Das Wichtigste in Kürze

Die Arkusfunktionen sind die Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen:

\[ y=\sin(x) \quad \leftrightarrow \quad x=\arcsin(y) \]

\[ y=\cos(x) \quad \leftrightarrow \quad x=\arccos(y) \]

\[ y=\tan(x) \quad \leftrightarrow \quad x=\arctan(y) \]

Da nur streng monotone Funktionen umgekehrt werden können und die trigonometrischen Funktionen aufgrund ihrer Periodizität nicht monoton sind, wird ein streng monotoner Teil der Funktion betrachtet und der Rest (links und rechts) abgeschnitten.

    • Der Arkussinus steigt von $-\frac{\pi}{2}$ bis $+\frac{\pi}{2}$ für $x=-1$ bis $x=+1$

    • Der Arkuskosinus sinkt von $\pi$ bis $0$ für $x=-1$ bis $x=+1$

    • Der Arkustangens steigt im von $-\frac{\pi}{2}$ bis $\frac{\pi}{2}$. Dabei ist $x \in \mathbb{R}$

Häufigste Fragen

Die Sinus- und die Kosinus-Funktion nehmen einen Winkel auf (in Grad oder in Bogenmass) und geben einen Zahlenwert zurück, der zwischen -1 und +1 liegt.

Die Arkusfunktionen $\arcsin(x)$ und $\arccos(x)$ sind die Umkehrfunktionen von $\sin(x)$ bzw. $\cos(x)$. Die Arkussinus-Funktion nimmt einen Wert zwischen -1 und +1 und gibt den Wert des Winkels (in Bogenmass) zurück, z.B.

\[ \sin\Big(\frac{\pi}{2}\Big) = 1 \quad \rightarrow \quad \arcsin(1) = \frac{\pi}{2} \]

Analog geben die Arkuskosinus- udn die Arkustangens-Funktionen den Winkel zurück, der mit dem Kosinus bwz. Tangens den entsprechenden Wert gegeben hätte, z.B.

\[ \cos\Big(\frac{\pi}{4}\Big) = \frac{1}{\sqrt{2}} \quad \rightarrow \quad \arccos\Big(\frac{1}{\sqrt{2}}\Big) = \frac{\pi}{4} \]

Auf dem Taschenrechner steht die Umkehrfunktion des Sinus bzw. des Kosinus, mit dem “Exponenten” -1, der für Umkehrfunktion steht – nicht für Kehrwert!

\[ \arcsin(x) \quad \leftrightarrow \quad \sin^{-1}(x) \]

\[ \arccos(x) \quad \leftrightarrow \quad \cos^{-1}(x) \]

Eigentlich nicht, denn obwohl die Sinusfunktion selber immer eindeutig einem Winkel einen Funktionswert zwischen -1 und +1 zuordnet, so können wir im Nachhinein nicht wissen, welcher Winkel z.B. für den Wert null der Sinus-Funktion eingegeben worden ist:

\[ \sin(0) = 0 \qquad \sin(\pi) = 0 \]

\[ \arcsin(0) = 0 \qquad \cancel{\arcsin(0) = \pi} \]

Mit einem Trick kann die Sinusfunktion umgekehrt werden: Um auch für die Umkehrfunktion eine eindeutige Zuweisung hinzukriegen, wird die Funktion abgeschnitten. Es wird nicht die ganze Sinus-Funktion umgekehrt, sondern nur ein Teil, der streng monoton verläuft.

Die Sinus-Funktion läuft von $x=-\frac{\pi}{2}$ bis $x=+\frac{\pi}{2}$ einmal komplett von -1 bis +1 durch.

Die Arkussinus-Funktion ist dann die Umkehrfunktion für nur diesen beschränkten Bereich. Sie nimmt Werte auf von -1 bis +1 und liefert Winkel von $x=-\frac{\pi}{2}$ bis $x=+\frac{\pi}{2}$.

