Eulerscher Polyedersatz

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Das Wichtigste in Kürze

Der Euler’sche Polyedersatz gilt für alle konvexen Polyeder, d.h. für jeden dreidimensionalen Körper, der aus vielen Flächen besteht, die durch nach aussen gerichtete Kanten getrennt sind:

\[ E – K + F = 2 \]

Dabei sind:

    • \(E\) die Anzahl Ecken
    • \(K\) die Anzahl Kanten
    • \(F\) die Anzahl Flächen

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Eulers Polyedersatz geht auf den Schweizer Mathematiker und Physiker Leonhard Euler (1707 – 1783) zurück.

Er gilt für jeden konvexen Polyeder, d.h. für jeden dreidimensionalen Körper, der aus vielen Flächen besteht, die durch nach aussen gerichtete Kanten getrennt sind. Der Polyedersatz besagt:

\[ E – K + F = 2 \]

Dabei sind:

  • \(E\) die Anzahl Ecken
  • \(K\) die Anzahl Kanten
  • \(F\) die Anzahl Flächen

Der Euler’sche Polyedersatz gilt für allgemeine, unregelmässige Polyeder. Natürlich gilt er dann auch für die speziell regelmässigen Polyeder:

Beispiel

Zeige, dass der Euler’sche Polyedersatz für den Würfel gilt

Wir schreiben zuerst die Anzahl Ecken, Kanten und Flächen auf:
  • Ecken: \(E=8\)
  • Kanten: \(K=12\)
  • Flächen: \(F=6\)
Jetzt setzen wir diese Zahlen in den Polyedersatz ein: \[ E – K + F = 8 – 12 + 6 = \underline{\;2\;} \] Es stimmt! Wir erhalten die 2, wie von Euler vorausgesagt!

Beispiel

Zeige, dass der Euler’sche Polyedersatz auch für den Hexaederstumpf gilt:

Der sog. Hexaederstumpf ist ein archimedischer Körper, der seinen Namen davon hat, weil wir dem Hexaeder (normaler “Würfel”) die “scharfen” Ecken abgestumpft haben, so dass an seinen Ecken je eine Dreiecksfläche entstanden ist. Die Seitenflächen des Hexaederstumpfs sind 6 Achtecke, die aus den ursprünglichen quadratischen Seitenflächen des Würfels entstanden sind. Ausserdem haben wir 8 Dreiecke, die aus den abgeschnittenen Ecken entstanden sind. Das macht total \(F=14\) Seitenflächen:
    • 6 Seitenflächen als Achtecke
    • 8 Seitenflächen als Dreiecke
\[ F = 6 + 8 = 14 \] Da die ursprünglichen 8 Würfelecken je mit einem Dreieck ersetzt wurden und jedes Dreieck, drei Ecken hat, beträgt die Anzahl Körperecken jetzt: \[ E = 3 \cdot 8 = 24 \] Die ursprünglichen 12 Kanten haben wir immer noch. Sie sind nur kürzer geworden. In jeder ursprünglichen Ecke (8 Stück) sind durch den Schnitt drei neue Kanten entstanden, d.h. wir haben \(8 cdot 3 = 24\) neue Kanten. Unser neuer Körper hat deshalb neu: \[ K = 12 + 24 = 36 \] Jetzt setzen wir diese Zahlen in Eulers Polyedersatz ein und…tatsächlich! Er ist wieder erfüllt! \[ E – K + F = 24 – 36 + 14 = \underline{\;2\;} \]

Beispiel

Überprüfe den Euler’schen Polyedersatz für den Ikosaederstumpf.

Das Ikosaeder hat 20 gleichseitige Dreiecke als Seitenflächen. An einer Körperecke stossen fünf Dreiecke zusammen. Wenn wir also hier etwas abschneiden, entsteht ein neues Fünfeck. Dreiecke, die an ihren drei Ecken abgeschnitten werden, werden zu Sechsecken. Aus den 20 Dreiecken entstehen deshalb 20 Sechsecke und aus den 12 Körperecken entstehen 12 Fünfecke. Wir haben deshalb: \[ F = 20 + 12 = 32 \] Die ursprüngliche Zahl der Ecken von 12 wurde verfünffacht, da jede Ecke zu einem Fünfeck wurde: \[ E = 5 \cdot 12 = 60 \] Die ursprünglichen 30 Kanten sind geblieben und wurden verkürzt. Zu jeder der 12 Ecken sind fünf Kanten hinzugekommen, d.h. wir haben: \[ K = 30 + 5 \cdot 12 = 90 \] Damit haben wir alles für den Euler’schen Polyedersatz: \[ E – K + F = 60 – 90 + 32 = \underline{\;2\;} \] Stimmt! Auf diese Weise kam der klassische Fussball auf die unverkennbare Kombination von schwarzen Fünfecken und weissen Sechsecken.

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Autor dieses Artikels:

David John Brunner

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