Induktion im bewegten Leiter

Im weiteren werden wir die Lorenztkraft auf die Ladungsträger anschauen, wenn wir den Leiter bewegen und zwar in einem Magnetfeld. Wir nehmen die Definition der Lorentzkraft:

\[ \vec{F}_L = q\vec{E} + q \cdot \big( \vec{v} \times \vec{B} \big) \]

Da wir hier kein elektrisches Feld haben, fällt der erste Teil in der Formel der Lorentzkraft weg. Der zweite Summand steht für den Einfluss des magnetischen Felds. Dieser kann noch zu einer Lorentzkraft führen. Im ersten Fall, wenn die Bewegungsrichtung des Leiters der Richtung des Magnetfelds entspricht verschwindet das Vektorprodukt von $\vec{v}$ und $\vec{B}$. Wir haben deshalb auch keine Lorentzkraft aufgrund des Magnetfelds.

Keine Induktion bei Bewegung parallel zum Magnetfeld
Keine Induktion bei Bewegung parallel zum Magnetfeld

Was passiert, wenn der Leiter in der Richtung des Magnetfelds liegt, aber quer zu ihm bewegt wird? Wir nehmen die Rechte-Hand-Regel mit dem Daumen nach rechts und dem Zeigefinger nach oben. Die Lorentzkraft auf die positiven Ladungen zeigt aus der Zeichenebene heraus. Die Lorentzkraft auf die negativen Ladungen zeigt hingegen in die Zeichenebene hinein. Es folgt eine kleine Ladungstrennung über die Breite des Leiters, ähnlich zum Hall-Effekt. Der Leiter ist aber sehr dünn, so dass wir diese Ladungstrennung kaum wahrnehmen können.

Kaum Induktion wenn Leiter parallel zum Magnetfeld ist
Kaum Induktion (nur über die beschränkte Breite des Leiters) wenn der Leiter parallel zum Magnetfeld ist

Wir legen jetzt das Magnetfeld in eine andere Richtung. Es zeigt jetzt in die Zeichenebene hinein. Mit der Rechte-Hand-Regel erhalten wir jetzt auf die positiven Ladungen eine Lorentzkraft nach oben. Die positiven Ladungen können jetzt nach oben, entlang des Leiters wandern. Die negativen Ladungen verspüren eine Lorentzkraft nach unten. Über die Länge des Leiters haben wir jetzt eine deutliche elektrische Spannung. Es ist die Induktionsspannung $U_{ind}$.

Induktion bei Bewegung eines Leiters quer zum Magnetfeld
Induktion bei Bewegung eines Leiters quer zum Magnetfeld

Wenn ein Leiter quer zu einem Magnetfeld bewegt wird, kann es aufgrund der Lorentzkraft zu einer Ladungstrennung kommen, die zu einer induzierten Spannung $U_{ind}$ führt. Wir werden im weiteren die Methode des sich ändernden magnetischen Flusses anschauen, die uns die gleiche induzierte Spannung erklärt.

Ein bewegter Leiter in einem Magnetfeld erfährt, je nach Ausrichtung, eine Ladungstrennung aufgrund der Lorentzkraft auf die freien Ladungsträger im Leitermaterial. Diese Ladungstrennung führt zu einer elektrischen Spannung, der induzierten Spannung $U_{ind}$.

Magnetischer Fluss

Das Magnetfeld $B$ wird oft auch Magnetflussdichte genannt. Gemeint ist der Magnetfluss pro Fläche. Multiplizieren wir $B$ mit der Fläche, durch welche das Magnetfeld ”fliesst”, erhalten wir den sog. Magnetfluss $\phi_B$:

\[ \phi_B = B \cdot A \]

Etwas allgemeiner wäre die Summe aller Magnetflüsse an einer bestimmten Stelle, durch eine infinitesimale Fläche $dA$ und dann integriert:

\[ \phi_B = \int B \cdot dA \]

Mit der Fläche meinen wir eine Leiterschlaufe. Was hier aber fehlt ist die Frage der Richtung. Das Magnetfeld ist vielleicht nicht senkrecht zur Fläche gerichtet. Was dann? Nun wir schauen uns diesen allgemeinen Fall an, nehmen der Einfachheit halber aber an, dass das Magnetfeld $B$ konstant ist und in einem Winkel $\theta$ zur Fläche $A$ steht.

