Das Wichtigste in Kürze

Im rechtwinkligen Dreieck sind die trigonometrischen Funktionen bezüglich eines Winkels $\alpha$ wie folgt definiert:

Sinus: $\sin(\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$

Kosinus: $\cos(\alpha)=\frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$

Tangens: $\tan(\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$

Dabei bezieht sich de Begriff Ankathete auf den Winkel $\alpha$, d.h. es ist die Kathete, die am Winkel steht. Die Gegenkathete liegt dem Winkel $\alpha$ gegenüber.

Die Hypotenuse ist die längste Seite im rechtwinkligen Dreieck. Sie liegt dem rechten Winkel gegenüber.

Für einen Punkt $A$ im Einheitskreis können die trigonometrischen Funktionen direkt abgelesen werden. Der Winkel $\alpha$ wird ab der $x$-Achse im Gegenuhrzeigersinn genommen.

Sinus: $\quad \sin(\alpha)=\,\,\boldsymbol{x}$-Koordinate von $A$

Kosinus: $\quad \cos(\alpha)=\,\,\boldsymbol{y}$-Koordinate von $A$

Ableitung trigonometrische Funktionen:

\[ \frac{d}{dx}\big( \sin(x) \big) \quad = \quad \cos(x) \]

\[ \frac{d}{dx}\big( \cos(x) \big) \quad = \quad -\sin(x) \]

\[ \frac{d}{dx}\big( \tan(x) \big) \quad = \quad \frac{1}{\cos^2(x)} \quad = \quad  1+\tan^2(x) \]

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Häufigste Fragen

Die trigonometrischen Funktionen sind als Seitenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck definiert:

Sinus: $\sin(\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$

Kosinus: $\cos(\alpha)=\frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$

Tangens: $\tan(\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$

Die längste Seite im rechtwinkligen Dreieck heisst Hypotenuse. Die beiden anderen Seiten heissen Katheten. Die Kathete am betrachteten Winkel $\alpha$ ist die Ankathete, diejenige gegenüber dem Winkel $\alpha$, die Gegenkathete.

Wenn wir die trigonometrischen Funktionen für den Winkel $\beta$ aufstellen, tauschen die beiden Katheten ihren Namen. Die Betrachtung des dritten Winkels $\gamma$ macht für die trigonometrischen Funktionen keinen Sinn.

Die Sinus-Funktion und die Kosinus-Funktion sind identisch, bis auf eine sog. Phasenverschiebung von 90° bzw. $\frac{\pi}{2}$: Der Kosinus eilt dem Sinus um diese Verschiebung voraus, d.h. er ist um diesen Betrag nach links verschoben:

\[ \cos(x) = \sin\big(x + \frac{\pi}{2} \big) \qquad \sin(x) = \cos\big(x – \frac{\pi}{2} \big) \]

Wir sehen das im Dreieck sofort, weil der Sinus des einen Winkels gleich dem Kosinus des anderen Winkels ist und umgekehrt.

Aus der Definition des Tangens als das Verhältnis der beiden Katheten folgt automatisch die Beziehung:

\[ \tan(x) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} \cdot \frac{\text{Hypotenuse}}{\text{Ankathete}} \]

\[ = \;\;\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}\, : \, \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}} = \sin(x) : \cos(x) \]

\[ \rightarow \qquad \tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \]

Eigentlich sind die trigonometrischen Funktionen nur bei rechtwinkligen Dreiecken anwendbar, weil sie im rechtwinkligen Dreieck definiert worden sind.

Mit dem Sinussatz

\[ \frac{a}{\sin(\alpha)} \;\; = \;\; \frac{b}{\sin(\beta)} \;\; = \;\; \frac{c}{\sin(\gamma)} \]

…und dem Kosinussatz

\[ a^2+b^2-2ab\cos(\gamma) = c^2 \]

…haben wir zwei Formeln, die für allgemeine Dreiecke angewendet werden können, d.h. solche, die nicht rechtwinklig sind. Der Kosinus-Satz ist übrigens der verallgemeinerte Satz des Pythagoras für allgemeine Dreiecke.

