Gleichung einer Ebene

Parameterform

Bei der Besprechung der Linearkombination haben wir festgestellt, dass ein Vektor mit durch eine Linearkombination von zwei Vektoren ausgedrückt werden kann. Wir hatten das folgende Beispiel gesehen:

\[ \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} \;\; = \;\; 3 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \]

\[ = 3 \cdot \vec{e_x} + 2 \cdot \vec{e_y} \]

Wir sehen dann, dass wir eigentlich jeden Punkt \(P(P_x,P_y)\) auf diese Art erreichen können:

\[ \overrightarrow{OP} = \begin{pmatrix} P_x \\ P_y \end{pmatrix} \;\; = \;\; P_x \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + P_y \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \]

\[ = P_x \cdot \vec{e_x} + P_y \cdot \vec{e_y} \]

Wir können mit einer Linearkombination der beiden Vektoren \(\vec{e_x}\) und \(\vec{e_y}\) jeden Punkt \(P\) in der \(x,y\)-Ebene erreichen – oder – alle Punkte der ganzen \(x,y\)-Ebene, die durch die Vektoren \(\vec{e_x}\) und \(\vec{e_y}\) aufgespannt wird, kann mit einer Vektorgleichung beschrieben werden.

Es ist zu beachten, dass nicht nur die Einheitsvektoren \(\vec{e_x}\) und \(\vec{e_y}\) die \(x,y\)-Ebene aufspannen, sondern beliebige Paare von Vektoren, die in der \(x,y\)-Ebene und nicht kollinear sind. Wir können deshalb auch zwei Vektoren \(\vec{a_1}\) und \(\vec{a_2}\) nehmen und damit jeden Punkt der \(x,y\)-Ebene erreichen. Die Linearkombination ist eine andere, d.h. die “Koordinaten” im schiefwinkligen System von \(\vec{a_1}\) und \(\vec{a_2}\) sind anders, als die \(x-\) und \(y-\)Koordinaten.

Du erkennst sicher die Ähnlichkeit zur Gleichung einer Geraden \(g\):

\[ g \colon \;\; \overrightarrow{OP} \; = \; \overrightarrow{OA} + \lambda \cdot \vec{a} \]

Für die Ebene folgt entsprechend:

\[ E \colon \;\; \overrightarrow{OP} \; = \; \overrightarrow{OA} + \lambda_1 \cdot \vec{a_1} + \lambda_2 \cdot \vec{a_2} \]

Hier ist es aber wichtig, dass die beiden Richtungsvektoren \(\vec{a_1}\) und \(\vec{a_2}\) auch wirklich eine Ebene aufspannen. Das tun sie, wenn sie nicht kollinear sind, d.h. wir müssen sicherstellen, dass ihr Vektorprodukt nicht null ist:

\[ \vec{a_1} \times \vec{a_2} \; \neq \; \vec{0} \] 

Alle Punkte \(P\) einer Ebene \(E\) mit dem Punkt \(A \in E\) kann beschrieben werden durch die folgende Gleichung der Ebene:

\[ E \colon \;\; \overrightarrow{OP} \; = \; \overrightarrow{OA} + \lambda_1 \cdot \vec{a_1} + \lambda_2 \cdot \vec{a_2} \]

\[ E \colon \;\; \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \; = \; \begin{pmatrix} A_x \\ A_y \\ A_z \end{pmatrix} + \lambda_1 \cdot \begin{pmatrix} a_{1,x} \\ a_{1,y} \\ a_{1,z} \end{pmatrix} + \lambda_2 \cdot \begin{pmatrix} a_{2,x} \\ a_{2,y} \\ a_{2,z} \end{pmatrix} \]

Der Vektor \(\overrightarrow{OA}\) heisst wieder Stützvektor, da der die Position der Ebene fixiert. Die beiden Richtungsvektoren \(\vec{a_1}\) und \(\vec{a_2}\) spannen die Ebene auf und dürfen deshalb nicht kollinear sein, da sie sonst nur eine Gerade aufspannen würden. Wir verlangen deshalb:

\[ \vec{a_1} \times \vec{a_2} \; \neq \; \vec{0} \] 

Die reellen Parameter \(\lambda_1\) und \(\lambda_2\) (positiv oder negativ) bestimmen die Linearkombination von \(\vec{a_1}\) und \(\vec{a_2}\). Aus ihr folgt, welcher Punkt \(P\) von \(A\) aus erreicht wird, analog zur Gleichung einer Geraden.

In der folgenden Grafik sehen wir, wie der Punkt \(P\) von \(A\) aus mit \(2 \cdot \vec{a_1}\) und \(3 \cdot \vec{a_2}\) erreicht wird. Jede erdenkliche Linearkombination mit den Parametern \(\lambda_1\) und \(\lambda_2\) wird jeden erdenklichen Punkt auf der Ebene \(E\) erreichen. 

Normalform

Bei der Diskussion der Gleichung einer Geraden hatten wir die Normalform kennengelernt. Wir hatten damals schon gesagt, dass im dreidimensionalen Raum ein Normalvektor eigentlich normal zu einer Ebene ist. Da wir damals eine Gerade beschreiben wollten, hatten wir uns auf den zweidimensionalen Raum beschränkt, so dass aus der Ebene eine Gerade wurde.

Jetzt können wir unser Wissen zur Normalform wieder einsetzen: Für die Beschreibung der Ausrichtung der Ebene reicht der Normalvektor \(\vec{n}\) aus. Wo diese ausgerichtete Ebene nun aber genau ist, wird durch einen verbindlichen Punkt \(A\) auf der Ebene bzw. durch ihren Ortsvektor, den Stützvektor \(\overrightarrow{OA}\) beschrieben.

Koordinatenform

Die Koordinatenform folgt direkt aus der Normalform. Wir müssen dazu einfach das Skalarprodukt der Normalform ausmultiplizieren:

\[ \begin{pmatrix} n_x \\ n_y \\ n_z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} – \begin{pmatrix} A_x \\ A_y \\ A_z \end{pmatrix} \end{pmatrix} \]

\[ = \begin{pmatrix} n_x \\ n_y \\ n_z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x-A_x \\ y-A_y \\ z-A_z \end{pmatrix} = 0 \]

\[ \quad n_x \cdot (x – A_x) + n_y \cdot (y – A_y) + n_z \cdot (z – A_z) = 0 \]

\[ \quad n_x \cdot x + n_y \cdot y + n_z \cdot z – (n_x A_x + n_y A_y + n_z A_z) = 0 \]

Der Ausdruck in der Klammer wird als Zahl \(-d\) abgekürzt:

\[ \quad n_x \cdot x + n_y \cdot y + n_z \cdot z + d = 0 \]