Funktionen enthalten oft einen konstanten Faktor. Wir können die Funktion \(f\) schreiben als Produkt \(f(x)=c \cdot f_1(x)\). Die Ableitung konzentriert sich nur auf die Teilfunktion \(f_1\). Den Faktor können wir tatsächlich ausklammern.
\[ f(x)=c \cdot f_1(x) \]
\[ f(x+\Delta x)=c \cdot f_1(x+\Delta x) \]
Damit erhalten wir den Differentialquotienten:
\[ \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \Big(\frac{c \cdot f_1(x+\Delta x)-c \cdot f_1(x)}{\Delta x}\Big) \]
Wir klammern jetzt den Faktor \(c\) aus. Wir können ihn sogar aus dem Limes herausnehmen, denn er ist ja konstant und damit völlig unabhängig von \(\Delta x\):
\[ \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \Big(c \cdot \frac{f_1(x+\Delta x)-f_1(x)}{\Delta x}\Big) \]
\[ = c \cdot \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \Big(\frac{f_1(x+\Delta x)-f_1(x)}{\Delta x}\Big) \]
Der Limes entspricht der Ableitung von \(f_1\) und wir erhalten genau das, was die Faktorregel besagt:
\[ \frac{d}{dx}\Big(c\cdot f_1(x)\Big) = c \cdot \Big(\frac{d}{dx} f_1(x) \Big) \]
Faktorregel: Die Ableitung einer Funktion \(f(x)=c \cdot f_1(x)\), die einen konstanten Faktor \(c\) enthält, ist der Faktor mal die Ableitung der Teilfunktion \(f_1\):
\[ \frac{d}{dx}f(x) = \frac{d}{dx}\Big(c\cdot f_1(x)\Big) \]
\[ = c \cdot \Big(\frac{d}{dx} f_1(x) \Big) \]
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