Anwendung und Bedeutung

Die trigonometrischen Funktionen sind das Wundermittel ???? für Berechnungen in der Geometrie. Man kann mit ihnen fast alle geometrischen Probleme lösen bzw. berechnen. ????

Wir schauen uns zuerst die Situation im rechtwinkligen Dreieck an, wo sie definiert sind. Es ist wichtig, dass wir diese Anwendung im rechtwinkligen Dreieck gut verstehen und sie uns auch gut einprägen.

Wir werden später in einem geometrischen Problem wie folgt vorgehen:

  • Rechtwinkliges Dreieck suchen ????
  • Falls kein rechtwinkliges Dreieck gefunden wurde, ein solches zeichnen ✍️, (z.B. durch Einführung einer Höhe, die rechtwinklig zu ihrer Grundseite steht)
  • Aufstellen einer Gleichung ⚖️ mit Hilfe der Definition der trigonometrischen Funktionen

Definition der trigonometrischen Funktionen

In einem rechtwinkligen Dreieck haben die Seiten bestimmte Namen, die wir uns einprägen sollten:

  • Hypotenuse: Sie ist die längste Seite im rechtwinkligen Dreieck und steht dem rechten Winkel gegenüber.
  • Ankathete: Die Kathete, die am betrachteten Winkel $\alpha$ ist, heisst Ankathete.
  • Gegenkathete: Sie steht dem betrachteten Winkel $\alpha$ gegenüber.

Beachte: Hätten wir den anderen Winkel gewählt, hätten die beiden Katheten ihren Namen getauscht. Die Hypotenuse ist von der Wahl des Winkels nicht abhängig. Sie ist so oder so die längste Seite im Dreieck.

Die trigonometrischen Funktionen sind jetzt die folgenden Seitenverhältnisse:

Sinus: $\sin(\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$

Kosinus: $\cos(\alpha)=\frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$

Tangens: $\tan(\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$

Beachte, dass die Werte dieser Seitenverhältnisse und damit der Funktionswerte der trigonometrischen Funktionen unabhängig sind von der Grösse des Dreiecks, wohl aber von den Winkeln im Dreieck.

Wir werden das ausnützen, indem wir manchmal irgendein Dreieck mit falscher Grösse nehmen werden. Da es aber geometrisch ähnlich ist, hat es die gleichen Winkel und damit auch die gleichen Funktionswerte.

Beispiel

Du stehst genau 1 km vom Eiffelturm entfernt. Du richtest ein Vermessungsgerät auf die Spitze des Eiffelturms und misst einen Winkel von 18° gegenüber der Horizontalen. Wie hoch ist der Eiffelturm?

Wir benutzen das Bild des rechtwinkligen Dreiecks in unserem Kopf, weil wir es schon auswendig gelernt haben (!).

Die Ankathete $b$ misst 1’000 m. Die gesuchte Höhe des Turms entspricht der Länge der Gegenkathete $a$.

Wir nehmen deshalb den Tangens von $\alpha$ und lösen die Gleichung nach der Unbekannten $b$ auf, indem wir mit $a$ multiplizieren:

\[ \tan(\alpha) = \frac{b}{a} \]

\[ b = a \cdot \tan(\alpha) = 1000 \text{m} \cdot \tan(18^\circ) \]

\[ = 1000 \text{m} \cdot 0.32492… \approx \underline{325 \text{m}} \]

In dieser Art lassen sich auch die Höhen von hohen Gebäuden oder Bergen vermessen.

“Mit Hilfe der trigonometrischen Funktionen kann alles im rechtwinkligen Dreieck berechnet werden…und in jedem beliebigen Dreieck finden wir mit den Höhen die rechtwinkligen Dreiecke!”

