Rechenregeln für den Logarithmus

Logarithmus eines Produkts

Wenn wir ein Produkt im Logarithmus haben, können wir auch einfach zwei Logarithmen der einzelnen Faktoren aufschreiben und sie einfach summieren:

\[ \log_a(x_1 \cdot x_2) =  \log_a(x_1) + \log_a(x_2) \quad \text{(1)} \]

Herleitung

Die Eigenschaft (1) lässt sich leicht nachweisen. Wir betrachten dazu die Definition des Logarithmus an:

\[ \log_a(x_1) = b_1 \quad \Leftrightarrow \quad a^b_1 = x_1 \]

\[ \log_a(x_2) = b_2 \quad \Leftrightarrow \quad a^b_2 = x_2 \]

Nun nehmen wir die beiden Definitionen von \(x_1\) und \(x_2\) und bilden das Produkt davon. Das Produkt von zwei Potenzen mit gleicher Basis wird gebildet, indem die beiden Exponenten addiert werden:

\[ x = x_1 \cdot x_2 = a^{b_1} \cdot a^{b_2} = a^{(b_1+b_2)} = a^b \]

Dabei haben wir \(\;x = x_1 \cdot x_2\;\) und \(\;b = b_1 + b_2\;\) gesetzt. Mit \(\;x = a^b\;\) gilt ja auch \(\;\log_a(x) = b\). Wir schreiben deshalb:

\[ \log_a(x) = \log_a(x_1 \cdot x_2) = b = b_1 + b_2 \]

Jetzt ersetzen wir \(b_1\) und \(b_2\) mit den Logarithmen aus der ersten zwei Gleichungen (\(\log_a(x_1) = b_1\) und \(\log_a(x_2) = b_2\)) und erhalten die Eigenschaft (1):

\[ \log_a(x_1 \cdot x_2) = b_1 + b_2 \]

\[ = \log_a(x_1) + \log_a(x_2) \quad \text{(1)} \]

Logarithmus einer Potenz

Vorhin haben wir schon einen Logarithmus mit einer Potenz gelöst, indem wir daraus ein Produkt gemacht und dann mit Hilfe der Regel (1) gelöst haben. Was aber machen wir, wenn es nicht ein Quadrat ist?

Hierzu brauchen wir die Regel (3):

\[ log_a \Big( x^k \Big) = k \cdot \log_a(x) \qquad \text{(3)} \]

Diese Rechenregel ist besonders praktisch, wenn wir eine Gleichung mit Exponentialfunktion haben, d.h. mit einem unbekannten Exponenten. In so einem Fall müssen wir einfach die ganze Gleichung in den Logarithmus packen und schon können wir den Exponenten als Faktor nach vorne nehmen. Im nachfolgenden Beispiel zeige ich dir, wie das geht.

Herleitung

Für die Eigenschaft (3) stellen wir wieder den Ausdruck für die Definition des Logarithmus auf, wobei wir aber statt nur \(x\) einfach \((x^k)\) verwenden. Das dürfen wir, denn für den Platzhalter \(x\) kann ja irgendetwas stehen.

\[ \log_a \big( x^k \big) = b \quad \Leftrightarrow \quad a^b = \big( x^k \big) \]

Jetzt können wir aber \((x^k)\) auch schreiben als \((x \cdot x^{(k-1)})\), so dass wir statt einem einfachen Argument ein Produkt haben und wir die Eigenschaft (1) benutzen können:

\[ \log_a \big( x^k \big) = \log_a \big( x \cdot x^{(k-1)} \big) \]

\[ = \log_a (x) + \log_a \big( x^{(k-1)} \big) \]

Mit dem \(\big( x^{(k-1)} \big)\) machen wir wieder das Gleiche: Wir zerlegen es in ein Produkt und setzen es wieder in den Logarithmus ein und benützen die Eigenschaft (1):

\[ \big( x^{(k-1)} \big) = \big( x \cdot x^{(k-2)} \big) \]

\[ \log_a (x) + \log_a \big( x \cdot x^{(k-2)} \big) \]

\[ = \log_a (x) + \log_a (x) + \log_a \big( x^{(k-2)} \big) \]

Wir wiederholen dieses Prozedere, bis wir keine Potenz mehr haben, d.h. schliesslich haben wir rechts \(k\) Summanden:

\[ \log_a \big( x^k \big) = \log_a (x) + \log_a (x) + … + \log_a (x) \]

\[ = k \cdot \log_a (x) \]

Damit haben wir die Eigenschaft (3) nachgewiesen.

Logarithmus eines Bruchs

Bei einem Bruch wird dividiert, statt multipliziert. Wir können aber auch einen Bruch als Produkt schreiben, indem wir den Nenner als Potenz mit -1 im Exponenten schreiben:

\[ \frac{a}{b} = a \cdot b^{-1} \]

So können wir auch einen Logarithmus mit Bruch lösen:

\[ \log\Big(\frac{a}{b}\Big) = \log\Big(a \cdot b^{-1}\Big) \]

Wir benutzen die Rechenregel (1) und erhalten eine Summe:

\[ \log\Big(\frac{a}{b}\Big) = \log(a) + \log(b^{-1}) \]

Mit der Rechenregel (3) für die Potenz, ziehen wir die Potenz -1 vor den Logarithmus als Produkt:

\[ \log\Big(\frac{a}{b}\Big) = \log(a) + (-1) \cdot \log(b) \]

Wir erhalten somit die Eigenschaft (2) für Brüche bzw. Quotienten:

\[ \log \Big(\frac{a}{b} \Big) =  \log(a) – \log(b) \]

Umrechnung der Basis

Soweit haben wir nichts an der Basis \(a\) verändert, sondern sind davon ausgegangen, dass sie passt.

Wir lernen jetzt aber, wie wir von einer Basis \(a\) zu einer anderen Basis, z.B. \(e\) wechseln können.

\[ \log_a(x) = b \quad \Leftrightarrow \quad a^b = x \]

Wir nehmen die Gleichung rechts…

\[ a^b = x \]

…und setzen sie beidseitig in den natürlichen Logarithmus. Das ist übrigens ein sehr nützlicher Trick, den wir öfters anwenden werden.

\[ \ln\big( a^b \big) = \ln (x) \]

Jetzt benutzen wir die Eigenschaft (3) für die Potenz im natürlichen Logarithmus, d.h. wir ziehen den Exponenten \(b\) als Faktor vor den Logarithmus:

\[ b \cdot \ln (a) = \ln (x) \]

Schliesslich dividieren mit \(\;\ln (a)\;\) und ersetzen \(\;b\;\) mit \(\;\log_a(x)\;\) (siehe nochmals die erste Gleichung)

\[ b = \log_a(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(a)} \]

Wir haben jetzt die Möglichkeit einen Logarithmus mit einer beliebigen Basis \(a\) in zwei natürliche Logarithmen (mit Basis \(e\)) umzuwandeln. Eigentlich geht das mit jeder Basis, nicht nur \(e\), aber nehmen wir doch einfach die natürliche Basis, weil sie die Praktischste ist.