Punkt und Gerade

Punkt auf der Geraden

Liegt ein Punkt auf einer Geraden oder nicht? Nun, das können wir relativ einfach beantworten. Eine Geradengleichung hat ja die folgende Struktur: “Ein Punkt \(A\) auf der Geraden plus ein Vielfaches (\(\lambda\)) eines Vektors (\(\overrightarrow{AB}\)), der die Richtung der Geraden vorgibt, ergibt einen weiteren Punkt \(P\) auf dieser Geraden. Je nach Faktor erhalten wir einen anderen Punkt \(P\). Das gibt schliesslich alle Punkte auf der Geraden.

\[ \overrightarrow{OP} \;\; = \;\; \overrightarrow{OA} + \lambda \cdot \overrightarrow{AB} \]

Wir möchten jetzt wissen, ob ein ganz bestimmter Punkt \(Q\) auf der Geraden liegt, d.h. ob wir den Ortsvektor von \(Q\) mit der Geradengleichung ausdrücken können:

\[ \overrightarrow{OQ} \;\;=\;\; \overrightarrow{OA} + \lambda_0 \cdot \overrightarrow{AB} \]

Aus der Forderung, dass der Punkt \(Q\) die gleichen \(x-\), \(y-\) und \(z\)-Koordinaten wie ein Punkt auf der Geraden haben muss, folgt die Vektorgleichung:

\[ \overrightarrow{OQ} \;\;\stackrel{!}{=}\;\; \overrightarrow{OA} + \lambda_0 \cdot \overrightarrow{AB} \]

Dabei handelt es sich eigentlich um zwei oder drei Gleichungen (Dimension der Vektoren) und eine Unbekannte, \(\lambda_0\). Dieses Gleichungssystem ist überbestimmt und es gibt zwei mögliche Szenarien:

• Es gibt ein \(\lambda_0\), das mit der Geradengleichung genau zum Punkt \(Q\) führt. Dieser liegt damit auf der Geraden.
• Es gibt kein \(\lambda_0\), das alle drei Gleichungen erfüllt: Der Punkt liegt nicht auf der Geraden.

Abstand zwischen Punkt und Gerade

Angenommen wir haben eine Gerade \(g\), die an einem Punkt \(P\) vorbeiführt. Wie gross ist der Abstand \(d\) zwischen der Gerade \(g\) und \(P\)? Dazu brauchen wir natürlich das Lot auf die Gerade, denn das ist die kürzeste Verbindung vom Punkt zur Gerade.

Zuerst wählen wir einen Punkt \(A\) auf \(g\) und bilden eine Vektordifferenz zwischen dem Ortsvektor \(\overrightarrow{OA}\) zum Punkt \(A\) und dem Ortsvektor \(\overrightarrow{OP}\) zum Punkt \(P\), von welchem aus wir den Abstand zu \(g\) herausfinden möchten. Diese Vektordifferenz entspricht dem grauen Vektor von \(A\) nach \(P\) in der nachfolgenden Zeichnung:

\[ \overrightarrow{AP} = \overrightarrow{OP} – \overrightarrow{OA} \]

Mit Hilfe der Vektorgeometrie können wir jetzt ein Vektorprodukt aufstellen, dessen Betrag der Fläche eines Parallelogramms entspricht. Das (orangene) Parallelgramm der Vektoren \(\overrightarrow{AP}\) und \(\overrightarrow{AB}\) hat die gleiche Fläche, wie das (rote) Rechteck mit Grundseite \(\overrightarrow{AP}\) und Höhe \(d\).

Gemäss dem Prinzip von Cavalieri hat das orangene Parallelogramm die gleiche Fläche \(F\), wie das rote Rechteck:

\[ F = \Big |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AP} \Big| = d \cdot |\overrightarrow{AB}| \]

\(F\) können wir mit dem Vektorprodukt berechnen. Da sie auch dem Produkt von Grundseite mit der Länge \(\overrightarrow{AB}\) und der Höhe \(d\) entspricht, können wir sie nach der gesuchten Grösse \(d\) auflösen:

\[ d = \frac{\Big |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AP} \Big|}{|\overrightarrow{AB}|} \]

Da wir hier die ganze Sache mit allgemeinen Vektoren beschrieben haben, gilt das auch im Raum für dreidimensionale Vektoren. Das ist dann schon sehr stark, wenn wir den Abstand zu einer Geraden im Raum berechnen können und die Mathematik uns automatisch das Lot auf die Gerade findet.

Der Abstand eines Punkts \(P\) von einer Geraden \(g\) lässt sich berechnen mit:

\[ d = \frac{\Big |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AP} \Big|}{\big|\overrightarrow{AB}\big|} \]

Dabei sind der Vektor \(\overrightarrow{AB}\) und der Punkt \(A\) beide auf der Geraden \(g\). Der Vektor \(\overrightarrow{AB}\) wird aus den Ortsvektoren von \(A\) und \(P\) gewonnen:

\[ \overrightarrow{AP} = \overrightarrow{OP} – \overrightarrow{OA} \]