Funktionsgraphen, die durch kontinuierliche Punktscharen \textit{ohne} Unterbruch beschrieben werden, heissen stetig.

Die Stetigkeit kann an bestimmten Punkten, den sog. Unstetigkeitsstellen, unterbrochen sein:

  • Löcher, d.h. Unterbrüche des Funktionsverlaufs
  • Sprünge, d.h. der Funktionsverlauf springt auf eine neue Höhe
  • Funktion verläuft ins Unendliche
  • Funktion verläuft ins Unendliche, kombiniert mit einem unendlichen Sprung

Beispiel

Finde die Unstetigkeitsstellen der folgenden Funktion. Um welche Art von Unstetigkeitsstellen handelt es sich?

\[ f(x) = \frac{x^2-1}{x^2-2x-24} \]


Wir erhalten die Unstetigkeitsstelle, indem wir das Nennerpolynom null stellen:

\[ x^2-2x-24 \; \overset{!}{=} \; 0 \]

Links können mit mit dem Klammeransatz faktorisieren, denn der zweite Term ist $4-6=-2$ und der dritte Term ist $4 \cdot (-6) = -24$. Somit schreiben wir:

\[ (x+4)(x-6) = 0 \]

Wir sehen sofort, dass diese Gleichung erfüllt ist, wenn $\underline{x=-4}$ oder $\underline{x=6}$. Das sind unsere beiden Unstetigkeitsstellen.

Um die Art der Unstetigkeitsstellen herauszufinden, machen wir eine kleine Skizze des Graphen. Dazu ermitteln wir noch ein paar Punkte:

\[ f(0) = \frac{1}{24} \]

Das Zählerpolynom verrät uns die Nullstellen der Funktion:

\[ x^2 – 1 \; \overset{!}{=} \; 0 \]

\[ x^2 = 1 \]

Diese Gleichung hat zwei Lösungen: $x=-1$ und $x=1$.

Die Polynomdivision verrät uns zudem das Verhalten der Funktion im Unendlichen (Asymptote):

\[ (x^2-1) \;:\; (x^2-2x-24) \; = \; 1 + \text{Rest} \]

Damit schmiegt sich die Funktion der Asymptoten $y=1$ an für $x \rightarrow -\infty$ und $x \rightarrow \infty$.

Der Verlauf der Funktion sieht in etwa folgendermassen aus:

Die beiden Unstetigkeitsstellen sind unendliche Sprünge.

Beispiel

Untersuche die Stetigkeit der folgenden Funktion

\[ y(x)=\frac{x+1}{x-1} \]


Die Unstetigkeitsstelle finden wir, indem wir den Nenner auf null setzen. Der Nenner ist null für $\underline{x=1}$.

Die Funktion hat eine Nullstelle in $x=-1$, wie wir es im Zählerpolynom sofort erkennen können.

Den Achsabschnitt erhalten wir ebenfalls sehr schnell:

\[ f(0) = \frac{0+1}{0-1} = -1 \]

Schliesslich führen wir eine Polynomdivision durch und erhalten:

\[ (x+1) \;:\; (x-1) \;=\; 1 + \text{Rest} \]

Damit ist die Asymptote wieder von der Form $y=1$.

Der Verlauf zeigt uns, dass es sich um einen unendlichen Sprung handelt.

Unendlicher Sprung

Aufgabensammlung

  • Funktionen und Umkehrfunktionen (5062) – Aufg. 3

    1 Aufgabe (pdf/Video-Lösung):
    Monotonie einer Funktion