Quadratische Funktionen

Ausrichtung der Parabel

Quadratische Funktionen haben Parabeln als Graphen. Die Parabeln verlaufen, wenn sie ein positives Vorzeichen haben, von \(+\infty\) zu einem Minimum und wachsen dann wieder an bis \(+\infty\). Die Parabeln sind in diesem Fall nach oben offen. Ist das Vorzeichen negativ, ist die Parabel nach unten offen und hat irgendwo ein Maximum.

Der Punkt, der das Minimum bzw. Maximum bildet, heisst auch Scheitelpunkt. Beachte, dass Parabeln links und rechts vom Scheitelpunkt spiegelsymmetrisch sind, d.h. wenn der Scheitelpunkt auf der \(y\)-Achse liegt, sind die quadratischen Funktionen gerade Funktionen.

In der obigen Grafik sind zwei Beispiele aufgeführt. Beachte in der Funktionsgleichung die Vorzeichen des Faktors vor dem \(x^2\):

\[ f_1(x) = \;\underset{\uparrow}{\boldsymbol{+}}\;x^2 + 4x + 3 \]

\[ f_2(x) = \;\underset{\uparrow}{\boldsymbol{-}}\; \frac{2}{5}\;x^2 + \frac{8}{5}x \]

Eine Parabel hat die folgenden Eigenschaften:

• Die Parabel ist spiegelsymmetrisch
• Unmittelbar um den Scheitelpunkt herum, ist die Parabel horizontal
• Die Arme gehen ins Unendliche und werden immer steiler
• Die Parabel ist unendlich breit

Grundparabel

Die Grundparabel ist der Funktionsverlauf der einfachsten quadratischen Funktion, nämlich \(f(x)=x^2\). Es ist wichtig, sie gut zu kennen, bevor wir mit etwas komplizierteren quadratischen Funktionen uns beschäftigen.

Von der Grundparabel können wir zu sämtlichen anderen Parabeln gelangen, indem wir den Funktionsverlauf horizontal oder vertikal verschieben und ihn strecken oder stauchen. Schliesslich können wir die Ausrichtung der Parabel mit einem negativen Vorzeichen ändern.

Normalform

Wenn wir den Ausdruck der Funktionsgleichung komplett ausmultiplizieren, erhalten wir die Normalform eines Polynom zweiten Grades.

Diese Normalform hat nur gerade einen Vorteil: Der Achsabschnitt kann direkt abgelesen werden.

Scheitelpunktform

Wenn wir die Grundform der Parabel \(y(x)=x^2\) nehmen, haben wir einen Scheitelpunkt im Ursprung \((0,0)\). Im allgemeinen Fall ist aber der Scheitelpunkt an einer anderen Position \((x_0,y_0)\), z.B. im Punkt \((4,2)\).

Eigentlich sind beide Parabeln gleich, mit dem Unterschied, dass die blaue Parabel um den Betrag 4 nach rechts und um den Betrag 2 nach oben verschoben worden ist. Mit anderen Worten: Wenn wir das blau gestrichelte Koordinatensystem nehmen würden mit den Koordinaten \(x’\) und \(y’\), die durch den Scheitelpunkt gehen, hätten wir die folgende Gleichung für die blaue Parabel:

\[ y’=(x’)^2 \]

Jetzt rechnen wir die Koordinaten um: Dort wo \(x’=0\), gilt \(x=4\). Für die Vertikale haben wir \(y’=0\), wo \(y=2\), d.h. die Umrechnung der beiden Koordinaten lautet:

\[ x’=x-4 \quad \text{und} \quad y’=y-2 \]

Wir können die beiden eingeführten Koordinaten \(x’\) und \(y’\) mit Hilfe der obigen Gleichungen ersetzen. Für die Funktion der blauen Parabel kriegen wir damit:

\[ (y-2)=(x-4)^2 \]

Wir bringen die 2 noch auf die andere Seite, indem wir 2 zu der ganzen Gleichung addieren:

\[ y = (x-4)^2 + 2 \]

Das ist die Funktionsgleichung der blauen Parabel mit einem Scheitelpunkt in \((4,2)\). Wir müssen jetzt nur die Gleichung auf einen beliebigen Scheitelpunkt \((x_0,y_0)\) verallgemeinern und die Öffnung der Parabel mit einem beliebigen Vorfaktor \(a\) versehen.

Beachte das Minus-Zeichen vor \(x_0\)! Wenn \(x_0\) selber negativ ist, entsteht in der Klammer ein Plus-Zeichen, z.B. für \(x_0=-5\):

\[ f(x) = a \cdot \Big(x – (-5) \Big)^2 + y_0 \]

\[ f(x) = a \cdot (x + 5)^2 + y_0 \]

In der Scheitelpunktform können die Koordinaten des Scheitelpunkts direkt abgelesen werden. Wenn also die Aufgabe darin besteht, den Scheitelpunkt zu bestimmen, bringen wir die Funktionsgleichung in die Scheitelpunktform und leiten davon die Position des Scheitelpunkts ab.

