Auflagedruck

Wie berechnet man den Auflagedruck?

Wenn wir zwei Festkörper zusammendrücken, entsteht an ihrer Grenzfläche ein Druck, den wir in diesem Fall Auflagedruck nennen.

Der Auflagedruck \(p\) berechnet sich aus der Kraft \(F\), mit welcher zwei Flächen \(A\) aufeinander drücken:

\[ p = \frac{F}{A} \]

Der Auflagedruck ist so etwas wie die ‘Kraftdichte’, d.h. wie stark die Kraft durch auf einer Fläche verteilt (kleiner Auflagedruck) oder wie stark sie auf eine kleine Fläche ‘aufkonzentriert’ ist (grosser Auflagedruck).

Wir sehen, dass wir einen hohen Auflagedruck erreichen…

• mit einer sehr grossen Kraft
• mit einer sehr kleinen Fläche

Die Wirkung von extrem kleinen Flächen kennen wir beispielsweise von der Messerklinge oder der Nadel einer Spritze. Die Kontaktfläche ist so klein, dass der hohe Auflagedruck das darunter liegende Material beschädigt.

Wenn jemand ins Eis eingebrochen ist, muss der Retter oder die Retterin die Gewichtskraft auf eine möglichst grosse Fläche verteilen, z.B. mit einem Brett. Dadurch wird die Kontaktfläche grösser und damit der Auflagedruck kleiner, so dass das Eis die Belastung hält.

Wenn es aber darum geht, ein Loch ins Eis zu bohren, ist es gerade umgekehrt. Die Spitze des Bohrers hat eine derart kleine Fläche, dass das Eis darunter durch den hohen Auflagedruck leicht aufbricht.

In der Kontinuumsmechanik, d.h. in der Lehre der Belastungen und Deformationen von Materialien, spricht man nicht von Auflagedruck, sondern von der Druckspannung \(\sigma\) im Material:

\[ \sigma = \frac{F}{A} \]

Einheiten des Drucks: ‘Pascal’ und ‘bar’

Die Grundeinheiten der Kraft sind ‘Newton’ und der Fläche ‘Quadratmeter’, somit erhalten wir für den Auflagedruck: \(\text{N}/\text{m}^2\). Für diese ‘Newton pro Quadratmeter’, gibt es auch die Einheit Pascal \((\text{Pa})\) :

\[ [p] = \frac{\text{N}}{\text{m}^2} = \text{Pa} \]

Der Druck von \(1\;\text{Pa}\) ist sehr, sehr klein. Er entsteht z.B. wenn eine Gewichtskraft von 100 Gramm auf einer Fläche von einem ganzen Quadratmeter wirkt. Wir können eine Tafel Schokolade aufschmelzen und sie so dünn verstreichen, dass sie einen ganzen Quadratmeter bedeckt.

Dieser super-schwache Druck, den die Schokolade durch ihr Eigengewicht auf die Fläche überträgt, entspricht einem Pascal.

Wir nutzen deshalb Hectopascal oder Kilopascal :

\[ 1\;\text{hPa} = 10^2\;\text{Pa} = \frac{100\;\text{N}}{1\;\text{m}^2} \]

\[ 1\;\text{kPa} = 10^3\;\text{Pa} = \frac{1000\;\text{N}}{1\;\text{m}^2} \]

In der Technik wird die viel grössere Druckeinheit ‘bar’ verwendet:

\[ 1\;\text{bar} = 10^5\;\text{Pa} \]

Der uns umgebende Luftdruck beträgt ca. 1 bar, d.h. er entspricht dem Auflagedruck einer Gewichtskraft von 100’000 Newton auf einem Quadratmeter verteilt. Wenn wir uns nur eine kleine Fläche von \(1\;\text{cm}^2\) anschauen, also 1/100 von einem Quadratmeter, dann sind es noch 1000 Newton:

\[ 1\,\text{bar} = \frac{10^5\;\text{N}}{1\;\text{m}^2} = \frac{10^3\;\text{N}}{1\;\text{cm}^2} \]

Diese 1000 Newton entsprechen einer Gewichtskraft von 100 Kilogramm!

\[ F_g = m \cdot g = 100\;\text{kg} \cdot 9.81\;\frac{\text{m}}{\text{s}^2} \approx 1000\;\text{N} \]

Der Luftdruck erzeugt also einen Auflagedruck auf unserer Haut, wie wenn 100 kg auf einer Fingerfläche \((A \approx 1\;\text{cm}^2)\) drücken würden! ‍

Warum sind Festkörper ‘hart’ ? 

Wenn wir z.B. mit der flachen Hand gegen die Wand drücken, so entsteht zwischen den beiden Flächen der Auflagedruck. Je stärker wir drücken, desto grösser der Druck. Irgendwie treffen die beiden Materialien aufeinander. Was passiert da genau?

Wir können uns vorstellen, wie die Elektronenwolken des Wandmaterials und die Elektronenwolken unserer Haut auf einander treffen. Sie durchdringen sich auch ein bisschen, denn es sind ja nur “Wolken”.

Warum fühlt sich die Wand aber so ‘hart’ an? Eigentlich ja gar nicht, wie eine Wolke!

Elektronenwolken heissen so, weil sie, wie unsere Wolken am Himmel, gewissermassen aus “nichts” bestehen. Unsere Wolken bestehen zwar aus kleinsten Wassertropfen und dazwischen ist Luft. Wir sehen aber ein grosses, weisses Gebilde. Ein Flugzeug kann aber einfach so durch eine Wolke fliegen, weil es eben Luft mit kleinsten Tröpfchen ist.

Bei Feststoffen ist das auch so. Die Elektronenwolken zeigen nur an, wo sich das Elektron befinden könnte, nicht aber wo es ist. Die ganze Elektronenwolke besteht aus “nichts”, aus Vakuum.

Im Festkörper sind Atome aneinander angereiht und jedes Atom hat seine Elektronenwolken. Wir können uns deshalb eine Feststoffoberfläche ein bisschen wie die Wolkendecke im oberen Bild vorstellen.

Warum spürt unsere Hand einen Widerstand, wenn wir die Wand eigentlich aus einem Haufen von “nichts” besteht?

Unsere Hand ist auch eine “Wolkendecke”. Eigentlich müssten die beiden Wolkendecken (unsere Hand und die Wand) wie zwei Geister ineinander gehen können. Das tun sie aber nicht. Wir spüren einen Widerstand…und wie! Die Wand fühlt sich sogar sehr hart an.

Der Grund liegt in der gegenseitigen Abstossung der Elektronen von unserer Hand und denjenigen der Wand. Je näher sich Elektronen kommen, desto grösser wird die abstossende elektromagnetische Kraft (Coulombkraft).

Die beiden Elektronenwolken der Hand und der Wand prallen deshalb aufeinander auf und wir spüren den Widerstand der Wand.

Alle Festkörper halten wegen der elektromagnetischen Kraft zusammen und bilden so einen Widerstand gegen das Eindringen von anderen Elektronenwolken.

Dank dieser Kraft versinken wir auch nicht im Boden, obwohl die Erde und damit auch unser Boden zum grössten Teil aus Vakuum besteht, einer riesigen Elektronenwolke mit extrem kleinen Atomkernen.

Teilchen, die diese elektromagnetische Kraft nicht spüren (z.B. Neutrinos), fliegen durch unsere Hand oder Wand, wie ein Flugzeug durch eine Wolke!