Das Wichtigste in Kürze

Zum Logarithmus gibt es ein paar wichtige Rechenregeln, die den Umgang mit dem Logarithmus unglaublich viel praktischer machen. Erst mit diesen Rechenregeln schöpfen wir das Potenzial des Logarithmus richtig aus, wie du in den folgenden Beispielen sehen wirst.

Rechenregeln für Logarithmen für beliebige, jedoch zulässige Basen $a$ bei kombinierten Argumenten: 

\[ \log_a(x_1 \cdot x_2) =  \log_a(x_1) + \log_a(x_2) \quad \text{(1)} \]

\[ \log_a \Big(\frac{x_1}{x_2} \Big) =  \log_a(x_1) – \log_a(x_2) \qquad \text{(2)} \]

\[ log_a \Big( x^k \Big) = k \cdot \log_a(x) \qquad \text{(3)} \]

\[ log_a \Big( \sqrt[n]{x} \Big) = \frac{1}{n} \cdot \log_a(x) \qquad \text{(4)} \]

Ein Logarithmus mit einer Basis $a$ kann mit Hilfe des natürlichen Logarithmus berechnet werden:

\[ \log_a(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(a)} \]

Das Gleiche ist auch mit einer anderen Basis möglich, z.B. mit der Basis 10:

\[ \log_a(x) = \frac{\lg(x)}{\lg(a)} \]

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“Der Logarithmus eines Produkts kann als Summe zweier Logarithmen geschrieben werden.”

Logarithmus eines Produkts

Wenn wir ein Produkt im Logarithmus haben, können wir auch einfach zwei Logarithmen der einzelnen Faktoren aufschreiben und sie einfach summieren:

\[ \log_a(x_1 \cdot x_2) =  \log_a(x_1) + \log_a(x_2) \quad \text{(1)} \]

Beispiel: Logarithmus von e im Quadrat

Berechne den Wert von $\ln(e^2)$

Die Potenz $e^2$ ist eigentlich ein Produkt: $e \cdot e = e^2$

\[ \ln(e^2) = \ln(e \cdot e) \]

Jetzt nutzen wir die Eigenschaft (1) und erhalten:

\[ \ln(e \cdot e) = \ln(e) + \ln(e) \]

Da $e$ auch die Basis des natürlichen Logarithmus ist, gilt:

\[ \ln(e) = 1 \]

Das sehen wir auch, wenn wir die Frage stellen “e hoch wie viel gibt uns e? Natürlich e hoch 1 gibt uns e.”

Somit gilt:

\[ \ln(e^2) = \ln(e) + \ln(e) = 1 + 1 = \underline{\,2\,} \]

Herleitung

Die Eigenschaft (1) lässt sich leicht nachweisen. Wir betrachten dazu die Definition des Logarithmus an:

\[ \log_a(x_1) = b_1 \quad \Leftrightarrow \quad a^b_1 = x_1 \]

\[ \log_a(x_2) = b_2 \quad \Leftrightarrow \quad a^b_2 = x_2 \]

Nun nehmen wir die beiden Definitionen von $x_1$ und $x_2$ und bilden das Produkt davon. Das Produkt von zwei Potenzen mit gleicher Basis wird gebildet, indem die beiden Exponenten addiert werden:

\[ x = x_1 \cdot x_2 = a^{b_1} \cdot a^{b_2} = a^{(b_1+b_2)} = a^b \]

Dabei haben wir $\;x = x_1 \cdot x_2\;$ und $\;b = b_1 + b_2\;$ gesetzt. Mit $\;x = a^b\;$ gilt ja auch $\;\log_a(x) = b$. Wir schreiben deshalb:

\[ \log_a(x) = \log_a(x_1 \cdot x_2) = b = b_1 + b_2 \]

Jetzt ersetzen wir $b_1$ und $b_2$ mit den Logarithmen aus der ersten zwei Gleichungen ($\log_a(x_1) = b_1$ und $\log_a(x_2) = b_2$) und erhalten die Eigenschaft (1):

\[ \log_a(x_1 \cdot x_2) = b_1 + b_2 \]

\[ = \log_a(x_1) + \log_a(x_2) \quad \text{(1)} \]

“Eine Potenz im Logarithmus? Ziehe einfach den Exponenten als Faktor vor den Logarithmus”

Logarithmus einer Potenz

Vorhin haben wir schon einen Logarithmus mit einer Potenz gelöst, indem wir daraus ein Produkt gemacht und dann mit Hilfe der Regel (1) gelöst haben. Was aber machen wir, wenn es nicht ein Quadrat ist?

