Elektrischer Widerstand
Elektrischer Widerstand als elektronische Komponente
Image by gosiak1980

Der elektrische Widerstand ist die Grösse, die bestimmt, wie viel Strom fliesst, wenn eine bestimmte Spannung anliegt. Ein kleiner Widerstand lässt schon bei geringer Spannung viel Strom fliessen, während ein grosser Widerstand viel Spannung verlangt, bis ein gewisser Strom fliesst. Wir können uns dies mit der Analogie einer Wasserleitung vorstellen: Der Druck (Spannung) und die Grösse der Öffnung im Wasserhahn (Widerstand) bestimmt den Wasserfluss (Strom).

Der Widerstand eines elektrischen Leiters lässt sich berechnen mit

\[ R = \rho_{el} \cdot \frac{L}{A} \]

wobei $A$ die Querschnittsfläche des Leiters, $L$ die Länge des Leiters und $\rho_{el}$ der spezifische elektrische Widerstand des Leitermaterials ist.

Mit dem Ohm’schen Gesetz kann der fliessende Strom bei einer bestimmten Spannung für einen ohm’schen Widerstand berechnet werden:

\[ U = R \cdot I \]

Als ohm’schen Widerstand gelten Widerstände, bei welchen die Spannung und der Strom stets proportional sind und der elektrische Widerstand eine Konstante ist. Widerstände mit einem variierenden Widerstandswert werden entsprechend als nicht-ohm’sch bezeichnet.

Definitionen

Abkürzung: $R$

Einheit: $[\,R\,] = \Omega = \frac{\text{V}}{\text{A}}\quad$ (Ohm)

Zusammenhang zwischen Spannung, Strom und Widerstand

Die elektrische Spannung ist die Energie, die den Ladungen zur Verfügung steht. Der elektrische Strom ist die Menge an Ladung, die pro Zeit (vorbei-)fliesst. Wie sind diese beiden Grössen miteinander verknüpft? Am besten können wir uns das mit der Analogie einer Wasserleitung vorstellen, die unter Druck steht.

Zusammenhang Spannung Strom und elektrischer Widerstand (Analogie mit Wasser)
Zusammenhang zwischen Spannung, Strom und elektrischer Widerstand: Die drei Leitungen stehen unter gleichem Druck. Es ist der Querschnitt, der bestimmt, wie viel Wasser fliesst, Brunnen by Rosy_Photo, Wasserhahn by Skitterphoto, Hydrant by GregReese

Ist der Wasserhahn verschlossen, fliesst kein Wasser, obwohl der Druck da ist. Wenn wir eine kleine Öffnung haben, kann wenig Wasser fliessen. Öffnen wir ein bisschen mehr, fliesst auch mehr Wasser. Die Grösse der Öffnung bestimmt die Menge an fliessendem Wasser. Beim Wasserhahn können wir die Öffnung einstellen und so den Wasserfluss regulieren. Bei einem Hydranten zapfen wir das gleiche Wassernetz an und haben deshalb den gleichen Druck zur Verfügung. Die Öffnung ist jedoch so gross, dass eine sehr grosse Wassermenge pro Zeit austritt. Bei einem Wasserrohrbruch wäre die Wassermenge noch grösser.

Benutzen wir diese Analogie und gehen wir zurück in die Welt der Elektrizität. Der Druck in der Wasserleitung entspricht der elektrischen Spannung. Die fliessende Wassermenge ist natürlich das Analogon des elektrischen Stroms. Die Grösse der Öffnung entspricht der neuen Grösse, dem elektrischen Widerstand.

Elektrischer Widerstand bestimmt Strom bei herrschender Spannung
Elektrischer Widerstand bestimmt Strom bei herrschender Spannung
© by Yangchen Brunner

Beachten Sie, dass die Spannung als Ursache am Anfang der Geschichte steht: Die Spannung verursacht einen Strom, der abhängig ist von Spannung und Widerstand. Der Strom ist die abhängige Grösse, also die Wirkung, die aus der Ursache folgt.

Leitfähigkeit verschiedener Materialien

Gewisse Materialien leiten den elektrischen Strom sehr gut, andere weniger und wieder andere gar nicht. Wir wissen, dass es für einen elektrischen Strom bewegliche Ladungsträger im Material braucht. Auch wenn alle Materialien aus Atomen und somit u.a. aus Elektronen bestehen, so sind diese nicht immer gleich beweglich.