Arkusfunktionen als Umkehrfunktionen

Die Arkusfunktionen sind die Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen $\sin(x)$, $\cos(x)$ und $\tan(x)$. Die Arkusfunktionen werden manchmal auch zyklometrische Funktionen oder inverse Winkelfunktionen genannt.

\[ y=\sin(x) \quad \leftrightarrow \quad x=\arcsin(y) \]

\[ y=\cos(x) \quad \leftrightarrow \quad x=\arccos(y) \]

\[ y=\tan(x) \quad \leftrightarrow \quad x=\arctan(y) \]

Im englischsprachigen Raum, aber auch auf den Tastaturen der meisten Taschenrechner, wird fast immer die Schreibweise mit dem Exponenten −1 verwendet. Dabei ist nicht die Potenz oder der Kehrwert, sondern die Umkehrfunktion der geschriebenen trigonometrischen Funktion gemeint:

\[ f(x)=\sin(x) \quad \leftrightarrow \quad f^{-1}(x) = \sin^{-1}(x) = \arcsin(x) \]

\[ f(x)=\cos(x) \quad \leftrightarrow \quad f^{-1}(x) = \cos^{-1}(x) = \arccos(x) \]

\[ f(x)=\tan(x) \quad \leftrightarrow \quad f^{-1}(x) = \tan^{-1}(x) = \arctan(x) \]

Arkussinus und Arkuskosinus

Um ein Gefühl für den Arkussinus zu entwickeln, schauen wir uns ein sehr einfaches Beispiel an:

\[ \sin\Big(\frac{\pi}{2}\Big) = 1 \]

Somit gilt mit der Umkehrfunktion:

\[ \arcsin(1) = \frac{\pi}{2} \]

Jetzt wissen wir aber, dass der Sinus eine periodische Funktion ist, d.h. für $x=\frac{5\pi}{2}$ gilt ebenfalls:

\[ \sin\Big(\frac{5\pi}{2}\Big) = 1 \]

“Mit einem Trick kann auch eine periodische Funktion, wie die Sinusfunktion umgekehrt werden”

Beachte, dass wir jetzt nicht schliessen können, dass…

\[ \cancel{\arcsin(1) = \frac{5\pi}{2}} \]

Das geht nicht, denn dann würde die Arkussinus-Funktion dem Argument 1 einmal $\pi/2$ und dann aber $5\pi/2$ zuweisen. Das wäre keine eindeutige Zuweisung. Wir erinnern uns an die Theorie der Funktionen: Sie müssen eindeutig zuweisen! ????

Mit einem Trick kann auch eine periodische Funktion, wie die Sinusfunktion umgekehrt werden: Um auch für die Umkehrfunktion eine eindeutige Zuweisung hinzukriegen, wird die Funktion abgeschnitten. Es wird nicht die ganze Sinus-Funktion umgekehrt, sondern nur derjenige Teil, der streng monoton verläuft.

Die Sinus-Funktion läuft von $x=-\frac{\pi}{2}$ bis $x=+\frac{\pi}{2}$ einmal komplett von -1 bis +1 durch.

Die Arkussinus-Funktion ist dann die Umkehrfunktion für nur diesen beschränkten Bereich. Sie nimmt Werte auf von -1 bis +1 und liefert Winkel von $x=-\frac{\pi}{2}$ bis $x=+\frac{\pi}{2}$ (siehe oben). ????

Eigenschaften der Arkussinus-Funktion:

  • steigt von $-\frac{\pi}{2}$ bis $+\frac{\pi}{2}$ für $x=-1$ bis $x=+1$ (streng monoton steigend)
  • hat einen Null-Durchgang bei $0$
  • Eingeschränkter Definitionsbereich: $\boldsymbol{D} = \lbrack-1, +1\rbrack$
  • Eingeschränkter Wertebereich: $\boldsymbol{W} = \lbrack-\frac{\pi}{2}, +\frac{\pi}{2}\rbrack$
  • ist eine ungerade Funktion: $\arcsin(y)=-\arcsin(-y)$

Für die Arkuskosinus-Funktion läuft das genau gleich. Sie nimmt ebenfalls Argumente aus dem Intervall $[-1,1]$ auf und gibt Funktionswerte nur im Intervall $[0,\pi]$ heraus.

