Potenzielle Energie (Lageenergie)

Die potenzielle Energie bzw. potentielle Energie (mit “t”) wird oft als Lageenergie vereinfacht. Um sie besser zu verstehen, müssen Beispiele von Kraftfeldern betrachtet werden. Nur so können wir diese sehr fundamentale Energieform der Physik auf andere Kräfte, wie die Federkraft oder die Coulombkraft verallgemeinern.

Das hilft uns dann auch die Lageenergie aufgrund der Gravitationskraft besser zu verstehen und anzuwenden.

Deshalb werden wir hier viel Gewicht auf das Grundkonzept der potenziellen Energie legen.

Potentielle Energie Definition

Was ist potentielle Energie?

Fangen wir an mit einer etwas theoretisch wirkenden Antwort auf die Frage:

Gleich wird es klar!

Ein Apfel, der am Baum auf einer Höhe von 2 Metern über Boden hängt, ist im Gravitationsfeld der Erde und diese Gravitationskraft (Gewichtskraft des Apfels) würden gerne den Apfel herunterfallen lassen.

Im Fall des Apfels wirkt eine Gegenkraft, die ihn am Baum festhält. Der Apfel behält seine potentielle Energie, solange er dort festgemacht ist. Die Energie ist in ihm gespeichert.

Sobald die Gegenkraft verschwindet, wirkt alleine die Gravitationskraft bzw. Gewichtskraft am Apfel und er fällt gemäss Newtons Zweitem Gesetz vom Baum.

Dabei verliert er an Höhe und damit auch seine potentielle Energie. Er wird beschleunigt und wandelt die potentielle Energie in kinetische Energie (Bewegungsenergie) um.

Ist der Apfel einmal am Boden angekommen, hat er keine potentielle Energie mehr.

Hier ein anderes Beispiel für die potenzielle Energie oder Lageenergie:
Unmengen von Wasser sind auf einer grossen Höhe im Stausee gespeichert.

Die Gewichtskraft zieht am Wasser nach unten, doch das Wasser wird vom Stausee zurückgehalten.

In der Nacht und wenn allgemein zu viel elektrischer Strom im Stromnetz vorhanden ist, wird zusätzliches Wasser vom Tal wieder nach oben gepumpt.

Die Hubarbeit, die da geleistet wird, braucht sehr viel Strom. Doch die Energie wird in Form von potenzieller Energie gespeichert.

Beim Herablassen des Wassers kann diese potenzielle Energie bei erhöhtem Strom-Bedarf wieder zurückgewonnen werden.

Die Wasserkraftwerke, die auf diese Weise mal Strom brauchen, Energie speichern und dann wieder Strom produzieren, heissen Pumpspeicherkraftwerke.

Wir kommen gleich zur richtigen Feder, aber hier das Bild, das du dir dabei vorstellen kannst: Das Anheben des Apfels geht nur, wenn wir Hubarbeit leisten und dabei diese unsichtbare Feder etwas dehnen.

Die Arbeit, die wir verrichten, ist dann als potenzielle Energie im Apfel gespeichert.

Ein Apfel ist zum Glück nicht schwer, d.h. in diesem Fall ist die unsichtbare Feder relativ weich und lässt sich gut “dehnen”.

Wir können den Apfel wieder auf 2 Meter Höhe bringen, an die Stelle, wo er am Baum befestigt war. Auf diese Weise haben wir die “Feder” um 2 Meter gedehnt und dem Apfel wieder seine potentielle Energie zurück gegeben.

Potentielle Energie Feder

In der Physik reden wir oft von Federn und meinen damit metallische Federn. Die sind ja nicht besonders interessant. Warum besprechen wir sie aber immer wieder?

Sie stehen stellvertretend für jede Art von Material. Selbst eine Brücke aus armiertem Beton ist elastisch und verhält sich wie eine sehr starke Feder!

Egal, ob Brücke, Gummiband oder Metallfeder: Im ungespannten Zustand ist die potentielle Energie der Feder null. Dehnen wir die Feder, so nimmt die potentielle Energie zu.