Klassen von Materialien mit unterschiedlichem elektrischen Widerstand
Klassen von Materialien mit unterschiedlichem elektrischen Widerstand, Metalle by jarmoluk, Isolatoren by analogicus, Halbleiter by Laura Ockel, shared on Unsplash, Supraleiter by Jubobroff, licensed under CC BY-SA 3.0

In Metallen sind die äussersten Elektronen des Metallatoms frei beweglich und erlauben so einen effizienten Ladungstransport. Anfangs vermuteten die Physiker, dass die Elektronen gewissermassen an den Atomrümpfen des Metalls kollidieren würden und je grösser diese Zahl an Kollisionen, desto schlechter würde das Material den elektrischen Strom leiten. Diese Vorstellung ist allerdings falsch. Die Elektronen bewegen sich als sog. quantenmechanische Blochwellen im Material und sind auf ein möglichst regelmässiges Gitter angewiesen. Gitterfehler, die Grösse der Kristalle, Einschlüsse von Fremdatomen etc. bewirken, dass die Wellen gestört werden. Die elektrische Leitfähigkeit von Metallen ist hervorragend, d.h. der Widerstand ist sehr klein, aber trotzdem messbar und oft nicht zu vernachlässigen.

Isolatoren haben keine freien Elektronen. Hier ist ein Ladungstransport gar nicht möglich. Der Widerstand ist sozusagen ”unendlich gross”. Das ist besonders dann nützlich, wenn wir verhindern wollen, dass ein Strom fliesst. Elektrische Kabel werden mit Isolatoren (Gummi, Kunststoff) umgeben, damit verhindert wird, dass die Elektronen bei Berührung mit einem anderen Leiter austreten und einen falschen Weg gehen. In unserem Haushalt schützen sie den Menschen vor Stromschlägen. Wir können die Stecker und Kabel berühren, obwohl das Kupfer im Kabel unter Spannung steht.

Halbleiter sind spezielle Stoffe, die sie eigentlich zu schlechten elektrischen Leitern machen. Allerdings sind Halbleiter wie Silizium und Germanium gerade deshalb von besonderem Interesse, denn sie können von aussen abwechslungsweise zu Leitern oder Isolatoren gemacht werden. Damit entsteht ein unglaublich kleiner Schalter, der sich nicht mechanisch bewegt, der aber den Kontakt öffnen und schliessen kann. Diese Eigenschaft bildet die Grundlage von integrierten Schaltungen bzw. Computerprozessoren.

Schliesslich bilden die Supraleiter eine spezielle Gruppe von Leitern, die gar keinen elektrischen Widerstand haben. Der supraleitende Zustand ist nur für spezielle Stoffe und bei sehr tiefen Temperaturen möglich. Deshalb wird Supraleitung bisher nur in Spezialanwendungen in der Medizin oder Forschung eingesetzt, insbesondere wo sehr grosse elektrische Ströme benötigt werden. Ein normales Metall würde zu grosse Verluste erzeugen und damit auch zu einer Erhitzung führen. Supraleiter sind hingegen absolut verlustfrei.

Berechnung des elektrischen Widerstands

Wenn wir ein leitfähiges Material wählen, z.B. Kupfer, so ist damit noch nicht der elektrische Widerstand definiert. Eine dünne und lange Kupferleitung hat einen viel grösseren Widerstand als eine dicke und kurze Leitung. Die Grössen, die einen Einfluss auf den Widerstand haben, sind:

  • Spezifischer elektrischer Widerstand $\rho_{el}$ des Materials
  • Querschnittsfläche $A$
  • Länge $L$

Der elektrische Widerstand $R$ errechnet sich aus der folgenden Beziehung:

\[ R = \rho_{el} \cdot \frac{L}{A} \]

Wie erwartet, steigt der Widerstand mit zunehmender Länge des Leiters. Die Querschnittsfläche ist hingegen umgekehrt proportional zum elektrischen Widerstand: Je grösser der Querschnitt, desto mehr Platz steht den Ladungsträgern zur Verfügung und desto kleiner ist der elektrische Widerstand.

Der spezifische elektrische Widerstand $\rho_{el}$ berücksichtigt die gemessene, reine Materialeigenschaft als elektrischen Leiter. Kupfer gehört zu den best leitenden Metallen und hat einen sehr tiefen spezifischen Widerstand. Aluminium leitet etwas schlechter und hat deshalb einen leicht höheren spezifischen elektrischen Widerstand.

Die Temperatur hat ebenfalls einen Einfluss auf den Widerstand. Eine höhere Temperatur führt im Normalfall zu einem grösseren Widerstand. Keinen Einfluss auf den Widerstand hat die Form des Leiters, bei gleicher Querschnittsfläche und Leiterlänge.

Aufgabensammlung

  • Ersatzwiderstand (0086)

  • Schaltplan (0085)

  • Schaltplan 2 (0093)

  • Schaltplan 3 (0097)

  • Stromleitung (0084)