Hierzu brauchen wir die Regel (3):

\[ log_a \Big( x^k \Big) = k \cdot \log_a(x) \qquad \text{(3)} \]

Beispiel: Zehnerlogarithmus von 1000

Berechne den Wert von $\lg(10^3)$

Unser Logarithmus hat die Basis 10. Mit der Eigenschaft (3) erhalten wir:

\[ \lg(10^3) = 3 \cdot \lg(10) \]

Der Zehnerlogarithmus von 10 ist einfach 1, denn “10 hoch 1 ist gleich 10“

\[ \lg(10) = \log_{10}(10) = 1 \]

Oben eingesetzt, erhalten wir:

\[ \lg(10^3) = 3 \cdot 1 = \underline{\,3\,} \]

Diese Rechenregel ist besonders praktisch, wenn wir eine Gleichung mit Exponentialfunktion haben, d.h. mit einem unbekannten Exponenten. In so einem Fall müssen wir einfach die ganze Gleichung in den Logarithmus packen und schon können wir den Exponenten als Faktor nach vorne nehmen. Im nachfolgenden Beispiel zeige ich dir, wie das geht. ????

Beispiel: Exponentialgleichung lösen

Finde den Wert $x$, für welchen die Gleichung erfüllt ist:

\[ 5^x + 375 = 16’000 \]

Zuerst subtrahieren wir die 375 auf beiden Seiten, damit dieser Term links verschwindet:

\[ 5^x = 16’000 – 375 = 15’625 \]

Jetzt wenden wir den natürlichen Logarithmus auf beide Seiten der Gleichung an. Übrigens muss es nicht der natürliche Logarithmus sein, aber er ist meine erste Wahl.

\[ \ln \big( 5^x \big) = \ln(15’625) \]

Nun können wir die Regel (3) anwenden und den Exponenten $x$ nach vorne ziehen:

\[ x \cdot \ln(5) = \ln(15’625) \]

Wir dividieren durch $\ln(5)$ und erhalten:

\[ x = \frac{\ln(15’625)}{\ln(5)} \]

Den ganzen Ausdruck rechts können wir in den Taschenrechner eingeben und wir erhalten die Lösung für $x$:

\[ \underline{x = 6} \]

Herleitung

Für die Eigenschaft (3) stellen wir wieder den Ausdruck für die Definition des Logarithmus auf, wobei wir aber statt nur $x$ einfach $(x^k)$ verwenden. Das dürfen wir, denn für den Platzhalter $x$ kann ja irgendetwas stehen.

\[ \log_a \big( x^k \big) = b \quad \Leftrightarrow \quad a^b = \big( x^k \big) \]

Jetzt können wir aber $(x^k)$ auch schreiben als $(x \cdot x^{(k-1)})$, so dass wir statt einem einfachen Argument ein Produkt haben und wir die Eigenschaft (1) benutzen können:

\[ \log_a \big( x^k \big) = \log_a \big( x \cdot x^{(k-1)} \big) \]

\[ = \log_a (x) + \log_a \big( x^{(k-1)} \big) \]

Mit dem $\big( x^{(k-1)} \big)$ machen wir wieder das Gleiche: Wir zerlegen es in ein Produkt und setzen es wieder in den Logarithmus ein und benützen die Eigenschaft (1):

\[ \big( x^{(k-1)} \big) = \big( x \cdot x^{(k-2)} \big) \]

\[ \log_a (x) + \log_a \big( x \cdot x^{(k-2)} \big) \]

\[ = \log_a (x) + \log_a (x) + \log_a \big( x^{(k-2)} \big) \]

Wir wiederholen dieses Prozedere, bis wir keine Potenz mehr haben, d.h. schliesslich haben wir rechts $k$ Summanden:

\[ \log_a \big( x^k \big) = \log_a (x) + \log_a (x) + … + \log_a (x) \]

\[ = k \cdot \log_a (x) \]

Damit haben wir die Eigenschaft (3) nachgewiesen. ????

Logarithmus eines Bruchs

Bei einem Bruch wird dividiert, statt multipliziert. Wir können aber auch einen Bruch als Produkt schreiben, indem wir den Nenner als Potenz mit -1 im Exponenten schreiben:

\[ \frac{a}{b} = a \cdot b^{-1} \]

So können wir auch einen Logarithmus mit Bruch lösen:

\[ \log\Big(\frac{a}{b}\Big) = \log\Big(a \cdot b^{-1}\Big) \]

Wir benutzen die Rechenregel (1) und erhalten eine Summe:

\[ \log\Big(\frac{a}{b}\Big) = \log(a) + \log(b^{-1}) \]

Mit der Rechenregel (3) für die Potenz, ziehen wir die Potenz -1 vor den Logarithmus als Produkt:

\[ \log\Big(\frac{a}{b}\Big) = \log(a) + (-1) \cdot \log(b) \]

Wir erhalten somit die Eigenschaft (2) für Brüche bzw. Quotienten:

\[ \log \Big(\frac{a}{b} \Big) =  \log(a) – \log(b) \]

Beispiel

Berechne $\lg\big(\frac{1}{100}\big)$ unter Benutzung der Eigenschaft (2) und dann nochmals mit der Eigenschaft (3).