Beispiel

Bestimme den Scheitelpunkt der folgenden quadratischen Funktion und mach eine Aussage über die möglichen Quadranten, wo der Scheitelpunkt ja nach \(b\) und \(c\) liegen kann:

\[ f(x) = (x+b^2)^2-c^3 \]

---

Wir vergleichen die gegebene Funktion mit der allgemeinen Scheitelpunktform und kriegen:

\[ x_0=-b^2 \quad \text{und} \quad y_0=-c^3 \]

Somit ist der Scheitelpunkt \((x_0,y_0)\) an der Position:

\[ \underline{S(-b^2,-c^3)} \]

Beachte, dass \(b^2\) immer positiv ist, d.h. die \(x\)-Koordinate des Scheitelpunkts ist garantiert negativ (oder null). \(c^3\) kann hingegen sowohl positiv, wie negativ sein. Über die vertikale Position des Scheitelpunkts können wir deshalb nichts Zusätzliches aussagen. Der Scheitelpunkt liegt in einem der beiden Quadraten links der \(y\)-Achse (oder auf ihr).

Produktform

Wenn wir die Nullstellen einer quadratischen Funktion suchen, sollten wir die Funktionsgleichung in die Produktform bringen. Sie erlaubt uns die Nullstellen auf einfache Weise abzulesen.

Beispiel

Wo liegen die Nullstellen der folgenden quadratischen Funktion (in Produktform):

\[ f(x) = (x-4)(x+1) \]

---

Die Nullstellen sind dort, wo die Funktion den Funktionswert null erreicht. Wir setzen deshalb die Funktionsgleichung mit null gleich:

\[ (x-4)(x+1) = 0 \]

Diese Gleichung ist erfüllt, sobald mindestens ein Faktor den Wert null hat. Das ist der Fall, wenn

\[ x=4 \quad \text{oder} \quad x=-1 \]

Damit haben wir die Positionen der beiden Nullstellen. Wir können sie aus der Produktform der Funktionsgleichung direkt ablesen. Sie müssen nur mit Vorzeichen vorsichtig sein, denn \((x-4)\) bedeutet ja, dass \(x=+4\) sein muss, damit der Faktor zu null wird.

Beachte, dass Funktionen, die keine Nullstelle haben, auch nicht in Produktform aufgestellt werden können, denn die Produktform kann nur mit den Nullstellen \(x_1\) und \(x_2\) gebildet werden…keine Nullstellen – keine Produktform!

Beispiel

Bestimme die beiden Nullstellen und den Scheitelpunkt der Funktion \(f(x)=px^2+2px-48p\). Stelle dazu die Produkt- und die Scheitelpunktform auf. 

---

Als Erstes erkennen wir, dass der Faktor \(p\) überall ausgeklammert werden kann. Durch das Ausklammern, bilden wir ja auch einen Faktor, der zur Produktform passt

\[ f(x)=p \cdot (x^2+2x-48) \]

Mit dem Klammeransatz erkennen wir, dass der Koeffizient \(+2\) beim zweiten Summanden und der Koeffizient \(-48\) beim dritten Summanden zum Zahlenpaar \(+8, -6\) passt, denn \((+8)+(-6)=+2\) und \((+8)\cdot(-6)=-48\). Somit können wir die Klammer in Produktform bringen:

\[ \underline{f(x)=p\cdot(x+8)(x-6)} \]

Die Nullstellen dieser quadratischen Funktion liegen bei \(\underline{x_1=-8}\) und \(\underline{x_2=+6}\). Die Vorzeichen kehren sich um, denn wir kriegen eine Nullstelle, wenn die Klammer null ist.

Beachte, dass der Faktor \(p\) keinen Einfluss hat, denn er streckt die quadratische Funktion in der Vertikalen um die \(x\)-Achse herum, ändert aber nichts an den Positionen der Nullstellen.

Für die Bestimmung des Scheitelpunkts benutzen wir die Tatsache, dass die Parabel spiegelsymmetrisch ist. Der Abstand zwischen den beiden Nullstellen beträgt 14. Der Scheitelpunkt befindet sich horizontal genau in der Mitte zwischen den beiden Nullstellen, d.h. 7 Schritte nach rechts von der linken Nullstelle -8 entfernt oder 7 Schritte nach links von der rechten Nullstelle +6 entfernt: Der Scheitelpunkt hat die \(x\)-Koordinate -1.

Die \(y\)-Koordinate des Scheitelpunkts erhalten wir, indem wir diese \(x\)-Koordinate in die Funktionsgleichung einsetzen:

\[ f(-1) = p\cdot(-1+8)(-1-6) = p \cdot 7 \cdot (-7) = -49p \]

Mit dem Scheitelpunkt in \(S(-1,-49p)\) erhalten wir jetzt die Scheitelpunktform:

\[ \underline{f(x) = p \cdot (x+1)^2 – 49p} \]