Arbeit (Physik)

Unter Arbeit verstehen wir in der Physik die Übergabe von Energie von einem System an ein anderes. Bei der mechanischen Arbeit erreichen wir das durch eine Kraft, die über eine Wegstrecke wirkt, wie im nachfolgenden Bild: Das Mädchen lässt die Kraft \(\vec{F}\) wirken und hebt mit ihr die Kiste auf die Höhe \(\overrightarrow{\Delta s}\) auf.

Arbeit (Physik) Definition

Physik Arbeit Definition: \(W\) (engl. “work”)

Physik Arbeit Einheit: \(\text{J}\) (Joule, übliche Einheit der Energie)

Abgrenzung physikalische Arbeit und Energie

Die physikalische Grösse Arbeit gehört zum Themengebiet der Energie. Energie und Arbeit in Physik sind theoretische Konzepte. Es wird unterschieden zwischen der Übertragung und der Speicherung:

• Arbeit = Übertragung von Energie von einem System auf ein anderes
• Energie = gespeicherte Energie in einem System

Abgesehen von dieser Unterscheidung sind in der Physik Arbeit und Energie äquivalent. Deshalb hat die Arbeit in der Physik die Einheit Joule, gleich wie die Energie.

Für uns ist die wichtigste Form der Arbeit, die mechanische Arbeit. Wirkt eine Kraft über eine bestimmte Weglänge, so wird mechanische Arbeit verrichtet.

Die zweite Form der Arbeit ist die elektrische Arbeit. Diese kommt dann vor, wenn z.B. ein Gerät mit elektrischem Strom versorgt wird. Das Gerät erhält dabei auch die nötige Energie, die oft elektrische Energie genannt wird. Korrekterweise sollte man hier aber von elektrischer Arbeit sprechen, da es sich um eine Energie-Übertragung handelt und nicht um eine Energie-Speicherung.

Elektrische Energie kann nur in Form eines elektrischen Felds in einem Kondensator oder in Form eines magnetischen Felds in einer Spule gespeichert werden. In diesen beiden Fällen ist die Energie wirklich gespeichert. In den meisten Fällen wird die elektrische Energie aber über eine Stromleitung übertragen, d.h. es handelt sich um elektrische Arbeit.

Mechanische Arbeit (Physik): Formeln

Bevor wir uns die mechanische Arbeit Formel anschauen, werden wir die verschiedenen Arten von mechanischer Arbeit aufzählen:

Hubarbeit

Die wohl einfachste Form ist die Hubarbeit. Wie der Name sagt, entsteht sie beim Anheben eines Objekts gegen seine Gewichtskraft. Die Arbeit, die dabei verrichtet werden muss, ist dann als potenzielle Energie (Lageenergie) im Objekt gespeichert, denn das Objekt hat nach dem Heben eine grössere Höhe.

Beachte, dass nicht nur die Kraft wirken muss, sondern dass diese Kraft über eine Wegstrecke \(\Delta s\) wirken muss. Würden wir die Last am Bewegen hindern, indem wir sie am Boden anketten, könnten wir keine Hubarbeit leisten.

Spannarbeit

Dehnen wir eine Feder oder verformen wir ein elastisches Material, geht das nicht ohne Kraft. Die Kraft wirkt zudem über eine kleine Wegstrecke, so dass wir die Voraussetzungen für das Verrichten von Arbeit erfüllt haben.

Die mit der Spannarbeit übertragene Arbeit, wird auch hier in Form von potenzieller Energie in der Feder bzw. dem elastischen Material gespeichert.

Beschleunigungsarbeit

Wenn wir mit einem Golfschläger für kurze Zeit auf den Golfball mit einer Kraft einwirken, wir dieser in erster Linie beschleunigt. Das Gleiche passiert bei jedem Ballsport, wo ein Ball weggeschossen wird. Die Arbeit, die der Schläger am Ball verrichtet, heisst deshalb Beschleunigungsarbeit.

Die vom Ball erhaltene Arbeit wird in Form von kinetischer Energie (Bewegungsenergie) gespeichert.

Auch wenn die Kraft nur kurze Zeit wirkt, so muss sie unbedingt über eine bestimmte Wegstrecke wirken. Falls wir das mit einer Kette verhindern, wird der Ball höchstens ein bisschen verformt, aber er kann keine kinetische Energie aufbauen.

Reibungsarbeit

Die Reibungskraft ist eine bremsende Kraft. Wenn z.B. ein Klotz trotz Reibung verschoben wird, wird die Arbeit, die dabei aufgewendet wird, in Wärme umgewandelt. Die Reibungsfläche wird warm.

Bei allen vorgestellten Formen von mechanischer Arbeit war immer eine Kraft \(F\) und eine Wegstrecke \(\Delta s\) dabei, über welche die Kraft gewirkt hat. Die mechanische Arbeit berechnen wir einfach aus dem Produkt der beiden:

Mechanische Arbeit Physik Formel:

\[ W=\vec{F} \cdot \overrightarrow{\Delta s} \]

Es ist klar, dass wir ohne Kraft, keine physikalische Arbeit haben können. Hier sehen wir aber auch, dass ohne Wegstrecke \(\Delta s\) auch keine Arbeit verrichtet wird.