Mit der Eigenschaft (2) erhalten wir:

\[ \lg\big(\frac{1}{100}\big) = \cancel{\lg(1)} – \lg(100) \]

\[ = 0 – 2 = \underline{-2} \]

Beachte, dass jeder Logarithmus, auch der Zehnerlogarithmus $\lg$, an der Stelle $x=1$ den Wert null liefert.

Um die Eigenschaft (3) zu benützen, brauchen wir eine Potenz. Nun gilt:

\[ \frac{1}{100} = \frac{1}{10^2} = 10^{-2} \]

Wir schreiben deshalb:

\[ \lg\big(\frac{1}{100}\big) = \lg\big(10^{-2}\big) = (-2) \cdot \lg(10) = (-2) \cdot 1 = \underline{-2} \]

Dabei haben wir benutzt, dass der Logarithmus von seiner Basis immer eins zurückgibt:

\[ \lg(10)=\log_{10}(10)=1 \]

Umrechnung der Basis

Soweit haben wir nichts an der Basis $a$ verändert, sondern sind davon ausgegangen, dass sie passt.

Wir lernen jetzt aber, wie wir von einer Basis $a$ zu einer anderen Basis, z.B. $e$ wechseln können.

\[ \log_a(x) = b \quad \Leftrightarrow \quad a^b = x \]

Wir nehmen die Gleichung rechts…

\[ a^b = x \]

…und setzen sie beidseitig in den natürlichen Logarithmus. Das ist übrigens ein sehr nützlicher Trick, den wir öfters anwenden werden.

\[ \ln\big( a^b \big) = \ln (x) \]

Jetzt benutzen wir die Eigenschaft (3) für die Potenz im natürlichen Logarithmus, d.h. wir ziehen den Exponenten $b$ als Faktor vor den Logarithmus:

\[ b \cdot \ln (a) = \ln (x) \]

Schliesslich dividieren mit $\;\ln (a)\;$ und ersetzen $\;b\;$ mit $\;\log_a(x)\;$ (siehe nochmals die erste Gleichung)

\[ b = \log_a(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(a)} \]

Wir haben jetzt die Möglichkeit einen Logarithmus mit einer beliebigen Basis $a$ in zwei natürliche Logarithmen (mit Basis $e$) umzuwandeln. Eigentlich geht das mit jeder Basis, nicht nur $e$, aber nehmen wir doch einfach die natürliche Basis, weil sie die Praktischste ist. ????

Beispiel: Logarithmus, Wechsel der Basis

Berechne die beiden folgenden Logarithmen mit dem Taschenrechner, ausschliesslich mit der “ln”-Taste:

\[ \text{a)} \;\; \log_2(1’000), \]

\[ \text{b)} \;\; \log_2 (1’000’000) \]

Viele Taschenrechner haben den natürlichen Logarithmus, nicht aber den Zweier-Logarithmus. Wir wandeln deshalb den Logarithmus um, mit Hilfe der eben gefundenen Formel:

\[ \log_2(1’000) = \frac{\ln(1’000)}{\ln(2)} \]

\[ = \frac{6.90776}{0.69315} \approx \underline{9.966} \] 

\[ \log_2(1’000’000) = \frac{\ln(1’000’000)}{\ln(2)} \]

\[ = \frac{13.81551}{0.69315} \approx \underline{19.931} \]

Beispiel: Anwendung des Logarithmus auf die ganze Gleichung

Wie viele Jahre muss ein Anleger warten, bis seine Kapitaleinlage bei einem jährlichen Zins von $z = 2.5\%$ sich verdoppelt hat?

Wir benutzen wieder die Gleichung für das Kapital $K$ nach $x$ Jahren mit $z = 0.025$:

\[ K(x)=K_0 \cdot (1+z)^x \] 

Da wir an einer Verdoppelung von $K(x)$ gegenüber $K_0$ interessiert sind, setzen wir:

\[ K(x) = 2 \cdot K_0 \]

Somit:

\[ 2 \cancel{K_0} = \cancel{K_0} \cdot (1+z)^x \] 

\[ 2 = 1.025^x \] 

Die Lösung $x$ erhalten wir mit dem Logarithmus:

\[ x=\log_{1.025}(2) \]

\[ = \frac{\ln(2)}{\ln(1.025)} = 28.07 \]

Somit muss der Anleger etwas mehr als 28 Jahre warten.

Weitere Links

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Aufgabensammlung

  • Logarithmen (5048) – Aufg. 6

    5 Teilaufgaben (pdf/Video-Lösung):
    Logarithmen ohne Taschenrechner berechnen