Innere und äussere Teilung

Innere Teilung

In der obigen Abbildung wird eine gegebene Strecke im Verhältnis \(3:2\) aufgeteilt, d.h. die Strecke \(\overline{AB}\) soll durch den Punkt \(P\) so geteilt werden, dass

\[ \frac{\;\;\overline{AP}\;\;}{\overline{PB}}=\frac{\;3\;}{2} \]

Die Konstruktion ist ähnlich zur einfachen Teilung.

Konstruktion

• Wir zeichnen zwei Hilfsgeraden in einem beliebigen spitzen Winkel und so dass sie parallel sind.
• Wir tragen eine beliebige kleine Teilstrecke \(3\)-fach bzw. \(2\)-fach mit dem Zirkel ab.
• Wir verbinden die beiden Endpunkte und erhalten so den Punkt \(P\), der unsere Strecke im Verhältnis \(3:2\) teilt.

Beispiel

Wie konstruieren Sie 37.5% einer gegebenen Strecke?

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Die gegebene Strecke muss in zwei Stücke von 37.5% und 62.5% aufgeteilt werden, bzw.

\[ \frac{\text{37.5\%}}{\text{62.5\%}} = \frac{\;\;\frac{3}{8}\;\;}{\frac{5}{8}} = \frac{3}{5} \]

Wir teilen die Strecke im Verhältnis \(3:5\). Das linke Teilstück entspricht dann \(\frac{3}{8}\) = 37.5%.

Äussere Teilung

Eine Strecke kann auch geteilt werden, so dass der Punkt der Teilung \(P\) nicht zwischen \(A\) und \(B\), sondern ausserhalb der gegebenen Strecke zu liegen kommt. Wie bei der inneren Teilung, vergleichen wir die beiden Teilstrecken \(\overline{AP}\) und \(\overline{PB}\). Für die äussere Teilung in der obigen Abbildung gilt:

\[ \frac{\;\;\overline{AP}\;\;}{|\overline{PB}|}=\frac{\;\;\overline{AP}\;\;}{|\overline{BP}|}=\frac{\;5\;}{2} \]

Beachten Sie, dass durch die Umkehrung von \(\overline{PB}\) zu \(\overline{BP}\), das Vorzeichen wechselt. Da wir uns hier nicht um das Vorzeichen kümmern möchten, haben wir die Betragsstriche hinzugefügt.

Konstruktion

• Wir zeichnen zwei Hilfsgeraden in einem beliebigen spitzen Winkel und so dass sie parallel sind.
• Wir tragen eine beliebige kleine Teilstrecke \(5\)-fach bzw. \(2\)-fach mit dem Zirkel ab.
• Wir verbinden die beiden Endpunkte und erhalten so eine neue Hilfsgerade, die wir verlängern
• Der Schnittpunkt der neuen Hilfsgeraden mit der Verlängerung der Strecke gibt uns den Punkt \(P\), der unsere Strecke im Verhältnis \(5:2\) teilt.