Beschleunigung

Definitionen

Abkürzung: \(a\)

Einheit: \(\large\frac{\text{m}}{\text{s}^2}\)

Beachte, dass die Beschleunigung eine Vektorgrösse ist, d.h. \(a = |\vec{a}|\) ist der Betrag der Beschleunigung.  Hinzu kommt noch die Richtung der Beschleunigung.

Interpretation der Beschleunigung

Eine positive Beschleunigung \(a>0\) bedeutet, dass die Geschwindigkeit mit der Zeit im Betrag zunimmt. In den üblichen Fällen spricht man von “Beschleunigen”. Bei einem Motorrad kann die Beschleunigung beobachtet werden, indem das Motorrad vorne angehoben wird.

Wenn wir die Richtungen der Geschwindigkeit und der Beschleunigung anschauen, die ja beides Vektorgrössen sind, so zeigt bei positiver Beschleunigung der Vektor der Beschleunigung in positiver Richtung, wie die Geschwindigkeit. Da die Beschleunigung die Veränderung der Geschwindigkeit \(\Delta v\) pro Zeitperiode \(\Delta t\) ist, verändert sie die Geschwindigkeit in der Richtung, in welcher sie zeigt. Mit jeder Sekunde kommt ein “Stückchen” Geschwindigkeit hinzu und der Geschwindigkeitspfeil wir immer mehr “aufgebaut”.

Bewegt sich ein Körper ohne Beschleunigung so heisst nicht etwa, dass sich der Körper nicht mehr bewegt, sondern viel eher, dass die Geschwindigkeit konstant bleibt. Da die Beschleunigung die Veränderung der Geschwindigkeit darstellt, ist klar, dass \(a=0\) bedeutet \(v\)= konstant. Im Beispiel eines Motorrads entspricht \(a=0\) dem Fahren mit gleichmässiger Geschwindigkeit.

Körper und Systeme, die in Ruhe sind (z.B. Gebäude, ruhende Gegenstände etc.) haben eine Geschwindigkeit von \(v=0\). Wenn jetzt gleichzeitig \(a=0\) gilt, heisst das, dass der Körper oder das System in Ruhe ist und in Ruhe bleibt.

Wenn die Beschleunigung negativ ist, ist die Veränderung eine Abnahme der Geschwindigkeit. Umgangssprachlich nennen wir das ein Abbremsen. Physikalisch gesehen ist es auch eine Beschleunigung, aber eine negative. In unserem Beispiel des Motorrads, sehen wir bei negativer Beschleunigung ein deutliches Herunterdrücken des Vorderrads.

Der Beschleunigungsvektor zeigt entgegengesetzt zum Geschwindigkeitsvektor. Mit jeder Sekunde ziehen wir deshalb ein bisschen vom Geschwindigkeitsvektor ab, so dass diese im Betrag abnimmt.

Zum Schluss möchte ich einen speziellen Fall ansprechen: Bei der Geschwindigkeit haben wir gesehen, dass es auch negative Geschwindigkeiten gibt. Wenn eine Fahrtrichtung mit dem positiven Vorzeichen definiert wird und somit die umgekehrte Richtung das negative Vorzeichen erhält, ist eine Bewegung mit negativer Geschwindigkeit nichts anderes als ein Zurückfahren.

Wenn wir in diesem Zusammenhang und mit der gleichen Vorzeichen- bzw. Richtungskonvention arbeiten und eine positive Beschleunigung haben, so verkleinern wir den Betrag der negativen Geschwindigkeit: Aus -20 km/h wir irgendwann -10 km/h. Die Veränderung der Geschwindigkeit ist zwar positiv, aber im Betrag hat sie abgenommen. Denke deshalb immer daran, dass das Vorzeichen auch eine Richtung bedeutet. Eine negative Geschwindigkeit und eine positive Beschleunigung haben entgegengesetzte Richtungen und deshalb muss es ein Abbremsen sein, auch wenn \(a>0\).

Beispiel

Ein Auto ändert seine Geschwindigkeit von 0 auf 100 km/h in 5 Sekunden.

Wie viel beträgt seine (mittlere) Beschleunigung?