Im Einheitskreis

Wir betrachten jetzt den Einheitskreis im $x,y$-Koordinatensystem. Der Einheitskreis hat einen Radius von $r=1$. Das ist besonders praktisch, wie wir gleich sehen werden. Nun wählen wir einen beliebigen Punkt A auf dem Kreis aus (siehe Abbildung).

Wir können diesen Punkt eindeutig mit dem Winkel $\varphi$ beschreiben und der zusätzlichen Bedingung, dass der Punkt auf dem Einheitskreis liegen muss.

Wenn wir den Punkt mit $x$,$y$-Koordinaten beschreiben möchten, benutzen wir die trigonometrischen Funktionen:

\[ A=\Bigl (\cos(\varphi),\sin(\varphi) \Bigr) \]

Wir wollen das kurz anhand der $y$-Koordinate überprüfen. Das Verhältnis von Gegenkathete zu Hypotenuse ist gleich dem Sinus von $\varphi$. Die Hypotenuse ist 1, da es sich um den Einheitskreis handelt:

\[ \sin(\alpha)=\frac{b}{c}=\frac{b}{1}=b \]

Somit ist die Gegenkathete $b$ gleich dem Sinus von $\varphi$. Mit der gleichen Überlegung können wir schliessen, dass die Ankathete gleich dem Kosinus von $\varphi$ ist.

Wie können wir den Tangens am Einheitskreis verstehen? ???? Wir wissen ja, dass der Tangens das Verhältnis von Gegenkathete zu Ankathete ist. Im kleinen dunklen Dreieck gilt:

\[ \tan(\varphi)=\frac{\sin(\varphi)}{\cos(\varphi)} \]

Im grösseren, hellen Dreieck mit dem Einheitsradius als Ankathete gilt:

\[ \tan(\varphi)=\frac{\text{Gegenkathete}}{1} = \text{Gegenkathete} \]

Somit ist die Gegenkathete des hellen (grösseren) Dreiecks gleich dem Tangens von $\varphi$.

Trigonometrische Funktionen für spezielle Winkel

Die trigonometrischen Funktionen haben wir im rechtwinkligen Dreieck definiert und ein solches rechtwinkliges Dreieck im Einheitskreis gefunden.

Wenn wir den Winkel $\varphi$ nun grösser machen, erhalten wir für $\varphi > 90^\circ$ ein stumpfes Dreieck. Für $\varphi>180^\circ$ können wir schon gar nicht mehr von einem Dreieck sprechen, denn ein Winkel im Dreieck kann ja gar nicht grösser sein, als die Summe aller Winkel von 180°! ????

Dennoch können wir im Einheitskreis den Winkel $\varphi$ beliebig gross oder klein, ja sogar negativ werden lassen (wenn wir im Uhrzeigersinn drehen).

Die Funktionswerte der trigonometrischen Funktionen sind dann wie folgt definiert:

  • Sinus: $y$-Koordinate des Punkts A, wobei die Koordinaten oberhalb der $x$-Achse positiv, diejenigen unter der $x$-Achse negativ sind.
  • Kosinus: $x$-Koordinate des Punkts A, wobei die Koordinaten rechts der $y$-Achse positiv, diejenigen links der $y$-Achse negativ sind.

Für die Werte des Tangens erinnern wir uns daran, dass sie der Länge der Gegenkathete des hellen grossen Dreiecks entsprechen.

Diese wachsen für $\varphi$ in der Nähe von 90° immer stärker an, d.h. sie werden für 90° unendlich gross:

\[ \lim_{\varphi \rightarrow 90^\circ}\big( \tan(\varphi) \big) \rightarrow \infty \]

Oberhalb der Unstetigkeit bei 90°, ist der Tangens negativ, denn der Tangens ist ja “Sinus durch Kosinus geteilt”. Der Sinus ist z.B. für 91° positiv, der Kosinus jedoch negativ. Der ganze Bruch (der Tangens) ist damit negativ.

Ableitung trigonometrische Funktionen

Dieser Artikel befasst sich im Speziellen mit der Ableitung der trigonometrischen Funktionen. Für Aufgabensammlungen, Lernziele, Mini-Tests etc. schaust du am besten im Hauptartikel zu den Ableitungsfunktionen nach.

Wie wir dort gesehen haben, ist die erste Ableitung der Sinus-Funktion gleich dem Kosinus. Andererseits ist die Ableitung der Kosinus-Funktion gleich dem Sinus mit (-1) multipliziert.

Ableitung trigonometrische Funktionen:

\[ \frac{d}{dx}\big( \sin(x) \big) \quad = \quad \cos(x) \]

\[ \frac{d}{dx}\big( \cos(x) \big) \quad = \quad -\sin(x) \]

\[ \frac{d}{dx}\big( \tan(x) \big) \quad = \quad \frac{1}{\cos^2(x)} \quad = \quad  1+\tan^2(x) \]

\[ \frac{d}{dx}\big( \cot(x) \big) \quad = \quad -\frac{1}{\sin^2(x)} \quad = \quad -\big(1+\cot^2(x)\big) \]

Beispiel: Steigung der Sinus-Funktion

Bestimme die Steigung der Sinus-Funktion an der Stelle $x=0$.

\[ \frac{d}{dx}\big(\sin(x)\big) = \cos(x) \] 

Wir setzen $x=0$ ein und erhalten:

\[ \cos(0) = 1 \] 

Die Sinus-Funktion selbst, hat einen Achsabschnitt von $\sin(0)=0$. Die Funktion kann an der Stelle $x=0$ deshalb mit der linearen Gleichung $y(x)=x$ angenähert werden. Für kleine $x$-Werte ist die Abweichung geringfügig, d.h. wir können schreiben:

\[ \lim_{x \rightarrow 0}\big(\sin(x)\big) \approx x \] 

Das sieht hier vielleicht wie eine unwichtige Spielerei aus. Es ist jedoch ein viel genutzter Trick in der Physik oder in den Ingenieurwissenschaften. Wenn der Winkel im Sinus wirklich sehr klein ist, dann kann näherungsweise einfach der Winkel eingesetzt werden, ohne Sinus. Das macht das Lösen von Gleichungen oft viel einfacher oder vielleicht überhaupt erst möglich!

Lineare Approximation des Sinus und Verlauf des Fehlers
Lineare Approximation des Sinus und Verlauf des Fehlers

Die blau gestrichelte Kurve ist die Abweichung zwischen der Sinus-Funktion und der Linearen. Wir sehen, dass sie bis $\frac{\pi}{8}$ wirklich sehr klein ist ($\Delta<0.02$).

Beispiel: Ableitungsfunktion des Tangens

Zeige mit Hilfe von trigonometrischen Identitäten, dass die Ableitungsfunktion des Tangens, ist:

\[ \frac{d}{dx}\big( \tan(x) \big) \quad = \quad \frac{1}{\cos^2(x)} \]

Wir wandeln den Tangens in einen Bruch um, indem wir die erste Identität benutzen:

\[ \tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \]

Für die Ableitungsfunktionen dieses Bruchs benutzen wir die Quotientenregel:

\[ \frac{d}{dx} \big(\tan(x)\big) = \frac{d}{dx} \Big( \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \Big) \]

\[ = \frac{\frac{d}{dx} \sin(x) \cdot \cos(x) – \sin(x) \cdot \frac{d}{dx} \cos(x)}{\cos^2(x)} \]

Der Nenner stimmt bereits!

