Wärmeausdehnung

Längenausdehnung von Feststoffen

Aus der Diskussion der Temperatur wissen wir, dass die Teilchenbewegung Platz braucht. Je höher die Temperatur, desto stärker ist die Teilchenbewegung und desto mehr Platz werden die Teilchen beanspruchen, was zu einer Vergrösserung des Volumens führt. Diese Vergrösserung des Volumens ist prozentual sehr klein, d.h. von Auge in der Regel nicht sichtbar. Wenn wir aber einen sehr grossen Festkörper betrachten, dann kann die prozentuale Vergrösserung durchaus Millimeter oder Zentimeter ausmachen, die wir dann feststellen können.

Die relative Längenausdehnung ist die absolute Verlängerung \(\Delta l\) pro ursprüngliche Länge \(l_0\):

\[ \frac{\Delta l}{l_0} \]

Wenn wir z.B. eine Metallstange von \(l_0=1\;\text{m}\) Länge anschauen, dann wird sie sich bei einer bestimmten Temperaturerhöhung verlängern um \(\Delta l\). Nehmen wir eine zweite solche Metallstange, dann wird diese sich natürlich auch um \(\Delta l\) verlängern, wenn wir sie auf die gleiche Temperatur bringen.

Kombinieren wir die beiden Stangen zu einer Stange von \(2l_0 = 2\;\text{m}\), dann summiert sich die absolute Längenänderung zu \(2 \Delta l\). Die relative Längenänderung ist aber immer noch die Gleiche, auch wenn die absolute Verlängerung jetzt natürlich doppelt so gross ist:

\[ \frac{\Delta l}{l_0} = \frac{2\Delta l}{2l_0} \]

Die relative Verlängerung ist abhängig von der Temperaturdifferenz \(\Delta T\) und vom Material. Unterschiedliche Materialien reagieren unterschiedlich auf eine Erhöhung der Temperatur. Um dies zu berücksichtigen, kann der sog. Längenausdehnungskoeffizient \(\alpha\) als Materialkonstante aus Tabellen gezogen werden. Die relative Längenänderung wird dann mit folgender Gleichung berechnet:

\[ \frac{\Delta l}{l_0} = \alpha \cdot \Delta T \]

Bimetalle sind Metallstreifen aus zwei unterschiedlichen Metallen. Das eine Metall dehnt sich stärker aus, als das andere Metall. Wenn ein Bimetallstreifen erwärmt (oder abgekühlt) wird, entsteht durch die unterschiedliche Ausdehnung der beiden Metalle ein Ungleichgewicht und der Streifen krümmt sich. Sobald er wieder zur ursprünglichen Temperatur zurückkehrt, wird er wieder gerade.

Volumenausdehnung

Bei langen Strukturen wirkt sich die Ausdehnung durch die stärkere Teilchenbewegung in der Länge aus. Grundsätzlich dehnt sich eine Metallstange natürlich auch in ihrer Breite etwas aus. Das es aber die gleiche relative Längenausdehnung \(\frac{\Delta l}{l_0}\) ist, ist die absolute Längenänderung \(\Delta l\) unbedeutend klein. In anderen Worten: Eine Stahlbrücke hat in allen Richtungen die gleiche relative Ausdehnung. In ihrer Länge entstehen absolute Längenänderungen in der Grössenordnung von Zentimetern und diese müssen berücksichtigt werden. In ihrer Breite oder Höhe sind die Längenänderungen so klein, dass sie oft ignoriert werden können. Ausserdem ist die Brücke in der Breite und Höhe nicht gleich “eingespannt” wie in der Länge.

Was ich damit sagen will: Das grundsätzliche Phänomen der Wärmeausdehnung ist eigentlich immer eine Volumenausdehnung. Nur manifestiert sie sich öfters bei langen Strukturen mit der Längenausdehnung.

Bei der Besprechung der Funktionsweise eines Flüssigkeitsthermometers haben wir gesehen, dass die gefärbte Flüssigkeit sich mit höherer Temperatur ausdehnt. Im Flüssigkeitsthermometer hat sie nur die Möglichkeit über die dünne Glasröhre, womit die Flüssigkeitssäule entsteht, die uns die Temperatur auf einer Skala angibt.