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Für die Berechnung der (mittleren) Beschleunigung, nehmen wir deren Definition:

\[ \overline{a} = \frac{\Delta v}{\Delta t} \]

Wir brauchen also die Änderung der Geschwindigkeit \(\Delta v\) und die Zeitperiode \(\Delta t\):

\[ \Delta v = 100\;\frac{\text{km}}{\text{h}} – 0\;\frac{\text{km}}{\text{h}} = 100\;\frac{\text{km}}{\text{h}} = \frac{100}{3.6}\;\frac{\text{m}}{\text{s}} = 27.8\;\frac{\text{m}}{\text{s}} \]

\[ \Delta t = 5\;\text{s} \]

Damit kriegen wir:

\[ \overline{a} = \frac{\quad 27.8\;\frac{\text{m}}{\text{s}} \quad}{5\;\text{s}} = \frac{27.8}{5} \cdot \frac{\text{m}}{\text{s}\cdot\text{s}} = 5.6\;\frac{\text{m}}{\text{s}^2} \]

a,t-Diagramm

Die Beschleunigung \(a\) ist die zeitliche Änderung der Geschwindigkeit (\(a=\frac{\Delta v}{\Delta t}\)), analog zur Geschwindigkeit \(v\), die die zeitliche Änderung der Strecke ist (\(v=\frac{\Delta s}{\Delta t}\)). Wir können deshalb ein a,t-Diagramm aufgrund eines v,t-Diagramms konstruieren, indem wir die gleichen Regeln anwenden, wie von einem s,t-Diagramm zu einem v,t-Diagramm:

• Die Steigung im s,t-Diagramm entspricht der Geschwindigkeit \(v\), die wir als Höhe im v,t-Diagramm abtragen
• Die Steigung im v,t-Diagramm entspricht der Beschleunigung \(a\), die wir als Höhe im a,t-Diagramm abtragen

Mit der gleichen Analogie können wir auch folgern: Wenn eine Fläche im v,t-Diagramm einer Strecke entspricht, dann muss eine Fläche im a,t-Diagramm einer mittleren Geschwindigkeit entsprechen.

Das s,t-Diagramm der Bewegung sei gegeben. Wir haben die Bewegung im s,t-Diagramm in drei zeitliche Abschnitte A, B und C aufgeteilt. Im ersten zeitlichen Abschnitt A nimmt die Steigung zu (nach oben gekrümmt). Im zweiten Abschnitt ist sie konstant positiv (gerade). Im dritten Abschnitt nimmt die Steigung wieder ab (nach unten gekrümmt).

Jetzt konstruieren wir das v,t-Diagramm: Im zeitlichen Abschnitt A startet die Geschwindigkeit bei null und nimmt zu. Wir haben also eine Zunahme der Geschwindigkeit von null bis zu einem bestimmten Wert. Im v,t-Diagramm zeichnen wir der Einfachheit halber eine lineare Zunahme der Geschwindigkeit mit der Zeit.

Am Ende des Zeitabschnitts A ist die Geschwindigkeit genau so gross wie im ganzen Zeitabschnitt B, wo sie sich nicht mehr ändert. Die Geschwindigkeit im v,t-Diagramm bleibt deshalb konstant. Schliesslich nimmt die Geschwindigkeit im dritten Zeitabschnitt wieder bis auf null ab.

Nun konstruieren wir das a,t-Diagramm und schauen dazu das v,t-Diagramm an. Wir sehen, dass die zeitliche Änderung der Geschwindigkeit im ganzen Zeitabschnitt A konstant ist. Die Geschwindigkeit nimmt pro Zeit gleichmässig zu. Die Steigung im Abschnitt A ist konstant und positiv. Wir übertragen diesen Wert als konstant positive Beschleunigung in das a,t-Diagramm.

Im mittleren Zeitabschnitt ändert sich die Geschwindigkeit nicht, so dass wir hier keine Beschleunigung haben. Im a,t-Diagramm haben wir deshalb einen Sprung auf null und ein Andauern bei null für den ganzen Zeitabschnitt.

Im dritten Zeitabschnitt C ist die Steigung im v,t-Diagramm negativ. Die Geschwindigkeit nimmt mit konstanter Rate ab. Die Beschleunigung “baut” die Geschwindigkeit ab, d.h. wir haben eine konstant negative Beschleunigung in diesem Zeitabschnitt.

Gleichmässig beschleunigte Bewegung

Die gleichmässig beschleunigte Bewegung ist ein Spezialfall, in welchem die Beschleunigung konstant ist. Wenn wir eine konstante positive Beschleunigung nehmen und im a,t-Diagramm aufzeichnen, so erhalten wir den Verlauf wie folgt:

Wenn wir eine konstante Beschleunigung haben, nimmt die Geschwindigkeit mit einer konstanten Rate pro Zeit zu oder: Die Geschwindigkeit hat eine positive konstante Steigung im v,t-Diagramm. Das v,t-Diagramm zeigt deshalb einen linearen Verlauf.

Wenn die Geschwindigkeit anfänglich null ist, dann aber immer mehr zunimmt, muss der Verlauf im s,t-Diagramm anfänglich horizontal sein und dann mit der Zeit immer steiler verlaufen. Mathematisch gesehen, handelt es sich um eine halbe Parabel, also einem nach oben gekrümmten Verlauf der einer quadratischen Zunahme entspricht.