Wir werden jetzt die etwas umständliche Schreibweise für Funktionen vereinfachen und uns darauf konzentrieren, was die Funktion mit dem Input macht. Statt…

\[ f\colon \boldsymbol{D} \rightarrow \boldsymbol{W},\;x \mapsto y \]

…schreiben wir jetzt eine Funktionsgleichung:

\[ f\colon \; x \; \mapsto \; y=f(x) \]

oder einfach

\[ y=f(x) \]

Funktionsgleichungen werden oft abgekürzt geschrieben:

\[ \quad y(x)=…x… \quad \text{oder} \quad f(x)=…x… \]

Auf der rechten Seite steht, wie der Funktionswert mit Hilfe des Arguments $x$ berechnet wird.

Ohne spezielle Erwähnung wird meistens davon ausgegangen, dass $x$ uneingeschränkt alle Werte in $\mathbb{R}$ annehmen kann. Die Funktion ist meistens $f\colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$.

Beispiel

Ein Gipfeli kostet CHF 0.90 pro Stück. Wie lautet die Funktion $f$, die die Kosten $k$ von $n$ Gipfelis berechnet?

\[ f \colon n \mapsto k \]


Der Input der Funktion $f$ ist die Anzahl Gipfelis $n \in \mathbb{N}$ und der Output der Funktion sind die Kosten $k \in \mathbb{Q}$ für die Gipfelis. Die Funktionsgleichung lautet:

\[ \underline{k(n) = n \cdot 0.90} \]

Man liest die Funktionsgleichung wie folgt: “$k$ von $n$ ist gleich dem Produkt von $n$ und dem Stückpreis 0.90.” Du kannst einfach eine beliebige Anzahl $n$ Gipfelis in die Funktion “einwerfen” und kriegst dann als Output den Preis $k$ dafür, z.B. $k(3)$=2.70

Beispiel

Eine Funktion ist durch folgende Funktionsgleichung gegeben:

\[ f(x)=x^2 + x \]

Wie lauten die Funktionswerte der folgenden Argumente?

a) $f(1)$, $\quad$ b) $f(-2)$, $\quad$ c) $f(0)$, $\quad$ d) $f(\sqrt{2})$, $\quad$ e) $f(a)$


Wir müssen einfach das Argument in die Funktionsgleichung einsetzen:

a) $ f(1) = 1^2 + 1 = 1 + 1 = \underline{2} $

b) $ f(-2) = (-2)^2 + (-2) = 4 – 2 = \underline{2} $

c) $ f(0) = 0^2 + 0 = 0 + 0 = \underline{0} $

d) $ f(\sqrt{2}) = (\sqrt{2})^2 + \sqrt{2} = \underline{2 + \sqrt{2}} $

e) $ f(a) = \underline{a^2 + a} $