Jetzt benutzen wir die Ableitungsfunktionen für Sinus und Kosinus…

\[ \frac{d}{dx}\sin(x) = \cos(x) \qquad \qquad \frac{d}{dx}\cos(x) = -\sin(x) \]

…und setzen diese ein:

\[ \frac{d}{dx} \big(\tan(x)\big) = \frac{\cos(x) \cdot \cos(x) – \sin(x) \cdot (-\sin(x))}{\cos^2(x)} \]

\[ = \frac{\cos^2(x) + \sin^2(x)}{\cos^2(x)} \]

Schliesslich kommt die Identität $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$ uns zur Hilfe, so dass wir nur noch 1 im Zähler haben:

\[ \frac{d}{dx} \big(\tan(x)\big) = \underline{\frac{1}{\cos^2(x)}}\]

Aufgabensammlung

Im rechtwinkligen Dreieck (5023)

6 Aufgaben (total 15 Teilaufgaben) mit Lösungen (pdf/Video):

  • Berechnungen an einem Dreieck
  • Berechnung eines Gefälles
  • Skizzierung der trigonometrischen Grundfunktionen
  • Berechnungen ohne Taschenrechner
  • Schnittfläche zweier Kreise

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Funktionswerte und Graphen (5024)

5 Aufgaben (total 15 Teilaufgaben) mit Lösungen (pdf/Video):

  • Skizze von trigonometrischen Funktionen
  • Rätsel zu Funktionswerten unbekannter Funktionen
  • Such von Winkeln zu Funktionswerten
  • Anwendung der trigonometrischen Funktionen (Biorhythmus)

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Trigonometrische Gleichungen und Bogenmass (5038)

5 Aufgaben (total 23 Teilaufgaben) mit Lösungen (pdf/Video):

  • Umrechnung zwischen Grad und Bogenmass
  • Winkel aufgrund der Funktionswerte bestimmen
  • Lösen von trigonometrischen Gleichungen und Ungleichungen

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Additionstheoreme, Sinus- und Kosinussatz (5039)

6 Aufgaben (total 15 Teilaufgaben) mit Lösungen (pdf/Video):

  • Nachweis von trigonometrischen Identitäten
  • Berechnungen am Dreieck mit Hilfe des Sinus- und des Kosinussatzes
  • Anwendung einer anspruchsvollen Geometrieberechnung

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Lernziele

  • Du kennst die Bezeichnungen der Seiten im rechtwinkligen Dreieck und die Definitionen der trigonometrischen Funktionen (auswendig)
  • Du weisst, wie der Sinus und der Kosinus im Einheitskreis dargestellt werden und dies erklären. Du weisst auch, wie die Vorzeichen wechseln
  • Du kannst den Tangens im Einheitskreis für eine beliebige Position darstellen und kannst erklären, wie er zu $+\infty$ anwachsen kann
  • Du kennst die Ableitungen der trigonometrischen Funktion Sinus, Kosinus und Tangens und kannst sie anwenden

Mini-Test

(zu diesem Thema gibt es noch keinen Mini-Test)

Weitere Links

Aufgabensammlung

  • Funktionswerte und Graphen (5024) – Aufg. 1

  • Funktionswerte und Graphen (5024) – Aufg. 2

  • Funktionswerte und Graphen (5024) – Aufg. 3

  • Funktionswerte und Graphen (5024) – Aufg. 4

  • Funktionswerte und Graphen (5024) – Aufg. 5

  • Im rechtwinkligen Dreieck (5023) – Aufg. 1

  • Im rechtwinkligen Dreieck (5023) – Aufg. 2

  • Im rechtwinkligen Dreieck (5023) – Aufg. 3

  • Im rechtwinkligen Dreieck (5023) – Aufg. 4

  • Im rechtwinkligen Dreieck (5023) – Aufg. 5

  • Im rechtwinkligen Dreieck (5023) – Aufg. 6

  • Schlitten (0068)

  • Skifahrer (0076)

  • Tram (0015)

  • Trigonometrische Gleichungen und Bogenmass (5038) – Aufg. 4