Die Summenregel der Integrationsrechnung folgt direkt aus der Summenregel der Differentialrechnung. Dort hatten wir gesehen, dass die Ableitung einer Summe gleich der Summe der einzelnen Ableitungen ist. Wir leiten eine Summe ab, indem wir jeden Summanden einzeln ableiten und dann die Ableitungen summieren.
Bei der Integration geht es genau gleich. Das Integral einer Summe kann für jeden Summanden einzeln gelöst werden. Die Resultate dieser einzelnen Integrale können am Schluss addiert werden.
Summenregel der Integralrechnung:
\[ \int \Big( f(x) + g(x) \; \Big) dx = \int f(x) \; dx + \int g(x) \; dx \]
Beispiel
Berechne das folgende Integral mit Hilfe der Summen- und Faktorregel.
\[ \int \Big( 2 \cos(x) + 3x \Big) \; dx \]
Wir schreiben für jeden Summanden ein eigenes Integral (Summenregel):
\[ \int \Big( 2 \cos(x) + 3x \Big) \; dx = \int 2 \cos(x) \; dx + \int 3 x \; dx \]
Dann klammern wir mit der Faktorenregel die konstanten Faktoren aus:
\[ = 2 \cdot \int \cos(x) \; dx \;\; + \;\; 3 \cdot \int x \; dx \]
Jetzt können die vereinfachten Integrale gelöst werden.
\[ = 2 \cdot \sin(x) + C_1 \;\; + \;\; 3 \cdot \frac{1}{2} x^2 + C_2 \]
\[ = \underline{2 \cdot \sin(x) + \frac{3}{2} x^2 + C} \]
Beachte, dass wir die zwei unbekannten Konstanten \(C_1\) und \(C_2\) der unbestimmten Integrale einfach in einer Konstante \(C\) zusammengefasst haben.
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