Magnetischer Fluss als Grundlage zur Induktion
Magnetischer Fluss als Grundlage zur Induktion

Da das Magnetfeld $\vec{B}$ eine Vektorgrösse ist, können wir den Vektor $\vec{B}$ auch in zwei Vektoren aufteilen, deren Summe dann wieder $\vec{B}$ ergibt. Wir können den einen Vektor parallel zur Fläche $A$ wählen ($\vec{B}_{\parallel}$) und den anderen Vektor senkrecht zur Fläche $A$ ($\vec{B}_{\perp}$).

\[ \vec{B} = \vec{B}_{\parallel} + \vec{B}_{\perp} \]

In der Detailansicht, oben rechts, sehen wir, dass der Anteil $\vec{B}_{\parallel}$ keinen Beitrag zum magnetischen Fluss liefert, weil er nicht durch die Fläche ”fliesst”, sondern parallel zu ihr. Einzig der Anteil $\vec{B}_{\perp}$ ist entscheidend.

Mathematisch können wir diesen Anteil mit dem Skalarprodukt ausdrücken:

\[ B_{\parallel} = \vec{B} \cdot \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|} \]

Wenn der Normalvektor $\vec{n}$ zur Fläche schon normiert ist, d.h. die Länge 1 hat, dann brauchen wir nicht durch die Länge $|\vec{n}|$ zu dividieren. Für den magnetischen Fluss erhalten wir dann:

\[ \Phi_B = A \cdot B_{\parallel} = A \cdot \vec{n} \cdot \vec{B} \]

Wir können auch die Definition des Skalarprodukts $\vec{n} \cdot \vec{B} = |\vec{n}| \cdot |\vec{B}| \cdot \cos(\theta)$ nehmen:

\[ \Phi_B = A \cdot B \cdot \cos(\theta) \]

Dabei ist $\theta$ der Zwischenwinkel, zwischen der Richtung des Magnetfelds $\vec{B}$ und der Fläche $\vec{n}$.

Wenn der Zwischenwinkel $\theta = 0^\circ$, haben wir $\cos(0^\circ)=1$, d.h. wir haben den einfachen Fall, denn wir ganz am Anfang betrachtet haben:

\[ \Phi_B = A \cdot B \]

Maximaler magnetischer Fluss (Induktion)
Maximaler magnetischer Fluss

Wenn der Zwischenwinkel aber $\theta=90^\circ$ ist, gilt $\cos(90^\circ)=0$ und der magnetische Fluss verschwindet.

Minimaler magnetischer Fluss (Induktion)
Minimaler (verschwindender) magnetischer Fluss, wenn Fläche parallel zum Magnetfeld ist

Im Fall von $\theta=60^\circ$ gilt $\cos(60^\circ)=\frac{1}{2}$. Die Hälfte des Flusses geht durch die Fläche durch.

Magnetischer Fluss abhängig vom Winkel (Induktion)
Magnetischer Fluss abhängig vom Winkel (Induktion)

Der magnetische Fluss $\Phi_B$ ist der berechnete Anteil der Magnetfeldlinien, die senkrecht durch eine betrachtete Fläche durchtritt. Als Fläche wird die von der Leiterschlaufe eingeschlossene Fläche genommen. Der senkrechte Anteil wird mit dem Skalarprodukt bzw. mit dem Kosinus des Zwischenwinkels, zwischen dem Lot auf der Fläche und dem Magnetfeld berechnet.

Änderungen des magnetischen Flusses

Für die induzierte Spannung $U_{ind}$ ist nicht der magnetische Fluss entscheidend, sondern die zeitliche Änderung des magnetischen Flusses.

\[ \frac{d}{dt}\phi_B \quad \rightarrow \quad U_{ind} \]

Wir schauen uns an, wie der magnetische Fluss $\phi_B$ sich zeitlich ändert, wenn wir einen Permanentmagneten einer Fläche nähern. Da das Magnetfeld auseinander geht, haben wir mehr Feldlinien nahe am Pol, als weiter weg von ihm. Wenn wir den Permanentmagneten der Fläche annähern, wächst der magnetische Fluss $\phi_B$.

