Lösen durch Substitution

Das folgende Gleichungssystem ist auf den ersten Blick nicht linear. Mit Hilfe einer Substitution können wir ein lineares Gleichungssystem entdecken, das sich dahinter versteckt:

\[ \begin{cases} \begin{array}{rcll}
-x^2 (y+1) + 6 & \;\; = \;\; & 4(y+1) & \quad (a) \\
x^2 – \frac{1}{y+1} & \;\; = \;\; & 1 & \quad (b) \\
\end{array} \end{cases} \]

Zuerst dividieren wir Gleichung \((a)\) durch \((y+1)\) und erhalten so:

\[ \begin{cases} \begin{array}{rcl}
-x^2 + \frac{6}{y+1} & \;\; = \;\; & 4 \\
x^2 – \frac{1}{y+1} & \;\; = \;\; & 1 \\
\end{array} \end{cases} \]

Wir könnten jetzt gleich die beiden Gleichungen addieren. Wir führen aber eine Substitution ein, um das lineare Gleichungssystem sichtbarer zu machen. Wir substituieren \(u = x^2\) und \(v = \frac{1}{y+1}\):

\[ \begin{cases} \begin{array}{rcl}
-u + 6 v & \;\; = \;\; & 4 \\
u – v & \;\; = \;\; & 1 \\
\end{array} \end{cases} \]

Das Gleichungssystem war nicht linear in \(x\) und \(y\), aber wenn wir die etwas komplizierteren Unbekannten \(u\) und \(v\) betrachten, dann haben wir sehr wohl ein lineares Gleichungssystem. Sagen wir es mal so: Das gegebene Gleichungssystem war nicht linear. Mit Hilfe der Substitution erhalten wir aber ein anderes, dieses Mal durchaus lineares Gleichungssystem, das wir dann z.B. mit dem Additionsverfahren lösen können. Schliesslich müssen wir aber wieder rücksubstituieren, um die Lösung in \(x\) und \(y\) zu erhalten.

Wir addieren jetzt die beiden Gleichungen, worauf die Unbekannte \(u\) wegfällt:

\[ 5v = 5 \quad \rightarrow \quad v=1 \]

Für die andere Unbekannte kriegen wir:

\[ u – v = 1 \]

\[ \rightarrow \quad u = 1 + v = 1 + 1 = 2 \]

Für die Rücksubstitution formulieren wir die ursprüngliche Substitutionsgleichung um:

\[ u = x^2 \quad \rightarrow \quad x = \pm \sqrt{u} \]

\[ v = \frac{1}{y+1} \quad \rightarrow \quad y = \frac{1}{v} – 1 \] 

Durch Einsetzen der gefundenen Werte \(u=2\) und \(v=1\) erhalten wir schliesslich die Lösungen für \(x\) und \(y\):

\[ x = \pm \sqrt{2}, \quad y = \frac{1}{1} – 1 = 0 \]

Beachte, dass wir wegen der beiden möglichen Vorzeichen beim Ziehen der Wurzel nun zwei 2-Tupel erhalten. Das Gleichungssystem hat also zwei Lösungen:

\[ \underline{\boldsymbol{L} = \Big \{ (+\sqrt{2},0),\;\; (-\sqrt{2},0) \Big \}} \]

Beachte, dass das Gleichungssystem zwei Lösungen hat. Wäre es ein lineares Gleichungssystem, könnte es nur genau eine Lösung haben (oder in Spezialfällen keine oder \(\infty\)-lich viele Lösungen). Durch Substitution haben wir eigentlich vom \(x,y\)-Koordinatensystem in ein \(u,v\)-Koordinatensystem gewechselt, wo das Gleichungssystem linear ist und tatsächlich nur eine Lösung hat, nämlich \(\boldsymbol{L} = \big \{ (2,1) \big \}\).