Spannarbeit

Das Wichtigste in Kürze

Die Spannarbeit ist eine Art von physikalischer Arbeit. Spannarbeit wird verrichtet, wenn eine Feder gespannt (oder zusammengedrückt) wird.

Wenn die Federkraft gemäss Hooke’schem Gesetz proportional zur Ausdehnung/Stauchung ist, beträgt die Spannarbeit für das Spannen der Feder mit Federkonstante $k$:

\[ W = \frac{1}{2} k s_2^2 – \frac{1}{2} k s_1^2 \]

Dabei ist die Feder von der Ausdehnung $s_1$ bis zur Ausdehnung von $s_2$ gespannt worden.

Beachte, dass das Konzept der Feder auf alle elastischen Materialien übertragen werden kann, d.h. die Spannarbeit führt zu einer elastischen Verformung bzw. umgekehrt: Jede elastische Verformung bedingt das Verrichten von Spannarbeit.

Zusammenhang mit der potenziellen Energie

Jedes elastische Material erlaubt ein gewisses Zusammendrücken (Kompression) oder Dehnen. Die Atome oder Moleküle haben ihren idealen Abstand, den wir durch Kraftwirkung verändern können.

Wenn wir eine Feder dehnen oder sie zusammendrücken, geht das nicht von selbst, sondern es muss Arbeit dafür verrichtet werden: Spannarbeit. Diese Arbeit führt der Feder Energie zu, die sie als potenzielle Energie speichert. Dabei handelt es sich aber nicht um Lageenergie, sondern um potenzielle Energie aufgrund der Federkraft (Spannenergie).

In der Feder passiert folgendes: Ist die Feder entspannt, hat sie keine potentielle Energie gespeichert. Sie ist energetisch im tiefsten Punkt, der üblicherweise auf null gesetzt wird.

Die Atome des Metalls sind in einem bestimmten Abstand zu einander. Ändern wir diesen Abstand, spüren wir einen Widerstand, der auf die quantenmechanische Coulombkraft zurück zu führen ist, die z.B. zwischen den Elektronen der Metallatome herrscht. Beim Zusammendrücken, stossen sich die Elektronen der Atome ab, beim Auseinanderziehen, ziehen sie sich gegenseitig an.

Lassen wir die die Feder im gespannten Zustand, so verbleibt die Spannarbeit in Form von Spannenergie in der Feder gespeichert. Lassen wir zu, dass sich die Feder wieder entspannt, werden die Atome wieder in den Gleichgewichtszustand gehen und so die gespeicherte Energie als Spannarbeit wieder abgeben. Wir haben dann eine gespannte Feder, die Spannarbeit abgibt und sich dabei entspannt.

Spannarbeit Beispiel: Hüpf-Monster

Ein kleines Spielzeug besteht im Wesentlichen aus einer Feder, die in einem Saugnapf eingebaut ist. Wird die Feder stark zusammengedrückt, schliesst der Saugnapf, so dass die Feder gespannt bleibt. Nach ein paar Sekunden lässt der Saugnapf los und das kleine Monster hüpft plötzlich nach oben.

Wie viel Spannarbeit wird beim Zusammendrücken verrichtet, wenn die Feder um 4 cm mit maximal 12 N Kraft zusammengedrückt wird? Wie hoch fliegt das Hüpf-Monster, wenn es eine Masse von 30 g hat?

Wir drücken die Feder zusammen von $s_1=0$ (nicht zusammengedrückt) bis zu $s_2=4\,\text{cm}$ (voll zusammen gedrückt). Die maximale Federkraft beträgt 12 N.

Die Spannarbeit entspricht im F,s-Diagramm der Dreiecksfläche mit Grundseite 0.04 m und Höhe 12 N:

\[ W = \frac{1}{2} \cdot 0.04\,\text{m} \cdot 12\,\text{N} = \underline{0.24\,\text{J}} \]

Sobald der Saugnapf die Feder befreit, kann diese ihre Spannenergie abgeben. Zuerst wird diese Energie in Form von kinetischer Energie umgewandelt (Das Hüpf-Monster fliegt nach oben). Dann nimmt die Höhe auf Kosten der Geschwindigkeit immer mehr zu, bis die maximale Höhe erreicht ist.

Auf der maximalen Höhe ist die ganze Spannenergie in Form von potenzieller Energie (Lageenergie) vorhanden. Für die potenzielle Energie gilt:

\[ E_{\text{pot}} = mgh \]

Wir lösen nach der Höhe $h$ auf:

\[ h = \frac{E_{\text{pot}}}{mg} \]

Da im idealen Fall die gesamte Spannenergie in Lageenergie umgewandelt worden ist, können wir $E_{\text{pot}}$ ersetzen mit der Spannarbeit $W$:

\[ h = \frac{0.24\,\text{J}}{0.030\,\text{kg} \cdot 9.81 \,\text{m}/\text{s}^2} \]

Wir erhalten:

\[ h = 0.815\,\text{m} = \underline{81.5\,\text{cm}} \]

Mit der Spannenergie hüpft das Monster auf eine Höhe von maximal 81.5 cm.

Herleitung

Die Kraft unserer Feder folgt dem Hooke’schen Gesetz, d.h. die Federkraft nimmt proportional mit der Ausdehnung $\Delta s$ zu (Federkonstante $k$):

\[ F=k \cdot \Delta s \]

Spannarbeit als Fläche im Kraft-Weg-Diagramm
Spannarbeit als Fläche im Kraft-Weg-Diagramm

Wenn wir nur eine sehr kleine Wegstrecke $\Delta s$ dehnen, verändert sich die Kraft auch nur sehr geringfügig. Wir können deshalb näherungsweise annehmen, dass die Kraft $F_i$ konstant ist. Die Spannarbeit für diese sehr kleine Wegänderung $\Delta s$ ist demnach:

\[ W_i=F_i \cdot \Delta s \]

Der kleine Beitrag an Arbeit $\Delta W_i$ entspricht grafisch der Fläche des kleinen Rechtecks (Grundseite $\Delta s$, Höhe $F_i$). Wenn wir die vielen schmalen Rechtecke ($\Delta W_i$) addieren und uns vorstellen, wir hätten unendlich viele solcher Rechtecke, die unendlich dünn sind, dann erhalten wir als Summe die Gesamt-Spannarbeit als Dreiecksfläche (rechts):

\[ W = \sum_i \Delta W_i \]

Wird die Feder von 0 bis $s_2$ gestreckt, nimmt die Kraft zu, bis maximal $F_2=k \cdot s_2$. Die Spannarbeit entspricht der Dreiecksfläche mit der Grundseite $s_2$ und der Höhe $F_2$:

\[ W_2 = \frac{1}{2} \cdot F_2 \cdot s_2 = \frac{1}{2} \cdot (k \cdot s_2) \cdot s_2 \]

\[ W_2 = \frac{1}{2} k s_2^2 \]

Gleiches gilt natürlich auch für eine Spannung der Feder von 0 bis $s_1$:

\[ W_1 = \frac{1}{2} k s_1^2 \]

Wenn wir eine bereits bis $s_1$ gespannte Feder zusätzlich von $s_1$ bis $s_2$ spannen, entspricht diese zusätzliche Spannarbeit der Fläche im F,s-Diagramm von $s_1$ bis $s_2$.

Das ist die Differenz der beiden Dreiecksflächen. Wir erhalten so die Formel für die Spannarbeit:

\[ W = W_2 – W_1 = \frac{1}{2} k s_2^2 – \frac{1}{2} k s_1^2 \]

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Aufgabensammlung

  • Pfeilbogen (0003)