{100\,\text{N}}{100\,\text{cm}^2} \]

Um die Druckeinheit Pascal ($\text{Pa}$) zu erhalten, drücken wir die Fläche in $\text{m}^2$ aus:

\[ p = \frac{10^2\,\text{N}}{10^2 \cdot (10^{-2}\text{m})^2} = 10^{2-2+4}\,\text{Pa} = 10^4\,\text{Pa} \]

Jetzt können wir von Pascal zu bar wechseln, indem wir uns erinnern, dass es $10^5\,\text{Pa}$ in $1\,\text{bar}$ hat: 

\[ p = 10^4\,\text{Pa} = 10^{-1} \cdot (10^5 \,\text{Pa}) = \underline{0.1\,\text{bar}} \]

Warum sind Festkörper ‘hart’ ? 

Wenn wir z.B. mit der flachen Hand gegen die Wand drücken, so entsteht zwischen den beiden Flächen der Auflagedruck. Je stärker wir drücken, desto grösser der Druck. Irgendwie treffen die beiden Materialien aufeinander. Was passiert da genau?

Wir können uns vorstellen, wie die Elektronenwolken des Wandmaterials und die Elektronenwolken unserer Haut auf einander treffen. Sie durchdringen sich auch ein bisschen, denn es sind ja nur “Wolken”.

Warum fühlt sich die Wand aber so ‘hart’ an? Eigentlich ja gar nicht, wie eine Wolke!

Auflagedruck
Auflagedruck: Wie bei echten Wolken sind auch die Elektronenwolken eines Feststoffs nicht mit Material gefüllt, sondern eigentlich “leer”, Image by Emmanuel Appiah, shared on Unsplash

Elektronenwolken heissen so, weil sie, wie unsere Wolken am Himmel, gewissermassen aus “nichts” bestehen. Unsere Wolken bestehen zwar aus kleinsten Wassertropfen und dazwischen ist Luft. Wir sehen aber ein grosses, weisses Gebilde. Ein Flugzeug kann aber einfach so durch eine Wolke fliegen, weil es eben Luft mit kleinsten Tröpfchen ist.

Bei Feststoffen ist das auch so. Die Elektronenwolken zeigen nur an, wo sich das Elektron befinden könnte, nicht aber wo es ist. Die ganze Elektronenwolke besteht aus “nichts”, aus Vakuum.

Im Festkörper sind Atome aneinander angereiht und jedes Atom hat seine Elektronenwolken. Wir können uns deshalb eine Feststoffoberfläche ein bisschen wie die Wolkendecke im oberen Bild vorstellen.

Warum spürt unsere Hand einen Widerstand, wenn wir die Wand eigentlich aus einem Haufen von “nichts” besteht?

Unsere Hand ist auch eine “Wolkendecke”. Eigentlich müssten die beiden Wolkendecken (unsere Hand und die Wand) wie zwei Geister ineinander gehen können. Das tun sie aber nicht. Wir spüren einen Widerstand…und wie! Die Wand fühlt sich sogar sehr hart an.

“Teilchen, die diese elektromagnetische Kraft nicht spüren (z.B. Neutrinos), fliegen durch unsere Hand oder Wand, wie ein Flugzeug durch eine Wolke!”

Der Grund liegt in der gegenseitigen Abstossung der Elektronen von unserer Hand und denjenigen der Wand. Je näher sich Elektronen kommen, desto grösser wird die abstossende elektromagnetische Kraft (Coulombkraft).

Die beiden Elektronenwolken der Hand und der Wand prallen deshalb aufeinander auf und wir spüren den Widerstand der Wand.

Alle Festkörper halten wegen der elektromagnetischen Kraft zusammen und bilden so einen Widerstand gegen das Eindringen von anderen Elektronenwolken.

Dank dieser Kraft versinken wir auch nicht im Boden, obwohl die Erde und damit auch unser Boden zum grössten Teil aus Vakuum besteht, einer riesigen Elektronenwolke mit extrem kleinen Atomkernen.

Teilchen, die diese elektromagnetische Kraft nicht spüren (z.B. Neutrinos), fliegen durch unsere Hand oder Wand, wie ein Flugzeug durch eine Wolke! ????

Aufgabensammlung

Diverse Aufgaben (0098)

5 Kleinaufgaben mit Lösungen (pdf/Video):

  • Berechnung des Auflagedrucks, der Kraft oder der Fläche
  • Rechnen mit wissenschaftlicher Notation

Um auf die Übung zugreifen zu können, musst du eingeloggt sein.

Flugzeugreifen (0099)

2 Teilaufgaben mit Lösungen (pdf/Video):

  • Berechnung des Auflagedrucks
  • Umrechnung Pascal – bar
  • Verformung der Reifen unter Druck

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Härteprüfung (0100)

(anspruchsvoll)

4 Teilaufgaben mit Lösungen (pdf/Video):

  • Berechnung des Auflagedrucks
  • Diskussion: Einfluss der Geometrie auf die Fläche und damit auf den Auflagedruck
  • Grenze zwischen Elastizität und Plastizität

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Aufgabensammlung

  • Diverse Aufgaben (0098)

  • Flugzeugreifen (0099)

  • Härteprüfung (0100)

Lernziele

  • Du weisst, wie der Auflagedruck entsteht und warum.
  • Du kannst den Auflagedruck berechnen und zwischen den Einheiten ‘Pascal’ und ‘bar’ umrechnen.

Weitere Links

Druck (Wikipedia)

Druck (LEIFIphysik)