Achsabschnitt

Nullstellen und Achsabschnitt sind die Schnittpunkte des Funktionsgraphen mit der x-Achse (Nullstellen) und mit der y-Achse (Achsabschnitt).

Wir schauen uns zuerst den Achsabschnitt an. Er ist der Schnittpunkt des Funktionsgraphen mit der \(y\)-Achse. Die \(y\)-Achse zeichnet sich dadurch aus, dass die \(x\)-Werte null sind.

Wir erhalten deshalb den Achsabschnitt indem wir für \(x=0\) einsetzen.

Beachte, dass es immer nur genau einen Achsabschnitt gibt, d.h. die \(y\)-Achse wird nur in einem Punkt geschnitten. Wenn der \(x=0\)-Wert nicht in der Definitionsmenge der Funktion ist, d.h. wenn die Funktion für \(x=0\) nicht definiert ist, gibt es auch keinen Achsabschnitt. Im Gegensatz dazu gibt es bei den Nullstellen durchaus auch mehr als eine Nullstelle.

Beispiel

Finde den Achsabschnitt der linearen Funktion \(f(x)=3x+6\) auf der \(y\)-Achse.

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Um den Achsabschnitt zu finden, setzen wir den Wert \(x=0\) in die Funktionsgleichung ein:

\[ y = 3x + 6 = 3 \cdot 0 + 6 \]

\[ \underline{y=6} \]

Die Funktion schneidet die \(y\)-Achse auf der Höhe \(y=6\).

Beispiel

Bestimme den Achsabschnitt der folgenden Funktion:

\[ f(x) = x^5 -4x^4 + (x-2)^3 +x^2 -7x + 2 \]

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Wir setzen wieder das Argument \(x=0\) in die Funktion ein und sehen, dass fast alles aus der Funktionsgleichung wegfällt:

\[ \require{cancel} f(0) = \cancel{0^5} – \cancel{4\cdot0^4} + (0-2)^3 + \cancel{0^2} – \cancel{7 \cdot 0} + 2 \]

\[ f(0) = (-2)^3 + 2 = -8 + 2 = \underline{\;-6\;} \]

Beispiel

Ermittle den Achsabschnitt der folgenden Funktion:

\[ f(x) = \frac{1}{5}x^3-\frac{8}{5}x^2+3x \]

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Der Achsabschnitt kann direkt abgelesen werden: Wenn wir alle \(x\)-Terme weglassen, weil sie wegen \(x=0\) wegfallen, bleibt nichts übrig. Somit ist der Achsabschnitt \(\underline{y=0}\) und der Funktionsverlauf schneidet die \(y\)-Achse an der Stelle \(y=0\), d.h. im Ursprung.