Funktionen enthalten oft einen konstanten Faktor. Wir können die Funktion $f$ schreiben als Produkt $f(x)=c \cdot f_1(x)$. Die Ableitung konzentriert sich nur auf die Teilfunktion $f_1$. Den Faktor können wir tatsächlich ausklammern. 

\[ f(x)=c \cdot f_1(x) \]

\[ f(x+\Delta x)=c \cdot f_1(x+\Delta x) \]

Damit erhalten wir den Differentialquotienten:

\[ \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \Big(\frac{c \cdot f_1(x+\Delta x)-c \cdot f_1(x)}{\Delta x}\Big) \]

Wir klammern jetzt den Faktor $c$ aus. Wir können ihn sogar aus dem Limes herausnehmen, denn er ist ja konstant und damit völlig unabhängig von $\Delta x$:

\[ \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \Big(c \cdot \frac{f_1(x+\Delta x)-f_1(x)}{\Delta x}\Big) \]

\[ = c \cdot \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \Big(\frac{f_1(x+\Delta x)-f_1(x)}{\Delta x}\Big) \]

Der Limes entspricht der Ableitung von $f_1$ und wir erhalten genau das, was die Faktorregel besagt:

\[ \frac{d}{dx}\Big(c\cdot f_1(x)\Big) = c \cdot \Big(\frac{d}{dx} f_1(x) \Big) \]

Faktorregel: Die Ableitung einer Funktion $f(x)=c \cdot f_1(x)$, die einen konstanten Faktor $c$ enthält, ist der Faktor mal die Ableitung der Teilfunktion $f_1$:

\[ \frac{d}{dx}f(x) = \frac{d}{dx}\Big(c\cdot f_1(x)\Big) \]

\[ = c \cdot \Big(\frac{d}{dx} f_1(x) \Big) \]