Die relative Volumenänderung \(\frac{\Delta V}{V_0}\) ist wieder das Verhältnis der absoluten Volumenänderung \(\Delta V\) zum ursprünglichen Volumen \(V_0\). Gleich wie bei der Längenänderung, wird die Volumenänderung mit einer Gleichung berechnet, die die Temperaturdifferenz \(\Delta T\) und eine Materialgrösse beinhaltet, den Volumenausdehnungskoeffizienten \(\gamma\):

\[ \frac{\Delta V}{V_0} = \gamma \cdot \Delta T \]

Zusammenhang zwischen Volumen- und Längenausdehnung

Die neue Länge \(l_1\) durch eine Erwärmung erhalten wir, indem wir die absolute Längenänderung \(\Delta l\) zur ursprünglichen Länge \(l_0\) addieren. Wir setzen für \(\Delta l\) den Ausdruck aus der Längenausdehnung ein und klammern schliesslich \(l_0\) aus:

\[ l_1 = l_0 + \Delta l = l_0 + l_0 \alpha \Delta T = l_0 \cdot \big( 1 + \alpha \Delta T \big) \]

Die Volumenausdehnung kann nun aufgrund der Längenausdehnung berechnet werden. Das Volumen eines Quaders ist die dritte Potenz seiner Längen. Wir setzen jetzt die Längen \(l_1\) ein und multiplizieren aus:

\[ V_0 = l_0^3 \quad \rightarrow \quad V_1 = l_1^3 \]

\[ V_1 = l_1^3 = \big( l_0 \cdot ( 1 + \alpha \Delta T ) \big)^3 = l_0^3 \cdot \big( 1 + \alpha \Delta T \big)^3 \]

\[ = V_0 \cdot \Big( 1 + 3(\alpha \Delta T) + 3(\alpha \Delta T)^2 + (\alpha \Delta T)^3 \Big) \]

Wir dividieren \(V_1\) durch \(V_0\) und erhalten:

\[ \require{cancel} \frac{V_1}{V_0} = 1 + 3(\alpha \Delta T) + \cancel{3(\alpha \Delta T)^2} + \cancel{(\alpha \Delta T)^3} \]

Die zwei letzten Summanden fallen weg, weil der Längenausdehnungskoeffizient \(\alpha\) eine sehr kleine Zahl ist. Wenn wir diese sehr kleine Zahl quadrieren oder in die dritte Potenz bringen, wird die Zahl noch viel kleiner, d.h. \(\alpha^2 \rightarrow 0\) und \(\alpha^3 \rightarrow 0\) und der betroffene Summand wird vernachlässigbar klein. Somit bliebt uns ein vereinfachter Ausdruck:

\[ \frac{V_1}{V_0} \approx 1 + 3(\alpha \Delta T) \]

Jetzt multiplizieren wir wieder mit \(V_0\) und ersetzen \(V_1 = V_0 + \Delta V\):

\[ V_1 = V_0 + \Delta V \approx V_0 + 3V_0(\alpha \Delta T) \]

\[ \Delta V \approx 3V_0(\alpha \Delta T) \]

Schliesslich erhalten wir einen Ausdruck für die relative Volumenänderung, den wir mit dem Ausdruck mit dem Volumenausdehnungskoeffizienten \(\gamma\) vergleichen:

\[ \frac{\Delta V}{V_0} \approx 3(\alpha \Delta T) \approx \gamma \Delta T \]

Daraus folgt der Zusammenhang zwischen \(\gamma\) und \(\alpha\):

\[ \gamma \approx 3\alpha \]

Wenn wir also den Volumenausdehnungskoeffizienten \(\gamma\) nicht haben, können wir ihn aus dem Längenausdehnungskoeffizienten \(\alpha\) bestimmen bzw. umgekehrt. Wenn experimentell der eine Koeffizient einfacher zu bestimmen ist als der andere, kann so eine Messung beide Koeffizienten liefern.