Das ist nicht gerade intuitiv, denn wir werden müde, wenn wir schwere Taschen tragen müssen, selbst dann, wenn wir sie nur einmal ganz kurz anheben mussten. Das Tragen alleine, macht uns müde.

Aus physikalischer Sicht bleibt aber die potenzielle Energie der Tasche auf der gleichen Höhe konstant, egal ob wir die Tasche tragen oder abstellen.

Wenn die Tasche keine Energie kriegt, dann hat niemand Arbeit verrichtet.

Elektrische Arbeit

Bei der elektrischen Arbeit wird Energie übertragen (weshalb wir hier von Arbeit reden), aber das geschieht nicht mit einer Kraft über eine Wegstrecke, wie in der Mechanik, sondern auf elektrische Art.

Es muss bei elektrischer Spannung ein elektrischer Strom fliessen. Durch diese Kombination wird im elektromagnetischen Feld Energie transportiert (siehe auch Poynting-Vektor).

Arbeit als Skalarprodukt von Kraft und Wegstrecke

Die folgende Formel für die mechanische Arbeit gilt nur, wenn die Kraft und die Wegstrecke genau gleich gerichtet sind:

\[ W=\vec{F} \cdot \overrightarrow{\Delta s} \]

Wenn wir nämlich die Kraft \(\vec{F}\) und die Wegstrecke \(\vec{\Delta x}\) als Vektoren zeichnen, so könnten die beiden auch unterschiedliche Richtungen haben.

In der nachfolgenden Skizze wird ein Wagen gestossen, wobei die Stosskraft leicht zum Boden hin zeigt.

Wenn wir jetzt die Kraft \(\vec{F}\) in zwei Komponenten aufteilen, erhalten wir:

• Parallelkomponente \(\vec{F}_{\parallel}\), die genau gleich gerichtet ist wie \(\vec{\Delta s}\) und somit den vollen Beitrag zur Arbeit leistet
• Senkrechtkomponente \(\vec{F}_{\perp}\), die keinen Beitrag zur Arbeit leistet

Da die Parallelkomponente als einzige einen Beitrag zur Arbeit leistet, können wir schreiben:

\[ W = F_{\parallel} \cdot \Delta s \]

Jetzt können wir die Parallelkomponente \(F_{\parallel}\) mit der Kraft \(F\) ausdrücken:

\[ \frac{F_{\parallel}}{F} = \cos(\alpha) \quad \rightarrow \quad F_{\parallel} = F \cdot \cos(\alpha) \]

Einsetzt erhalten wir:

\[ W = F \cdot \Delta s \cdot \cos(\alpha) \]

Das Gleiche erhalten wir, wenn wir das Skalarprodukt der beiden Vektoren \(\vec{F}\) und \(\overrightarrow{\Delta s}\) bilden:

\[ W = \vec{F} \cdot \overrightarrow{\Delta s} \]

Wenn die beiden Vektoren genau gleich gerichtet sind, ist der Winkel \(\alpha = 0^\circ\) und der Kosinus davon ist 1, d.h. wir haben dann 100%-ige-Arbeitsleistung der Kraft.

Analog bei entgegengesetzter Richtung mit \(\alpha = 180^\circ\) und \(\cos(180^\circ)=-1\). Hier wird das Vorzeichen der Kraft negativ.

• Kraft \(\vec{F}\) und Wegstrecke \(\overrightarrow{\Delta s}\) sind gleich gerichtet (\(\alpha = 0^\circ\)): Arbeit \(W\) ist positiv
• Kraft \(\vec{F}\) und Wegstrecke \(\overrightarrow{\Delta s}\) sind entgegengesetzt (\(\alpha = 180^\circ\)): Arbeit \(W\) ist negativ
• Kraft \(\vec{F}\) und Wegstrecke \(\overrightarrow{\Delta s}\) stehen senkrecht aufeinander (\(\alpha = 90^\circ\)): Arbeit \(W\) ist null

Physikalische Arbeit Beispiele

Eine gespannte Feder hat potenzielle Energie gespeichert. Wird die Feder per Knopfdruck freigegeben, so dass sie sich wieder entspannen kann, ist sie in der Lage ihre gespeicherte Energie abzugeben.

Im folgenden Beispiel dehnt sich die Feder aus und beschleunigt dabei einen Wagen.

Aus Sicht der Feder gibt sie Spannarbeit ab (\(W<0\)).

Aus Sicht des Wagens, kriegt dieser Beschleunigungsarbeit (\(W>0\)).

Beachte, dass beide Sichtweise das Gleiche beschreiben. Das, was die Feder abgibt, ist das, was der Wagen bekommt.

Die Feder wirkt mit einer Federkraft auf den Wagen. Diese Kraft wirkt über eine bestimmte Strecke, auch wenn sie dabei abnimmt.

