Fermat’sches Prinzip

Nach dem Fermat’schen Prinzip bleibt nur diejenige Welle (z.B. Licht) übrig, die sich auf einem extremalen Pfad fortbewegt. Alle anderen Wellen löschen sich aus.

Das Fermat’sche Prinzip ist nach dem französischen Mathematiker Pierre de Fermat benannt. Es besagt, dass Wellen den Weg einnehmen werden, dessen Laufzeit extremal ist. Extremal heisst minimal oder maximal. Grundsätzlich nimmt die Welle alle möglichen Wege ein. Licht, das sich auch wie eine Welle verhält, breitet sich auch im ganzen Raum ist. Das Licht der nicht-extremalen Wege löscht sich jedoch durch destruktive Interferenz wieder aus. Nur Licht der extremalen Wege wird nicht ausgelöscht.

Eine hilfreiche Analogie ist diejenige des Strandwächters: Er beobachtet, dass jemand Hilfe braucht. Was ist der Weg mit minimaler Laufzeit bzw. welcher ist der schnellste Rettungsweg? Nimmt der Strandwächter die direkte Verbindungslinie, so wird er eine längere Strecke im Wasser haben, in welchem er langsamer ist. Er könnte auch eine längere Strecke am Strand rennen und dann senkrecht ins Wasser stechen. Doch in diesem Fall ist der Vorteil vom schnelleren Vorwärtskommen auf dem Sand mit dem viel längeren Weg wieder zunichte gemacht.

Der ideale Kompromiss und damit der schnellste Weg überhaupt ist die ideale Kombination gemäss Brechungsgesetz. Es ist ein bestimmter Winkel auf dem Sand und ein etwas steilerer Winkel im Wasser. Das Brechungsgesetz erlaubt uns diese beiden Winkel zu berechnen, abhängig von der Geschwindigkeit auf Sand bzw. im Wasser.

Der minimalste Weg für das Licht zwischen zwei Punkten ist meistens die direkte, gerade Verbindung. Sie ist extremal und das Licht auf diesem Weg wird deshalb nicht ausgelöscht. Das entspricht unserer Erfahrung. Wir sagen: “Lichtstrahlen sind gerade”.

Wenn aber das Licht von einem Medium in ein anderes Medium wechselt, ist die direkte, gerade Verbindung nicht mehr das Extremum und wird folglich ausgelöscht.

Es gibt einen anderen Weg mit minimalster Laufzeit: Es ist ein gerader Pfad mit einem bestimmten Knick an der Grenzfläche. Dieser charakteristische “Knick” und die damit verbundenen Winkel wird durch das Brechungsgesetz beschrieben.

Aus dem Fermat’schen Prinzip folgt auch das Reflexionsgesetz für Wellen bzw. Licht.