Die zeitliche Änderung des magnetischen Flusses ist jetzt aber auch abhängig von der Zeitspanne, die wir für die Annäherung brauchen. Nähern wir uns sehr schnell an, ist die zeitliche Änderung gross. Nähern wir uns nur sehr langsam an, ist die zeitliche Änderung klein.

Induktion einer grösseren Spannung durch schnellere Änderung des magnetischen Flusses
Induktion einer grösseren Spannung durch schnellere Änderung des magnetischen Flusses

Den magnetischen Fluss $\Phi_B$ können wir auch ändern, wenn wir die Fläche ändern. Im folgenden Beispiel wir die Fläche in einem konstanten Magnetfeld verändert. Im ersten Bild ist die Fläche sehr klein und damit ist der magnetische Fluss $\Phi_B$ sehr klein. Durch Vergrösserung der Fläche, nimmt der magnetische Fluss zu.

Auch hier gilt wieder, dass die zeitliche Änderung des magnetischen Flusses umso grösser ist, je kürzer die Zeitspanne ist, in welcher die Änderung stattfindet.

Induktion durch Änderung des magnetischen Flusses bei Änderung der Fläche
Induktion durch Änderung des magnetischen Flusses bei Änderung der Fläche

Schliesslich gibt es eine weitere Möglichkeit, den magnetischen Fluss zu ändern. Das Magnetfeld mag konstant sein, die Fläche auch. Was sich aber noch ändern kann ist deren Ausrichtung. Der magnetische Fluss ist umso grösser, je senkrechter die Fläche zum Magnetfeld ist.

Induktion durch Änderung des magnetischen Flusses bei Änderung des Winkels
Induktion durch Änderung des magnetischen Flusses bei Änderung des Winkels

Diese letzte Variante ist die meist genutzte Variante der Induktion. In Generatoren von Kraftwerken werden nämlich Leiterschlaufen in einem Magnetfeld gedreht, wodurch eine sinusförmige Wechselspannung induziert wird.

Änderungen des magnetischen Flusses $\Phi_B$ durch die Fläche einer Leiterschlaufe sind auf folgende Arten möglich:

  • Es treten mehr/weniger Feldlinien durch die Fläche
  • Die Fläche wird vergrössert/verkleinert
  • Die Ausrichtung der Fläche wird im Magnetfeld geändert, so dass der senkrechte Anteil zu-/abnimmt

Induktionsgesetz

Die induzierte Spannung $U_{ind}$ kann durch die Lorentzkraft erklärt werden oder durch die zeitliche Änderung des magnetischen Flusses. Um den magnetischen Fluss zu vergrössern, können wir die Fläche vergrössern, indem wir sie mehrfach hintereinander legen. Zudem entsteht eine grosse zeitliche Änderung mit einer schnellen Änderung der magnetischen Flusses, hier mit einer dreifachen Geschwindigkeit $3v$.

Die doppelte Fläche entsteht durch zwei Schlaufen des gleichen Leiters. Wir nennen sie Anzahl Windungen $N$ der Spule.

Induktion einer grösseren Spannung durch schnellere Änderung des magnetischen Flusses
Induktion einer grösseren Spannung durch schnellere Änderung des magnetischen Flusses

Können wir den Magneten nicht so schnell bewegen, dann können wir die gleiche Spannung $U_{ind}$ induzieren, indem wir die Fläche um den entsprechenden Faktor vergrössern. Mit einer Spule mit 6 Windungen ($N=6$) erhalten wir die 3-fache induzierte Spannung. Allerdings ist unsere Geschwindigkeit ebenfalls 3-fach kleiner, so dass die gleich starke Spannung induziert wird.

Induktion einer grösseren Spannung durch mehr Windungen
Induktion einer grösseren Spannung durch mehr Windungen

Induktionsgesetz: Die zeitliche Änderung des magnetischen Flusses $\Phi_B$ durch eine Spule mit $N$ Windungen induziert eine Spannung $U_{ind}$

\[ U_{ind} = – N \cdot \frac{d\Phi_B}{dt} \]

Durch die Anzahl Windungen $N$ wird die Durchflussfläche $A$ um den Faktor $N$ vergrössert, so dass die Änderung des magnetischen Flusses sich ebenfalls $N$-fach auswirkt.

Das Minuszeichen weist auf die Lenz’sche Regel hin.

Aufgabensammlung

  • Schlaufe durch ein Magnetfeld (0141)