Nullstellen und Achsabschnitt sind die Schnittpunkte des Funktionsgraphen mit der x-Achse (Nullstellen) und mit der y-Achse (Achsabschnitt).

Wir schauen uns zuerst den Achsabschnitt an. Er ist der Schnittpunkt des Funktionsgraphen mit der $y$-Achse. Die $y$-Achse zeichnet sich dadurch aus, dass die $x$-Werte null sind.

Wir erhalten deshalb den Achsabschnitt indem wir für $x=0$ einsetzen.

Der Achsabschnitt $(0,y_0)$ ist der Schnittpunkt des Funktionsverlaufs mit der $y$-Achse. Der Achsabschnitt ist ein einfacher und schnell zu ermittelnder Punkt und es lohnt sich deshalb, diesen gleich als Erstes zu ermitteln:

\[ f(0) = y_0 \]

Beachte, dass es immer nur genau einen Achsabschnitt gibt, d.h. die $y$-Achse wird nur in einem Punkt geschnitten. Wenn der $x=0$-Wert nicht in der Definitionsmenge der Funktion ist, d.h. wenn die Funktion für $x=0$ nicht definiert ist, gibt es auch keinen Achsabschnitt. Im Gegensatz dazu gibt es bei den Nullstellen durchaus auch mehr als eine Nullstelle.

Beispiel

Finde den Achsabschnitt der linearen Funktion $f(x)=3x+6$ auf der $y$-Achse.


Um den Achsabschnitt zu finden, setzen wir den Wert $x=0$ in die Funktionsgleichung ein:

\[ y = 3x + 6 = 3 \cdot 0 + 6 \]

\[ \underline{y=6} \]

Die Funktion schneidet die $y$-Achse auf der Höhe $y=6$.

Beispiel

Bestimme den Achsabschnitt der folgenden Funktion:

\[ f(x) = x^5 -4x^4 + (x-2)^3 +x^2 -7x + 2 \]


Wir setzen wieder das Argument $x=0$ in die Funktion ein und sehen, dass fast alles aus der Funktionsgleichung wegfällt:

\[ f(0) = \cancel{0^5} – \cancel{4\cdot0^4} + (0-2)^3 + \cancel{0^2} – \cancel{7 \cdot 0} + 2 \]

\[ f(0) = (-2)^3 + 2 = -8 + 2 = \underline{\;-6\;} \]

Beispiel

Ermittle den Achsabschnitt der folgenden Funktion:

\[ f(x) = \frac{1}{5}x^3-\frac{8}{5}x^2+3x \]


Der Achsabschnitt kann direkt abgelesen werden: Wenn wir alle $x$-Terme weglassen, weil sie wegen $x=0$ wegfallen, bleibt nichts übrig. Somit ist der Achsabschnitt $\underline{y=0}$ und der Funktionsverlauf schneidet die $y$-Achse an der Stelle $y=0$, d.h. im Ursprung.