Adiabatische Zustandsänderung

Adiabatische Zustandsänderung

Die adiabatische Zustandsänderung ist dadurch definiert, dass bei ihr keinerlei Wärme ausgetauscht wird:

• Das betrachtete System nimmt keine Wärme auf, und
• das betrachtete System gibt auch keine Wärme ab.

Ein System kann ja Energie in Form von Arbeit \(W\) aufnehmen oder abgeben, oder in Form von Wärme \(Q\). Im Fall einer adiabatischen Zustandsänderung gilt deshalb:

\[ Q = 0 \]

Eine solche Zustandsänderung ist nur theoretisch möglich, da das Fluid sofort Wärme mit seiner Umgebung austauschen kann, insbesondere mit den Wänden seines “Behälters”.

Näherungsweise können aber Zustandsänderungen, die relativ schnell stattfinden, als adiabatisch betrachtet werden. Das Fluid hat nicht genug Zeit um signifikante Mengen von Wärme auszutauschen.

Wenn der Behälter sehr gut wärmeisolierend ist, dann ist die ausgetauschte Wärme vernachlässigbar klein.

Adiabatische Kompression

Bei einer adiabatischen Kompression wird das Fluid komprimiert, was natürlich nur mit einer Zufuhr von Arbeit \(W\) möglich ist, d.h. wenn am Fluid Arbeit verrichtet wird. Deshalb gilt:

\[ W > 0 \]

Da im adiabatischen Fall keine Wärme zu- oder abgeführt wird, muss die innere Energie \(U\) zunehmen und damit auch die Temperatur.

\[ \Delta U = W + \cancel{Q} \quad \rightarrow \quad \Delta U > 0 \;\; (W>0) \]

Adiabatische Kompressionen kommen immer dann vor, wenn ein Fluid relativ schnell komprimiert wird, so dass es kaum noch Wärme austauschen kann.

Solche Zustandsänderungen haben wir in den folgenden Beispielen:

• Schnelles Aufpumpen eines Reifens (Luft im Reifen erwärmt sich)
• Schnelle Verdichtung von Luft in einem Verdichter
• Verdichtung der angesaugten Luft in einem Dieselmotor (Die Luft wird so heiss, dass der eingespritzte Dieseltreibstoff im Kontakt mit ihr verbrennt)

Adiabatische Expansion

Wenn das bereits komprimierte Fluid sich schnell entspannen darf, dann haben wir den Fall der adiabatischen Expansion. Das Fluid verrichtet Arbeit, d.h. es gibt Arbeit ab. Die Abgabe berücksichtigen wir mit einem negativen Vorzeichen:

\[ W < 0 \]

Wenn das System Energie in Form von Arbeit abgibt, aber keine Energie in Form von Wärme aufnimmt, dann muss die innere Energie \(U\) abnehmen:

\[ \Delta U = W + \cancel{Q} \quad \rightarrow \quad \Delta U < 0 \;\; (W<0) \]

Wenn die innere Energie abnimmt, dann muss auch die Temperatur abnehmen.

Das Gas kühlt sich bei der adiabatischen Expansion ab.

Beispiele für adiabatische Expansion sind:

• Der Sprühkopf einer Spraydose wird kühl
• Das Fluid in einer Kältemaschine oder Wärmepumpe wird durch adiabatische Expansion in einem Drosselventil entspannt, so dass es sich plötzlich abkühlt

Adiabate im p,V-Diagramm

Eine adiabatische Kompression verläuft im p,V-Diagramm steiler als eine isothermische Kompression, da nicht nur der Druck zunimmt, sondern mit auch die Temperatur. Der Zustandspunkt geht damit zu einer höheren Isothermen.

Die Zustandspunkte, die zu dieser adiabatischen Kompression gehören, liegen auf der Adiabate. Sie ist ähnlich gekrümmt wie eine Isotherme, nur steiler.

Aus \(\Delta U = W\) folgt für die adiabatische Zustandsänderung:

\[ p_1 \cdot V_1^\kappa = p_2 \cdot V_2^\kappa \]

\[ p_2 = p_1 \cdot \Big(\frac{V_1}{V_2}\Big)^\kappa \]

Für die Herleitung sei auf den Wikipedia-Artikel verweisen.

Der Adiabatenexponent \(\kappa\) ist eine stoffabhängige Grösse, die dem Verhältnis der spezifischen Wärmekapazitäten \(c_p\) und \(c_v\) entspricht. Manchmal wird diese Grösse auch Isentropenexponent genannt.

\[ \kappa = \frac{c_p}{c_v} \]

Die Grösse \(c_p\) ist die molare Wärmekapazität bei konstantem Druck und analog steht \(c_v\) für die molare Wärmekapazität bei konstantem Volumen. Für Luft haben wir einen Adiabatenexponenten von \(\kappa = 1.4\).

Aus der ersten Gleichung (oben) erhalten wir für die Adiabate:

\[ p \cdot V^\kappa = \text{konstant} \]

Leicht umgeformt, erhalten wir:

\[ p(V) = C \cdot \Big(\frac{1}{V}\Big)^{\kappa} \]

Im \(p,V\)-Diagramm wäre das eine Hyperbel-Funktion. Für die isothermische Zustandsänderung hatten wir beim Gesetz von Boyle-Mariotte:

\[ p \cdot V = \text{konstant} \quad \rightarrow \quad p(V) = C \cdot \Big(\frac{1}{V}\Big) \]

Im adiabatischen Fall kommt aber ein Exponent \(\kappa\) hinzu, der grösser als eins ist \((\kappa > 1)\). Die Funktion verläuft wie eine Hyperbel, nur etwas steiler.

Mit der idealen Gasgleichung erhalten wir für die adiabatische Zustandsänderung noch die folgenden Formeln:

\[ T_2 = T_1 \cdot \Big(\frac{V_1}{V_2}\Big)^{\kappa – 1} \]

\[ T_2 = T_1 \cdot \Big(\frac{p_1}{p_2}\Big)^{\frac{1-\kappa}{\kappa}} \]

Aufgabensammlung

Mini-Test

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