Stefan-Boltzmann-Gesetz

Die Herdplatte kriegt 2000 Watt Leistung. Am Anfang wird diese Energie für die Erwärmung der Platte gebraucht. Da die Temperatur noch gering ist, strahlt die Herdplatte fast nichts ab.

Energetisch gesehen, kommt jetzt mehr elektrische Leistung zur Herdplatte, als die Platte an ihre Umgebung abgeben kann. Die thermische Energie kumuliert sich in der Platte und die Temperatur steigt an.

Durch die steigende Temperatur nimmt, gemäss Gesetz von Stefan-Boltzmann, die abgestrahlte Leistung immer mehr zu. Irgendwann ist die abgestrahlte Leistung so gross, dass sie der zugeführten Leistung entspricht. Ab diesem Punkt bleibt die Temperatur konstant.

Um diese Maximaltemperatur zu finden, setzen wir die zugeführte Leistung \(P_{\text{in}}\) und die Abstrahlleistung \(P_{\text{out}}\) gleich:

\[ P_{\text{in}} = P_{\text{out}} \]

\[ P_{\text{in}} \;\;=\;\;\sigma \cdot A \cdot T^4 \]

Für die rechte Seite brauchen wir noch die Fläche \(A\):

\[ A = \pi \cdot \big(\frac{0.21\,\text{m}}{2}\big)^2 = 3.4636 \cdot 10^{-2}\,\text{m}^2 \]

Wir lösen die Gleichung oben nach \(T\) auf:

\[ T^4 = \frac{P_{\text{in}}}{\sigma A} \]

\[ T = \sqrt[4]{\frac{P_{\text{in}}}{\sigma A}} \]

\[ T = \sqrt[4]{\frac{2000\,\text{W}}{5.67 \cdot 10^{−8}\;\frac{\text{W}}{\text{m}^2\text{K}^4} \cdot 3.4636 \cdot 10^{-2}\,\text{m}^2}} \]

\[ \underline{T \approx 1’005\,\text{K} = 731\text{°C}} \]

Die Herdplatte würde sich bis auf diese Temperatur hochheizen. Sobald die Temperatur erreicht ist, stellt sich das Gleichgewicht \( P_{\text{in}} = P_{\text{out}} \) ein.