Aus Sicht des Wagens ist die Federkraft nach rechts gerichtet, gleich gerichtet (\(\alpha = 0^\circ\)) wie die Bewegung selber, so dass wir daraus schliessen können, dass der Wagen damit Arbeit erhält, d.h. positiv ist: \(W>0\)

Wir schauen uns jetzt den umgekehrten Fall an: Der Wagen hat Energie, weil er am Rollen ist (er hat kinetische Energie) und trifft dann auf die noch ungespannte (d.h. energielose) Feder auf.

Beim Auftreffen wird die Federkraft auf den Wagen nach links, also entgegengesetzt (\(\alpha = 180^\circ\)) zur Bewegung. Die Arbeit ist für den Wagen deshalb negativ: \(W<0\)

Der Wagen gibt Arbeit ab an die Feder. An ihm wirkt eine abbremsende Beschleunigungsarbeit und er verrichtet an der Feder eine Spannarbeit, die die Feder zusammenstaucht und in ihr potenzielle Energie speichert.

Im nächsten Beispiel wirkt die Windkraft auf die Rotorblätter einer Windkraftanlage. Die Kraft ist mit der Bewegungsrichtung gleich gerichtet, so dass der Wind verrichtet Arbeit am Rotor und dieser erhält Energie (\(W>0\)).

Umgekehrt ist es beim Flugzeugpropeller im nächsten Bild. Der Motor treibt den Propeller (im Uhrzeigersinn) an. Der Propeller spürt den Luftwiderstand als bremsende Kraft, die der Bewegung entgegengesetzt ist.

Dadurch hat die Arbeit der Luft auf den Propeller ein negatives Vorzeichen (\(W<0\)): Die Luft nimmt dem Propeller Energie weg. Das ist aber auch logisch! Der Propeller beschleunigt ja die Luft. Er verrichtet an der Luft Arbeit.

Schliesslich haben wir das Experiment des Fadenstrahlrohrs, das im Artikel zur Lorentzkraft genauer beschrieben wird.

Ein Strahl von Elektronen wird durch die Lorentzkraft umgelenkt, die genau senkrecht zur Geschwindigkeit der Elektronen gerichtet ist.

Weil der Winkel \(\alpha = 90^\circ\) beträgt, ist die Lorentzkraft nicht imstande, den Elektronen Energie zu geben oder von ihnen weg zu nehmen. Sie kann die Elektronen weder beschleunigen, noch kann sie sie abbremsen.

Ein senkrecht wirkende Kraft kann nur umlenken. Die kinetische Energie bleibt davon aber unberührt.

Arbeit als Fläche im F,s-Diagramm

Arbeit kann in einem F,s-Diagramm als Fläche dargestellt werden. Dies gilt bei allen Arten von Arbeit. Am Beispiel der Spannarbeit können wir diese Eigenschaft gut nachvollziehen.

Die Kraft einer Feder folgt dem Hooke’schen Gesetz. Sie ist eine lineare Funktion der Ausdehnung mit der Federkonstanten \(k\) als Steigung:

\[ F=k \cdot \Delta s \]

Im Diagramm entspricht die Ausdehnung dem Weg \(s\) (gestrichelte Linie).

Wenn wir nur eine sehr kleine Wegstrecke \(\Delta s\) zurücklegen, verändert sich die Kraft auch nur sehr geringfügig. Wir können deshalb näherungsweise annehmen, dass die Kraft \(F_i\) konstant ist. Der kleine Beitrag für die Arbeit \(W_i\) für diese sehr kleine Wegänderung ist demnach:

\[ W_i=F_i \cdot \Delta s_i \]

Dieser Beitrag \(W_i\) entspricht grafisch der Fläche des kleinen Rechtecks (Grundseite \(\Delta s_i\), Höhe \(F_i\)).

Wenn wir die vielen schmalen Rechtecke addieren, erhalten wir die ganze Arbeit \(W\), die für die Dehnung der Feder nötig war:

\[ W = \sum_i F_i \cdot \Delta s_i = \sum_i \Delta W_i \]

Die Summe der Rechtecksflächen ist näherungsweise die Dreiecksfläche unter der gestrichelten Linie, d.h. unterhalb des Kraftverlaufs im F,s-Diagramm.

Wählen wir noch schmälere Rechtecke nehmen, nähern wir uns der Dreiecksfläche besser an. Im Extremfall von unendlich vielen, aber unendlich schmalen Rechtecken, haben wir die perfekte Fläche unter der gestrichelten Linie.

Die Summe wird dann als Integral geschrieben und die kurze Wegstrecke \(\Delta s\) wird infinitesimal: \(ds\):

\[ W = \int F \cdot ds = \int dW \]

Unter dem Kraftverlauf im F,s-Diagramm entspricht die Fläche der geleisteten Arbeit \(W\).

Das gilt übrigens immer, auch wenn der Kraftverlauf nicht linear ist und wir eine anders geformte Fläche erhalten.