Ebene und Ebene

Wir suchen die Schnittmenge der beiden Ebenen, d.h. diejenigen Punkte, die von beiden Ebenengleichungen gleichzeitig erfüllt werden. Dazu setzen wir die beiden Ebenengleichungen gleich: \[ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda_1 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda_2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} \] \[ \stackrel{!}{=} \;\; \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda_3 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda_4 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \] Nach etwas Umformen erhalten wir ein Gleichungssystem mit den vier Unbekannten \(\lambda_1\), \(\lambda_2\), \(\lambda_3\) und \(\lambda_4\). Die vierte Unbekannte \(\lambda_4\) haben wir auf die rechte Seite genommen, denn eigentlich reichen uns drei Unbekannte für ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen: \[ \begin{cases} \begin{array}{cc} 2 \lambda_1 + \lambda_2 – \lambda_3 \;\; = \;\; 2 \lambda_4 – 1 \\ 4 \lambda_2 + 2 \lambda_3 \;\; = \;\; \lambda_4 + 1 \\  -\lambda_3 \;\; = \;\; 0 \\ \end{array} \end{cases} \] Wir werden die Unbekannte \(\lambda_4\) als Parameter behandeln und nicht mehr als Unbekannte, d.h. wir kennen den Wert von \(\lambda_4\) nicht, müssen ihn aber auch nicht kennen. Es wird die “Stellschraube” sein, die wir für die Gleichung der Geraden brauchen werden. Um dies zu verdeutlichen, taufen wir \(\lambda_4\) in \(s\) um: \[ \begin{cases} \begin{array}{cc} 2 \lambda_1 + \lambda_2 – \lambda_3 \;\; = \;\; 2 s – 1 \\ 4 \lambda_2 + 2 \lambda_3 \;\; = \;\; s + 1 \\ -\lambda_3 \;\; = \;\; 0 \\ \end{array} \end{cases} \] Die erste Lösung ist offensichtlich: \(\underline{\lambda_3=0}\) Aus der zweiten Gleichung erhalten wir: \(\underline{\lambda_2=\frac{1}{4}s+\frac{1}{4}}\) Die Lösung für \(\lambda_1\) erhalten wir, indem wir aus den ersten beiden Gleichungen ein Gleichungssystem bilden und dieses mit dem Gauss’schen Additionsverfahren lösen: \[ \begin{cases} 4 \lambda_2 \;\; = \;\; s + 1 \\ 2 \lambda_1 + \lambda_2 \;\; = \;\; 2s-1 \end{cases} \] \[ \begin{array}{cc} 4 \lambda_2 \;\; = \;\; s + 1 \\ -8 \lambda_1 – 4 \lambda_2 \;\; = \;\; -8s + 4 \\ \hline -8 \lambda_1 \;\; = \;\; -7s + 5 \end{array} \] Das gibt uns die Lösung: \[ \underline{\lambda_1=\frac{7}{8}s-\frac{5}{8}} \] Wir haben jetzt die beiden Ebenengleichungen gleichgesetzt und die Lösungen für die drei Unbekannten \(\lambda_1\), \(\lambda_2\) und \(\lambda_3\) gefunden. Für die Beschreibung der Schnittmenge, können wir jetzt eine der beiden Ebenengleichungen nehmen und unsere Lösungen für die \(\lambda_i\) einsetzen. Am einfachsten ist die Gleichung von \(E_2\), wo wir \(\lambda_3=0\) und \(\lambda_4=s\) einsetzen: \[ \require{cancel} \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + \cancel{0 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}} + s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \] Das ist bereits schon die Parameterform der Schnittgeraden \(g\) beider Ebenen: \[ g \colon \;\; \underline{\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}} \] Rein aus Neugierde schauen wir mal, ob es auch mit der Gleichung von \(E_1\) gehen würde. Hier setzen wir die Lösungen \(\;\lambda_1=\frac{7}{8}s-\frac{5}{8}\;\) und \(\;\lambda_2=\frac{1}{4}s+\frac{1}{4}\;\) ein: \[ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \Big(\frac{7}{8}s-\frac{5}{8}\Big) \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \Big(\frac{1}{4}s+\frac{1}{4}\Big) \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} \] Diese Vektorgleichung kann als drei Gleichungen für die drei Koordinaten \(x\), \(y\) und \(z\) aufgeschrieben werden: \[ \begin{cases} x: \quad 1 + \frac{7}{4} s – \frac{5}{4} + \frac{1}{4} s + \frac{1}{4} \; = \; 2s \\ y: \quad 1 + s + 1 \; = \; s + 2 \\ z: \quad 0 \; = \; 0 \end{cases} \] Damit haben wir eigentlich folgendes erhalten, was wieder der gleichen Geradengleichung entspricht: \[ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \;\; = \;\; \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \]