Drehmoment

Drehwirkung einer Kraft

Wir wissen, dass Kräfte die Körper beschleunigen können (Newtons Zweites Gesetz). Die Wirkung der Kraft ist eine Beschleunigung in einer Richtung. Eine Rakete erfährt beim Start eine Beschleunigung nach oben, so dass sie immer schneller nach oben fliegt.

Das Drehmoment \(M\) ist die Drehwirkung einer Kraft auf einen Körper. Es ist übrigens kein Druckfehler: Es heisst wirklich “das” Drehmoment, auch wenn es anfangs etwas komisch tönt.

Die Kraft des Motors wirkt mit einem Drehmoment und dieses bewirkt eine rotative Beschleunigung, d.h. eine Veränderung der Winkelgeschwindigkeit der Kreisbewegung. Das Rad erfährt durch das Drehmoment des Motors eine Zunahme der Drehgeschwindigkeit.

Rechts der obigen Grafik steht \(\stackrel{\cdot}{\omega}\), was der zeitlichen Ableitung der Winkelgeschwindigkeit \(\omega\) entspricht. Die zeitliche Ableitung einer Geschwindigkeit ist die zeitliche Veränderung dieser Grösse, also die Beschleunigung:

\[ \stackrel{\cdot}{\omega} \;\;=\; \frac{d\omega}{dt} \]

Definition

Das Drehmoment ist eine Vektorgrösse: \(\vec{M}\)

Deren Betrag \(|\vec{M}|\) ist das Produkt aus der Kraftbetrag \(F\) und dem senkrechten Abstand \(a\) zur Kraftlinie:

\[ M = F \cdot a \]

Der Abstand wird von einem gewählten Punkt \(A\) aus berechnet. Ab diesem Punkt wird ein Lot auf die Wirkungslinie der Kraft gefällt.

Durch die Multiplikation von Kraft und Abstand erhalten wir die Einheit: \(\;[\,|\vec{M}|\,] = \mathrm{Nm}\)

Beachte, dass die Einheit \(\mathrm{Nm}\) üblicherweise nicht in \(\mathrm{J}\) (Joule) zusammengefasst wird. Die Einheit “Joule” zu verwenden wäre grundsätzlich nicht falsch, aber unüblich.

Als Vektorgrösse hat das Drehmoment nicht nur einen Betrag, sondern auch eine Richtung. Im zweidimensionalen Fall ist das eine Drehrichtung, die sein kann:

• im Uhrzeigersinn
• im Gegenuhrzeigersinn.

Für die Drehrichtung von \(M\) stellen wir uns vor, dass wir im Punkt A sitzen und der Kraftpfeil \(F\) wie eine kleine Eisenbahn auf ihrer Wirkungslinie in der Richtung der Kraft vorbeifährt. Wir schauen dem Zug nach und drehen dabei den Kopf. Diese imaginäre Bewegung gibt uns die Drehrichtung. Hier zeigt die Kraft nach oben und somit würde der “Kopf” zuerst nach unten schauen und dann sich im Gegenuhrzeigersinn drehen, bis er nach oben schaut.

Beispiel

Mit einem Schraubenschlüssel wird eine Mutter angezogen. Die Kraft \(F\) beträgt 100 N und wirkt auf das rechte Ende des Schraubenschlüssels. Wie gross sind die Drehmomente in den folgenden Punkten?

• • \(A\;\) (20 cm Abstand zur Kraftwirkung)
  • \(B\;\) (10 cm Abstand zur Kraftwirkung)
  • \(C\;\) (am Ort der Kraftwirkung)

Lösung

Im Punkt \(A\) haben wir einen senkrechten Abstand zur Wirkungslinie der Kraft \(F\) von 0.2 m. Somit gilt für das Drehmoment: \[ M_A=F \cdot a = 100\,\mathrm{N} \cdot 0.2\,\mathrm{m} = \underline{20\,\mathrm{Nm}}  \] Für den Punkt \(B\) haben wir die gleiche Kraft, jedoch nur den halben Abstand. So erhalten wir: \[ M_B=F \cdot \frac{a}{2} = 100\,\mathrm{N} \cdot 0.1\,\mathrm{m} = \underline{10\,\mathrm{Nm}}  \] Beide Drehmomente wirken im Uhrzeigersinn. Im Punkt \(C\) verschwindet der Abstand zur Wirkungslinie der Kraft, da der Punkt \(C\) direkt auf ihr liegt. Wir haben kein Drehmoment. Das ist auch dann der Fall, wenn der Kraftvektor weit weg ist, der Punkt aber auf der Wirkungslinie der Kraft liegt. \[ \underline{M_C = 0} \] Beachte, dass ein Punkt rechts von der Wirkunglinie ein Drehmoment mit Gegenuhrzeigersinn erzeugt (Punkt \(D\)).

Beispiel

An einem Rennrad wirken verschiedene Kräfte. Der zu betrachtende Punkt \(A\) wurde in diesem Beispiel unter das Hinterrad gesetzt. Gesucht sind:

• • Die für die Drehmomente wesentlichen Abstände
  • Drehrichtungen der Drehmomente

Lösung

Die Kraft \(F_1\) wirkt auf den Sattel. Die Wirkungslinie, die durch \(F_1\) geht, ist eine Vertikale, die rechts vom betrachteten Punkt A in den Boden verläuft. Der Abstand zu A ist in der Zeichnung mit \(a_1\) eingezeichnet. Nun könnten wir das Drehmoment mit \(M_1 = F_1 \cdot a_1\) berechnen. Das Drehmoment \(M_1\) hat die Drehrichtung im Uhrzeigersinn.

Die Kraft \(F_2\) wirkt am Lenker. Ihre Wirkungslinie verläuft von oben links in der Zeichnung, nach unten rechts. Das Lot auf die Wirkungslinie der Kraft hat den Betrag \(a_2\) und schneidet die Wirkungslinie beim Lenker selbst. Obwohl die Kraft \(F_2\) nicht sonderlich gross ist, wird das Drehmoment \(M_2\) aufgrund des grossen Abstands \(a_2\) vermutlich grösser ausfallen, als \(M_1\).

Die Kraft \(F_3\) wirkt direkt auf den Punkt A. Damit ist auch klar, dass der Abstand zur Wirkungslinie \(a_3 = 0\) sein muss und wir deshalb kein Drehmoment \(M_3\) haben.

Am untersten Punkt des Vorderrads wirkt die Kraft \(F_4\) in einem Abstand \(a_4\) zum Punkt A.

Die Kraft \(F_5\) hat eine Wirkungslinie, die durch den Punkt A geht und somit haben wir auch für diese Kraft keinen Abstand \(a_5\) und somit gilt auch: \(M_5=0\).

Die Gewichtskraft \(F_G\) wirkt am Schwerpunkt des Fahrrads. Ihre Wirkungslinie verläuft, wie diejenige von \(F_1\) von oben nach unten, jedoch in einem etwas grösseren Abstand \(a_G\) zum Punkt A.

Drehmoment in drei Dimensionen

Mit Hilfe der Rechte-Hand-Regel können wir die Drehrichtung in eine Pfeilrichtung im Sinne eines Vektors umwandeln. Dazu nehmen wir die rechte Hand und krümmen die Finger leicht in eine Drehrichtung. Der Daumen zeigt uns die Richtung des Vektors, der zur Drehrichtung der übrigen Finger passt.

Wenn der Daumen zu uns zeigt, haben wir Gegenuhrzeigersinn. Wenn der Daumen von uns weg zeigt, ist es Uhrzeigersinn. Drehmomente werden mit einem Doppelpfeil dargestellt (doppelter Strich, innen weiss). 😎

Beispiel

Ergänze die Zeichnung mit den Drehmomenten von Hauptrotor und Heckrotor in den verschiedenen Ansichten.

Lösung

Der Hauptrotor dreht (von oben gesehen) im Uhrzeigersinn.

In der oberen Seitenansicht sehen wir den Heckrotor in Gegenuhrzeigersinn drehen.

Drehmoment als Vektorprodukt

Verwendet man die Definition des Drehmoments mit dem geraden Doppelpfeil, so kann es als Vektor \(\vec{M}\) definiert werden, das einem Vektorprodukt zweier Vektoren entspricht:

\[ \vec{M}=\vec{r} \times \vec{F} \]

Dabei ist der Vektor \(\vec{r}\) der Vektor vom betrachteten Punkt \(A\) bis zu einem beliebigen Punkt auf der Wirkungslinie der Kraft \(\vec{F}\). Der Ort auf der Wirkungslinie ist unwichtig, da für das Vektorprodukt einzig der Abstand vom betrachteten Punkt zur Wirkungslinie entscheidend ist.

Den richtigen Abstand erhält man, wenn man das Lot auf die Wirkungslinie fällt oder wenn man den Ortsvektor \(\vec{r}\) aufteilt in eine Senkrecht-Komponente \(\vec{r_⟂}\) und eine Parallel-Komponente \(\vec{r_∥}\), dann aber nur den Betrag der Senkrecht-Komponente \(\vec{r_⟂}\) nimmt. Die Parallel-Komponente \(\vec{r_∥}\) hat für das Drehmoment keine Bedeutung.

Beachte, dass das Vektorprodukt nicht kommutativ ist, d.h. die Reihenfolge im Produkt nicht vertauscht werden kann, da sonst das Vorzeichen und damit die Richtung umgekehrt wird:

\[ \vec{M} \;=\;\; – \big ( \vec{F} \times \vec{r} \big ) \]

Resultierendes Drehmoment

Auch Drehmomente können als Vektoren addiert werden. Wie bei den Kräften können wir alle Drehmomente zu einem resultierenden Drehmoment \(\vec{M_{res}}\) addieren. Die Summe aller Drehmomente wirkt ebenfalls gleich, wie alle einzelnen Drehmomente zusammen.

\[ \vec{M}_{res} = \sum_i{\vec{M}_i} \]

Bevor wir eine Aussage zu einem System machen können, addieren wir alle Kräfte und Drehmomente zusammen und betrachten die resultierende Kraft \(\vec{F}_{res}\) und die resultierende Drehmomente \(\vec{M}_{res}\).

Haben wir ein verschwindendes resultierendes Drehmoment, so gilt Drehmomentgleichgewicht:

\[ M_{res}=0 \]

Das ist ein wichtiges Stabilitätskriterium der Statik.