Ich habe mir als Schüler damals die Funktionen wie einen Getränkeautomaten vorgestellt. Ich werfe eine Münze ein und der Automat gibt eine Cola-Flasche heraus. Werfe ich z.B. eine kleinere Münze ein, so kriege ich “nur” ein Wasser. Die Analogie stimmt aber nur dann, wenn wir einen etwas vereinfachten Automaten haben, der aufgrund der nur aufgrund Münze weiss, was er ausgeben muss: Es gibt kein Bedienfeld oder irgendwelche Knöpfe.

Eine mathematische Funktion $f$ funktioniert ähnlich. Wir geben ihr einen Wert $x$ und sie macht daraus einen Wert $y$, ohne weitere Eingaben. Funktionen kriegen einen Input und geben einen Output heraus: Der Input $x$ heisst auch Argument der Funktion $f$, der Output $y$ heisst Funktionswert. Es ist der Wert, den die Funktion aus dem $x$ gemacht hat.

Beispiel

Bestimme den Output der Funktion $f$ für die Argumente $x=0$, $x=1$ und $x=2$.

\[ f: \;\; x \mapsto (5x+2) \]


Wir ersetzen einfach $x$ in der Formel mit seinem Wert 0 und rechnen den Funktionswert aus:

\[ f(0) = 5 \cdot 0 + 2 = \underline{\;2\;} \]

Dann tun wir das Gleiche für $x=1$ und für $x=2$ :

\[ f(1) = 5 \cdot 1 + 2 = \underline{\;7\;} \]

\[ f(2) = 5 \cdot 2 + 2 =\underline{\;12\;} \]

Eine Funktion $f$ ordnet einem eingegebenen Wert $x$, dem Argument, einen neuen Wert $y$ zu, den wir Funktionswert nennen.

Funktion: $\quad$ Argument (Input) –> Funktionswert (Output)

\[ f:\quad x \;\mapsto\; y \]

Meistens wird die Schreibweise “f von x” benutzt = Funktionswert von $f$ für den Input $x$:

\[ y = f(x) \]

Zu den meisten Funktionen gibt es auch sog. Umkehrfunktionen. Eine Umkehrfunktionen $f^{-1}$ macht die Aktion der Funktion $f$ rückgängig, indem sie aus dem Wert $y$ wieder ein $x$ macht. In unserer Analogie wäre die Umkehrfunktion ein spezieller Automat, der die Colaflasche annimmt und dafür die ursprüngliche Münze wieder ausgibt! Geschrieben wird die Umkehrfunktion mit einem Exponenten -1.

\[ f:\;x \mapsto y \quad \quad y=f(x) \]

\[ f^{-1}:\;y \mapsto x \quad \quad x=f^{-1}(y) \]

Beispiel

Finde die Umkehrfunktion von $f$ und überprüfe dann, dass sie mit den Argumenten $y=2$, $y=7$ und $y=12$ wieder die erwarteten $x$-Werte liefert.

\[ f: \;\; x \mapsto (5x+2) \]


Wir schreiben zuerst die sog. Funktionsgleichung hin:

\[ y = 5 \cdot x + 2 \]

Jetzt lösen wir die Gleichung nach $x$ auf, d.h. als Erstes subtrahieren wir $2$.

\[ y-2 = 5 \cdot x \]

Jetzt dividieren wir durch $5$.

\[ \frac{y-2}{5} = x \]

Damit haben wir die Umkehrfunktion gefunden:

\[ x = f^{-1}(y) = \frac{y-2}{5} \]

Wir können nun die Werte $y=2$, $y=7$ und $y=12$ einsetzen und erhalten die Funktionswerte der Umkehrfunktion $f^{-1}$:

\[ f^{-1}(2) = \frac{2-2}{5} = \frac{0}{5} = \underline{\;0\;} \]

\[ f^{-1}(7) = \frac{7-2}{5} = \frac{5}{5} = \underline{\;1\;} \]

\[ f^{-1}(12) = \frac{12-2}{5} = \frac{10}{5} = \underline{\;2\;} \]

Tatsächlich haben wir wieder die ursprünglichen $x$-Werte erhalten, die wir ursprünglich in die Funktion $f$ eingegeben hatten.

Die Umkehrfunktion von $f$ wird mit $f^{-1}$ geschrieben. Sie nimmt einen $y$-Wert auf (Argument) und gibt einen $x$-Wert heraus (Funktionswert). Sie hebt damit die Zuordnung der Funktion $f$ wieder auf.

Achtung Verwechslungsgefahr! Die Notation mit dem Exponenten (-1) hat nichts mit einer Potenz zu tun und darf deshalb auf keinen Fall mit dem Kehrwert verwechselt werden!

\[ f^{-1} \neq \frac{1}{f} \]

Beachte: Wenn $f^{-1}$ die Umkehrfunktion von $f$ ist, dann ist die Funktion $f$ auch die Umkehrfunktion von $f^{-1}$.

Aufgabensammlung

  • Funktionen und Umkehrfunktionen (5062) – Aufg. 5

    4 Teilaufgaben (pdf/Video-Lösung):
    Parameter einstellen, so dass Verlauf durch Punkt geht

  • Funktionen und Umkehrfunktionen (5062) – Aufg. 6

    3 Teilaufgaben (pdf/Video-Lösung):
    Umkehrfunktion und Definitions-/Wertebereich