Geostationäre Satelliten

Satelliten, die für die Telekommunikation, für Fernsehsignale oder für Wetterdaten eingesetzt werden, sind oft geostationär, d.h. sie befinden sich auf einer Umlaufbahn über dem Äquator in einer ganz bestimmten Höhe, so dass ihre Umlaufperiode \(T\) genau der Periode der Eigenrotation der Erde (1 Tag) entspricht. Der Vorteil liegt dann darin, dass sich diese Satelliten dann immer am gleichen Ort über der Erdoberfläche befinden.

Wir können unsere Richtantellen und Fernsehsatellitenschüsseln fix auf sie ausrichten. Als Wettersatelliten beobachten sie immer den gleichen Teil der Erde und können so die Bewegung der Wolken und damit die Bewegung der Luftmassen aufnehmen.

Wir wissen, dass die Bahngeschwindigkeit im Orbit nicht zu klein sein kann, da das kreisende Objekt sonst abstürzen würde. Zu gross darf sie auch nicht sein, denn dann könnte das Objekt von der Erde weggeschleudert werden. Die Geschwindigkeit muss genau so eingestellt sein, dass die Gravitationskraft genau der Zentripetalkraft entspricht.

Wir setzen deshalb die beiden Kräfte, die Zentripetalkraft \(F_Z\) und die Gravitationskraft \(F_G\) gleich:

\[ \require{cancel} F_G \quad = \quad G \cdot \frac{m_E \cancel{m}}{r^2} \quad = \quad \cancel{m} r \omega^2 \quad = \quad F_Z \]

Wir lösen nach \(r\) auf und erhalten:

\[ r^3 = \frac{G m_E}{\omega^2} \]

Die Winkelgeschwindigkeit \(\omega\) ersetzen wir mit einem Ausdruck der Frequenz \(f\) bzw. der Periode \(T\):

\[ \omega = 2 \pi f = \frac{2 \pi}{T} \]

Wir setzen das oben ein und erhalten:

\[ r^3 = \frac{G m_E T^2}{(2 \pi)^2} \qquad \rightarrow \qquad r = \sqrt[3]{\frac{G m_E T^2}{(2 \pi)^2}} \]

Jetzt können wir alle Werte einsetzen:

\[ r = \sqrt[3]{\frac{6.674\cdot10^{-11}\,\frac{\text{m}^3}{\text{kg}\,\text{s}^2} \;\; \cdot \;\; 5.97 \cdot 10^{24}\,\text{kg} \;\; \cdot \;\; (365.25\cdot24\cdot3600\,\text{s})^2}{(2 \pi)^2}} = 42’240\;\text{km} \]

Das ist der Abstand vom Schwerpunkt der Erde bis zum Satelliten. Wir ziehen deshalb den Radius der Erde \(r_E\) ab und erhalten so die Flughöhe für den geostationären Satelliten:

\[ r = 42’240\;\text{km} – 6’371\;\text{km} \approx \underline{35’870\;\mathrm{km}} \]

Wir erinnern uns an Keplers Drittes Gesetz: Würde der Satellit auf einer geringeren Höhe fliegen, hätte er eine kleinere Umlaufbahn und wäre näher am Gravitationszentrum, d.h. er würde schneller fliegen. Tatsächlich fliegt die ISS auf einer viel geringeren Höhe von rund 400 km und ist auch viel schneller unterwegs: Sie umrundet die Erde in rund 1.5 Stunden statt in 24 Stunden, wie das beim geostationären Satelliten der Fall ist.

Wie wir bei der Besprechung Newtons’ Gedankenexperiment gesehen haben, ist die Geschwindigkeit der Kanonenkugel entscheidend. Um in Umlaufbahn zu kommen (und zu bleiben), braucht es eine hohe Bahngeschwindigkeit von mindestens etwa 7.8 km/s. Ist die Kanonenkugel zu langsam, fällt sie früher oder später auf die Erde herunter. Soll das Gravitationsfeld der Erde ganz verlassen werden, ist eine noch grössere Geschwindigkeit von etwa 11.2 km/s nötig, der sog. Fluchtgeschwindigkeit.