Wurzelgleichungen werden analog zu den Potenzgleichungen gelöst, indem die eine Seite nur die $n$-te Wurzel aufweist und von ihr dann die entsprechende $n$-te Potenz gebildet wird.

Beispiel

Finde die Lösungsmenge der folgenden Wurzel(un)gleichung:

\[ \sqrt[3]{x-3} \geq 0.2 \]


Wir schreiben die Ungleichung nochmals hin und ersetzen den Dezimalbruch mit einem echten Bruch:

\[ \sqrt[3]{x-3} \; \geq \; \frac{1}{5} \]

Da die linke Seite eine reine Potenz ist, können wir die Gleichung potenzieren. Wir rechnen beide Seiten hoch drei, so dass links die Wurzel verschwindet:

\[ (x-3) \; \geq \; \Big( \frac{1}{5} \Big)^3 \]

\[ x-3 \; \geq \; \frac{1}{125} \]

Jetzt addieren wir beidseitig mit 3

\[ x \; \geq \; 3 + \frac{1}{125} \]

\[ x \; \geq \; \frac{375 + 1}{125} \]

\[ \underline{x \; \geq \; \frac{376}{125}} \]

Beispiel

Bestimme die Lösungsmenge der Wurzel(un)gleichung:

\[ \frac{6x}{\sqrt[4]{8x}} \; < \; 3 \]


Die vierte Wurzel im Nenner ist garantiert positiv, da Wurzeln mit geraden Exponenten immer nur positive Werte erzeugen. Wir können deshalb die Gleichung mit $\sqrt[4]{8x}$ multiplizieren und brauchen uns um das Ungleichheitszeichen keine Sorgen zu machen. Es bleibt schön wie es ist.

\[ 6x \; < \; 3 \cdot \sqrt[4]{8x} \]

Jetzt dividieren wir durch 3, da wir die Wurzel auf der rechten Seite alleine haben wollen.

\[ 2x \; < \; \sqrt[4]{8x} \]

Wir setzen beide Seiten der Gleichung in die vierte Potenz und erhalten so

\[ (2x)^4 \; < \; 8x \]

\[ 16x^4 \; < \; 8x \]

\[ 2x^4 \; < \; x \]

Am Schluss haben wir ja noch mit 8 dividiert. Jetzt ist die Gleichung eine Potenzgleichung. Wir können natürlich mit $x$ beidseitig dividieren, müssen dann aber beachten, dass $x$ auch negativ sein könnte. In so einem Fall müssten wir das Ungleichheitszeichen umkehren. Wir betrachten deshalb zwei Fälle:

Fall 1: $x>0$

Jetzt dürfen wir mit $x$ dividieren. Es wird sicher nicht null sein und das Ungleichheitszeichen bleibt auch so, wie es ist:

\[ 2x^3 \; < \; 1 \]

\[ x^3 \; < \; \frac{1}{2} \]

Jetzt ziehen wir die dritte Wurzel:

\[ x \; < \; \sqrt[3]{\frac{1}{2}} \]

\[ x \; < \; \frac{1}{\sqrt[3]{2}} \]

Wegen der eingangs gemachten Einschränkung ist $x$ einerseits grösser als null und andererseits kleiner als dieser Bruch, den wir gerade gefunden haben. Die Lösungsmenge ist folgendes Intervall:

\[ \boldsymbol{L_1} = \Big]0,\frac{1}{\sqrt[3]{2}}\Big[ \]

Fall 2: $x<0$

Jetzt dividieren wir durch eine negative Zahl und ändern deshalb die Richtung des Ungleichheitszeichens:

\[ 2x^4 \; < \; x \]

\[ 2x^3 \; > \; 1 \]

Die Rechenschritte sind hier genau gleich wie oben, aber wir haben ein anders gerichtetes Ungleichheitszeichen:

\[ x \; > \; \frac{1}{\sqrt[3]{2}} \]

Dieses Resultat ist aber mit unserer Annahme $x<0$ unmöglich zu erfüllen, da sie sich widersprechen. Somit haben wir hier die leere Menge:

\[ \boldsymbol{L_2} = \{ \; \} \]

Wir bringen die beiden Resultate zusammen und haben als Lösungsmenge:

\[ \underline{\boldsymbol{L} = \Big]0,\frac{1}{\sqrt[3]{2}}\Big[} \]

Aufgabensammlung

  • Potenz- und Wurzelgleichungen (5063) – Aufg. 2

    5 Teilaufgaben (pdf/Video-Lösung):
    Wurzelgleichungen, z.T. mit Scheinlösungen

  • Wurzelwerte (5060) – Aufg. 4

    5 Teilaufgaben (pdf/Video-Lösung):
    Wurzelgeichungen nach der Unbekannten lösen

  • Wurzelwerte (5060) – Aufg. 5

    5 Teilaufgaben (pdf/Video-Lösung):
    Wurzelgeichungen nach der Unbekannten lösen