Beachte aber, dass die Federkraft dem Hook’schen Gesetz folgt, und die Gravitationskraft dem Gravitationsgesetz. Die beiden Kräfte nehmen mit zunehmendem Abstand (Dehnung) unterschiedlich stark zu, weshalb die potentielle Energie jeweils anders berechnet werden muss.

Potentielle Energie Elektron

Eine andere unsichtbare Feder ist die Kraft, die zwischen zwei elektrischen Ladungen herrscht, die Coulombkraft.

Am Beispiel eines Aluminiumatoms haben wir hier 3 Valenzelektronen und den Atomkern mit den inneren Elektronen, der als Atomrumpf zusammengefasst wird.

Zwischen den drei negativ geladenen Valenzelektronen und dem positiven Atomrumpf wirkt eine anziehene Coulombkraft.

Es ist die Coulombkraft, die zwischen einem Elektron und seinem Atomkern wirkt. Können wir daraus schliessen, dass auch das Elektron aufgrund dieser Kraft eine potentielle Energie hat?

Tatsächlich ist das so! Die Kraft ist die Coulombkraft und die potentielle Energie des Elektrons ist das Energieniveau des Elektrons im sog. Coulombpotenzial.

Möchte man das Elektron seinem Atomkern entreissen, so muss gegen die anziehende Coulombkraft gearbeitet werden, d.h. Arbeit verrichtet werden. Diese Arbeit speichert das Elektron als zusätzliche potenzielle Energie.

Der Vorgang von einem neutralen Atom zu einem positiv geladenen Ion (Atom, dem ein Elektron fehlt), heisst Ionisation und die dafür benötigte Energie ist die Ionisationsenergie.

Potentielle Energie Beispiele

Beispiele potentielle Energie aufgrund der Lage:

• Ein Regentropfen oder eine Schneeflocke haben beim Verlassen der Wolke potentielle Energie, die sie zum freien Fall beschleunigt
• Wasser(tropfen) in einem Fluss kann seine Energie in einer Wasserturbine für die Stromproduktion abgeben.
• Ein Pumpspeicherkraftwerk nutzt überschüssige elektrische Arbeit für das Pumpen von Wasser in den hochgelegenen Stausee und speichert damit potenzielle Energie.
• Felsen und Steine haben oben auf dem Berg potentielle Energie, die sie beschleunigen könnte (Bergsturz)
• Potentielle Energie schiefe Ebene: Ein Skater kann sich, ohne Anstossen, die schiefe Ebene herunterrollen lassen

Beispiel potentielle Energie aufgrund einer Federkraft:

• Potentielle Energie einer Feder (gespannt oder gestaucht): Die gespannte Feder könnte etwas antreiben
• Potentielle Energie eines Gases, das unter Überdruck steht: Das Gas kann bei seiner Expansion andere Objekte beschleunigen (z.B. Explosion)

Beispiel für potentielle Energie aufgrund der Coulombkraft:

• Potentielle Energie einer Ladung gegenüber einer anderen Ladung

Potentielle Energie Formel

Um die potentielle Energie von anderen Energieformen zu unterscheiden, schreiben wir “Epot” statt nur “E”. Mit den folgenden Formeln können wir die potentielle Energie berechnen, je nach Fall:

Potenzielle Energie Formel (Formel für Lageenergie):

\[ E_{\text{pot}} = mgh \]

Beachte, dass diese Formel nur in der von Menschen üblicherweise eingenommene Nähe zur Erdoberfläche gilt, d.h. von der Erdoberfläche bis zu einer üblichen Flughöhe. In dieser “Schicht” gilt die Erdbeschleunigung \(g=9.81\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}\).

Ausserhalb, d.h. für grössere Flughöhen oder für theoretisch tiefere Orte, muss statt der Gewichtskraft \(F_g=mg\) die Gravitationskraft \(F_G=G\cdot\frac{Mm}{r^2}\) verwendet werden.

