Das Wichtigste in Kürze

Die exponentielle Abklingfunktion (auch ‘beschränktes Wachstum nach unten’ genannt) hat die folgende Funktionsgleichung:

\[ f(t) = a \cdot e^{-\frac{t}{\tau}} + b \]

Sie wird durch drei Parameter definiert:

  • Funktionswert über dem Grenzwert (beim Start): $a$
  • Grenzwert für $t \rightarrow \infty$: $b$
  • Zeitkonstante $\tau$

Mit der Abklingfunktion ist ein exponentieller Zerfall gemeint, der sich einem Grenzwert nähert. Solche Verläufe über die Zeit sind in den Naturwissenschaften und in der Technik sehr verbreitet. Die Abklingfunktion kann aber auch eine Funktion des Ortes sein, z.B. wenn die Temperatur oder die Konzentration eines Stoffs mit zunehmendem Abstand abnimmt.

Es gibt unendlich viele Varianten von Abklingfunktionen. Mit drei Kenngrössen bzw. Informationen wird die Abklingfunktion aber fertig beschrieben:

  • Funktionswert beim Start (erster Punkt bei $t=0$)
  • Grenzwert für $t \rightarrow \infty$ oder zweiter Punkt für $t>0$
  • Abklingrate, d.h. wie schnell das Abklingen ist

Die Zeitkonstante wird mit dem griechischen Buchstaben $\tau$ (“tau”) definiert. Sie ist die Zeit, die verstreichen würde, wenn die Funktion linear abfallen und den Grenzwert erreichen würde (siehe Grafik). Eine andere Definition besagt, dass zum Zeitpunkt $\tau$ der Funktionswert auf den “$e$-ten” Teil des Startwerts über Grenzwert gefallen ist, d.h. $\frac{1}{e} = 0.368 \approx \frac{1}{3}$ noch etwa einen Drittel verbleibend oder um rund zwei Drittel abgeklungen. Wir können uns dem vergewissern, indem wir den Funktionswert am Anfang $f_0=f(0)$ mit dem Funktionswert $f_1=f(\tau)$ zum Zeitpunkt $\tau$ vergleichen:

\[ f_0 = a \cdot e^{-\frac{0}{\tau}} + b = a \cdot 1 + b = a + b \]

\[ f_1 = a \cdot e^{-\frac{\tau}{\tau}} + b = a \cdot e^{-1} + b = \frac{a}{e} + b \]

\[ f_0 – f_1 = \big(a + b \big) – \Big(\frac{a}{e} + b \Big) = \Big(1- \frac{1}{e} \Big) \cdot a = (1-0.368) \cdot a = 0.632 \cdot a \]

Für sehr grosse Zeiten $t \rightarrow \infty$ nähert sich die Abklingfunktion asymptotisch dem Grenzwert b an, weil die exponentielle Zerfallsfunktion ja gegen null geht:

\[ \lim_{t \rightarrow \infty}\Big( a \cdot e^{-\frac{t}{\tau}} + b \Big) = a \cdot \cancel{\lim_{t \rightarrow \infty}\Big( e^{-\frac{t}{\tau}} \Big)} + b = 0 + b = b \]

Beispiel: Abkühlende Tasse

Eine heisse Tasse Kaffee hat anfangs eine Temperatur von 90°C. Nach 10 min ist der Kaffee nur noch halb so warm, wobei die Raumtemperatur 20°C beträgt. Finde die Abklingfunktion für die Temperatur des Kaffees und berechne, wie lange es braucht, bis der Kaffee zu 90% abgekühlt ist.

Verschaffen wir uns zuerst einen Überblick, über die Information, die wir aus der Aufgabenstellung haben. Wir stellen dazu eine kleine Tabelle auf. Dabei haben wir den Unterschied von 90°C und 20°C als 100% genommen, d.h. 90% entsprechen 63°C Abkühlung von 90°C aus. Die verbleibenden 10% sind dann 7° über dem Grenzwert von 20°C, d.h. 27°C.

Zeitpunkt $t$010 min? $\rightarrow \infty$
Temperatur $T$90°C55°C27°C20°C

Die Abklingfunktion lautet:

\[ T(t) = a \cdot e^{-\frac{t}{\tau}} + b \]

Wir haben $a=90^\circ C – 20^\circ C=70^\circ C$ und $b=20^\circ C$. Die Zeitkonstante $\tau$ erhalten wir, aus der Angabe zur Temperatur nach 10 min. Wir kriegen eine Gleichung mit $\tau$ als einzige Unbekannte:

\[ T(t) = 70 \cdot e^{-\frac{10}{\tau}} + 20 \stackrel{!}{=} 55 \]

Zuerst subtrahieren wir 20 und dividieren dann durch 70:

\[ e^{-\frac{10}{\tau}} = \frac{55-20}{70} \]

Jetzt setzen wir die linke und die rechte Seite der Gleichung in den natürlichen Logarithmus, damit wir die Exponentialfunktion loswerden:

\[ \ln \Big( e^{-\frac{10}{\tau}} \Big) = \ln \Big( \frac{55-20}{70} \Big) = \ln(0.5) \]

\[ -\frac{10}{\tau} = \ln(0.5) \]

Wir können jetzt nach der Zeitkonstanten $\tau$ auflösen und sie berechnen:

\[ \tau = \frac{-10}{\ln(0.5)} = \frac{-10}{-0.69315} = 14.43 \; \text{min} \]

Jetzt haben wir die komplette Abklingfunktion:

\[ \underline{T(t) = 70 \cdot e^{-\frac{t}{14.43}} + 20} \]

Um jetzt herauszufinden, wie lange es geht, bis der Kaffee auf 27°C abgekühlt ist, setzen wir einfach die Werte ein und lösen die Gleichung wieder mit den gleichen Tricks nach $t$ auf:

\[ T(t) = 70 \cdot e^{-\frac{t}{14.43}} + 20 \stackrel{!}{=} 27^\circ C \]

\[ e^{-\frac{t}{14.43}} = \frac{27-20}{70} = 0.1 \]

\[ \ln \Big( e^{-\frac{t}{14.43}} \Big) = -\frac{t}{14.43} = \ln(0.1) \]

\[ t = (-14.43) \cdot \ln(0.1) = (-14.43) \cdot (-2.3026) = \underline{33.2 \; \text{min}} \]

Die Temperatur des Kaffees erreicht 27°C nach etwas mehr als 33 Minuten.

Aufgabensammlung

Anwendungen der Differenzialrechnung (5026)

6 Aufgaben mit Lösungen (pdf/Video):

  • Maximum / Minimum bestimmen
  • Sattelpunkt bestimmen
  • Ableitung einer Umkehrfunktion
  • Exponentielle Abklingfunktion
  • Linearisierung (lineare Näherung) einer Funktion

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Lernziele

  • Du kennst die Struktur der exponentiellen Abklingfunktion, insbesondere kennst du die drei Parameter, die eine Abklingfunktion beschreiben

Mini-Test

(zu diesem Thema gibt es noch keinen Mini-Test)

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