Lichtbrechung

Die Lichtbrechung bzw. die Brechung des Lichts (auch Refraktion genannt) ist ein Phänomen, das auftritt, wenn eine Welle am Übergang in ein anderes Medium ihre Wellengeschwindigkeit ändert.

Da sich Licht wie eine Welle verhält, ändert sich die Ausbreitungsgeschwindigkeit des Lichts z.B. beim Übergang von Luft zu Wasser oder umgekehrt. Brechung kommt bei allen Arten von Wellen vor: Licht, Schallwellen, Wasserwellen, Erdbebenwellen etc.

Die Lichtbrechung ist die Grundlage für Linsen, mit welchen Lichtstrahlen gezielt gesammelt oder gestreut werden können.

Lichtbrechung an der Grenzfläche

Im Bild oben sehen wir, wie der Lichtstrahl beim Eintreffen ins Glas einen charakteristischen “Knick” macht und seine Richtung ändert.

Der Einfallswinkel (zum Lot) ist in der Luft grösser als der entsprechende Winkel im Glas. Dieser “Knick” ist eine Folge des Fermat’schen Prinzips. Gemäss diesem Gesetz wählt das Licht im Fall der Brechung den Weg mit minimaler Laufzeit.

Mit Hilfe der Brechungsindizes wird die Wellengeschwindigkeit im Medium berechnet: Je grösser der Brechungsindex, desto langsamer ist das Licht im entsprechenden Medium.

Brechungsgesetz

Das Brechungsgesetz nach Snellius beschreibt den Einfalls- und Brechungswinkel im jeweiligen Medium in Abhängigkeit der Brechungsindizes \(n_1\) (Medium 1) und \(n_2\) (Medium 2):

\[ \frac{\sin(\alpha_1)}{\sin(\alpha_2)} = \frac{n_2}{n_1} \]

Beachte, dass das Gesetz für beide Laufrichtungen des Lichts gilt: Der Winkel \(\alpha_1\) ist der Einfalls- oder Brechungswinkel im Medium 1, je nach Laufrichtung.

Je grösser der Unterschied der beiden Brechungsindizes, desto stärker ist der “Knick”. Der langsamere Lichtstrahl nimmt gegenüber der Grenzfläche einen steileren Winkel ein als der schnellere Lichtstrahl.

Senkrecht einfallende Lichtstrahlen brechen nicht, da Einfalls- und Brechungswinkel beide \(\alpha_1\) = \(\alpha_2\) = 0 ° betragen.

Im Extremfall kann der grössere Winkel im Medium mit kleinerem Brechungsindex 90° erreichen. In diesem Fall kann der Lichtstrahl nicht mehr aus dem optisch dichteren Medium austreten und es tritt Totalreflexion auf.

Herleitung

Licht, das im Medium 1 auf eine Grenzfläche trifft, verhält sich wie eine Wellenfront mit der Wellenlänge \(\lambda_1\). Die Wellenfront trifft unter dem allgemeinen Einfallswinkel \(\alpha_1\) ein.

Da der Brechungsindex von Medium 2 grösser ist, als derjenige von Medium 1 (\(n_2 > n_1\)), ist die Welle im Medium 2 langsamer. Die regelmässig auf die Grenzfläche auftreffenden Wellenberge und -täler pflanzen sich im anderen Medium fort.

Durch die kleinere Wellengeschwindigkeit sind die Wellenberge und -täler aber näher zusammengerückt: Die Wellenlänge im Medium 2 ist kürzer als im Medium 1 (\(\lambda_2 < \lambda_1\)).

Betrachte nun die beiden rechtwinkligen Dreiecke in der Grafik rechts. Das blaue Dreieck hat eine Hypothenuse \(h\) und eine Gegenkathete mit der Länge von vier Wellenlängen \(4 \lambda_1\). Für den Einfallswinkel \(\alpha_1\) gilt deshalb:

\[ \sin(\alpha_1) = \frac{4 \lambda_1}{h} \]

Da der erste Strahl von links genau vier Wellenlängen früher auf die Grenzfläche auftrifft als der fünfte Strahl, ist er im Medium 2 auch schon vier Wellenlängen voraus, wenn der fünfte Strahl erst beginnt.

Die Gegenkathete im roten Dreieck beträgt ebenfalls vier Wellenlängen \(4 \lambda_2\) und es gilt analog: 

\[ \sin(\alpha_2) = \frac{4 \lambda_2}{h} \]

Lösen wir die beiden Ausdrücke nach \(h\) auf, erhalten wir:

\[ h = \frac{4 \lambda_1}{\sin(\alpha_1)} = \frac{4 \lambda_2}{\sin(\alpha_2)} \]

Wir wissen, dass die Lichtgeschwindigkeit \(u_1\) im Medium 1 der Lichtgeschwindigkeit im Vakuum entspricht, die um den Faktor des Brechungsindex’ \(n_1\) verkleinert ist:

\[ u_1 = \frac{c}{n_1} \]

Ab dem Zeitpunkt, in welchem der erste Strahl von links auf die Grenzfläche trifft, verstreicht eine gewisse Zeit, bis auch der fünfte Strahl die Grenzfläche erreicht. Wir geben vor, diese Zeit zu kennen und schreiben für sie einfach \(\Delta t\).

Da die Welle in der Zeit \(\Delta t\) genau vier Wellenlängen \(4 \lambda_1\) kommt, können wir für die Wellengeschwindigkeit schreiben:

\[ u_1 = \frac{4 \lambda_1}{\Delta t} \]

Wir setzen beide Ausdrücke für die Wellengeschwindigkeit \(u_1\) gleich:

\[ \frac{c}{n_1} = \frac{4 \lambda_1}{\Delta t} \]

Nun können wir die obige Gleichung nach \(4 \lambda_1\) auflösen. Das Gleiche tun wir analog für das Medium 2. Wir erhalten somit:

\[ 4 \lambda_1 = \frac{c}{n_1} \cdot \Delta t \qquad \textrm{und} \qquad 4 \lambda_2 = \frac{c}{n_2} \cdot \Delta t \]

Eingesetzt in die Gleichung für die Hypothenuse ergibt:

\[ h = \frac{c \cdot \Delta t}{n_1 \cdot \sin(\alpha_1)} = \frac{c \cdot \Delta t}{n_2 \cdot \sin(\alpha_2)} \]

Nun lassen wir \(h\) weg, dividieren die Gleichung durch die Lichtgeschwindigkeit \(c\) und die Zeitperiode \(\Delta t\), so dass sie sich herauskürzen. Dann multiplizieren wir mit \(n_2\) und mit \(sin(\alpha_1)\). Wir erhalten so das Brechungsgesetz:

\[ \frac{\sin(\alpha_1)}{\sin(\alpha_2)} = \frac{n_2}{n_1} \]

Simulation

• OPhysics-Simulation zum Brechungsgesetz