Potenzielle Energie Formel für eine Feder mit Federkonstante \(k\):

\[ E_{\text{pot}} = \frac{1}{2} k \Delta x^2 \]

Herleitung der potenziellen Energie (Lageenergie)

Eine Tasche mit der Masse \(m\) ist im Zustand 0 am Boden, der selber auf der Höhe \(h_0\) ist. Heben wir die Tasche auf die Höhe \(h_1\) an, so verrichten wir Hubarbeit an ihr.

Wir wissen, dass Arbeit verrichten das Übertragen von Energie ist, d.h. die Tasche kriegt potenzielle Energie: Am Anfang hat sie die Energiemenge \(E_{\text{pot},0}\) und danach die Energiemenge \(E_{\text{pot},1}\). Die Menge, die sie gekriegt hat, ist somit die Differenz zwischen nachher und vorher:

\[ W_{0 \rightarrow 1} = \Delta E = E_{\text{pot},1} – E_{\text{pot},0} \]

Wir erinnern uns auch, dass die physikalische Arbeit die Wirkung von Kraft über eine Wegstrecke ist: “Kraft mal Weg”:

\[ W=F \cdot \Delta s \]

In unserem Fall ist die Wegstrecke \(\Delta s = h_1 – h_0\) die Differenz der beiden Höhen und die Kraft \(F\), die wirken muss, ist gleich der Gewichtskraft der Tasche: \(F=F_g = mg\)

\[ W_{0 \rightarrow 1} = mg \cdot (h_1 – h_0) \]

Ausmultipliziert, erhalten wir

\[ W_{0 \rightarrow 1} = mgh_1 – mgh_0 \]

Nehmen wir nochmals die Gleichung von oben und vergleichen sie mit der eben erhaltenen Gleichung:

\[ W_{0 \rightarrow 1} = E_{\text{pot},1} – E_{\text{pot},0} \]

\[ W_{0 \rightarrow 1}= mgh_1 – mgh_0 \]

Wir erkennen, dass für den Zustand 0 bzw. 1 allgemein gilt:

\[ E_{pot} = m g h \]

Beachte, dass die Höhe \(h\) relativ zu einem willkürlich gewählten Referenzsystem gemessen wird. Meistens wählen wir die Höhe null \(h=0\) für den Erdboden.

Damit sind auch “negative” Höhen \(h\) möglich, nämlich wenn wir unterhalb dieses Erdbodens sind, z.B. im Kellergeschoss. Wenn wir eine Masse auf eine Höhe unterhalb des Erdbodens absenken (z.B. ein Steinchen in einen Brunnen werfen), nimmt dieser Körper eine negative potenzielle Energie an.

Potentielle Energie in kinetische Energie umwandeln

Mit Gegenkraft ist der Apfel im Kräftegleichgewicht und behält, gemäss Newton 1 seine Geschwindigkeit, die null ist.

Fällt die Gegenkraft weg, so dass sich das System bewegen kann, wird die potenzielle Energie frei. Aufgrund der Energieerhaltung verschwindet sie nicht, sondern wird in eine andere Form umgewandelt.

Im Grunde genommen gibt es neben der potenziellen Energie nur noch die kinetische Energie (Bewegungsenergie).

Wenn ein Objekt potenzielle Energie hat aufgrund seiner Lage, so fällt, rollt oder gleitet dieses Objekt herunter und wandelt dabei seine potenzielle Energie in kinetische Energie um.

Beispiele potentielle Energie in kinetische Energie umwandeln:

• Regentropfen, Schneeflocken, Hagelkorn etc. fallen im freien Fall herunter
• Felsen, Geröll, Steine etc. fallen die schiefe Ebene (Hang) herunter
• Fahrradfahrer, Skater etc. lassen sich die schiefe Ebene (Hang bzw. Strasse) herunterrollen
• Eine gespannte Feder spickt eine Kugel weg
• Die Explosion des Schiesspulvers schiesst die Kugel weg
• Nach der Kernspaltung stossen sich die beiden positiven Atomkerne von einander weg (Atomkraft)