Eigenschaften der Arkuskosinus-Funktion:

  • sinkt von $\pi$ bis $0$ für $x=-1$ bis $x=+1$ (streng monoton fallend)
  • Eingeschränkter Definitionsbereich: $\boldsymbol{D} = \lbrack-1, +1\rbrack$
  • Eingeschränkter Wertebereich: $\boldsymbol{W} = \lbrack 0, +\pi \rbrack$ (ist immer positiv)

Beispiel

Löse die folgende Gleichung

\[ \sin(x)=\frac{1}{\sqrt{2}} \]

Wir stecken die linke und die rechte Seite der Gleichung in die Arkussinus-Funktion

\[ \arcsin\Bigl(\sin(x)\Bigr)=\arcsin\Bigl(\frac{1}{\sqrt{2}}\Bigr) \]

Auf linken Seite wird das Argument $x$ in die Sinus-Funktion und dann in die Umkehrfunktion gesetzt. Beide Funktionen heben sich gegenseitig auf, so dass wir ganz einfach $x$ schreiben können.

\[ x = \arcsin\Bigl(\frac{1}{\sqrt{2}}\Bigr) \]

Wir können das in den Taschenrechner eingeben und erhalten so die Lösung für $x$:

\[ \underline{x = \frac{\pi}{4}} \]

In diesem einfachen Beispiel hätten wir uns auch einfach daran erinnern können, dass…

\[ \sin\Big(\frac{\pi}{4}\Big)=\frac{1}{\sqrt{2}} \]

Arkustangens

Für die Arkustangens-Funktion wurde die Tangens-Funktion auf den einen Ast beschränkt, der durch den Ursprung geht. Dieser eine Ast ist auf dem Definitionsbereich $\lbrack -\frac{\pi}{2},+\frac{\pi}{2} \rbrack$ eingeschränkt.

Von der Tangens-Funktion kennen wir noch z.B. diesen Punkt:

\[ \tan\Big(\frac{\pi}{4}\Big) = 1 \]

Somit erwarten wir für die Umkehrfunktion, dem Arkustangens:

\[ \arctan(1) = \frac{\pi}{4} \]

Eigenschaften der Arkustangens-Funktion:

  • ist streng monoton steigend mit dem eingeschränkten Wertebereich: $\boldsymbol{W} = \lbrack-\frac{\pi}{2}, +\frac{\pi}{2}\rbrack$
  • ist für alle reellen Werte von $x$ definiert, d.h. $\boldsymbol{D} = \mathbb{R}$
  • hat einen Null-Durchgang bei $0$
  • ist eine ungerade Funktion: $\arctan(y)=-\arctan(-y)$

Aufgabensammlung

Trigonometrische Gleichungen und Bogenmass (5038)

5 Aufgaben (23 Teilaufgaben) mit Lösungen (pdf/Video):

  • Winkel umrechnen von Grad zu Bogenmass und umgekehrt
  • Einfache Trigonometrische Gleichungen mit Bogenmass
  • Vergleich trigonometrische Funktionen mit Argument in Grad und in Bogenmass
  • Trigonometrische Ungleichungen mit Arkusfunktionen lösen

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Lernziele

  • Du kennst die Arkussinus-, die Arkuskosinus- und die Arkustangens-Funktionen und kannst sie als Umkehrfunktion der Sinus-, Kosinus- bzw. Tangens-Funktionen anwenden.
  • Du kennst den Definitionsbereich und den Wertebereich der Arkusfunktionen und weisst, warum der Wertebereich eingeschränkt werden musste.
  • Du kannst den Verlauf der Arkusfunktionen skizzieren.

Weitere Links

Arkusfunktion (Wikipedia)