Kolbendruck (statischer Druck)

Der Kolbendruck entsteht durch die Kraft, die ein Kolben auf eine eingeschlossene Flüssigkeit oder auf ein eingeschlossenes Gas einwirkt. Die Kraft \(F\) wirkt über die Stirnfläche des Kolbens \(A\) und erzeugt damit den Druck \(p\):

\[ p = \frac{F}{A} \]

Der Kolbendruck kommt in sehr vielen Anwendungen vor. Allen voran stehen hydraulische Systeme mit einer eingeschlossenen Flüssigkeit und pneumatische Systeme, bei denen meistens Luft unter Druck steht. Beispiele sind hydraulische Bremsen, hydraulische Pressen, Bagger oder etwa Druckluftbremsen bei der Eisenbahn. Wir finden den Kolbendruck aber auch in der Natur. Erdöl- und Erdgasvorkommen stehen unter Druck, sogar unser Blut wird durch das Herz unter Druck gesetzt.

Druck ist richtungslos

Wir können uns den Kolbendruck am besten für ein Gas vorstellen: Die Gasteilchen fliegen in allen Richtung und prallen gegen die Behälterwände. Diese Kollisionen erzeugen jedes Mal einen kleinen Schlag auf die Wand. Über die Zeit gemittelt, entsteht eine Kraft, die auf die Wand wirkt. So wird jede Wand eine Kraft spüren, ein bisschen so, als würde das Gas ausbrechen wollen.

Wir betrchten nun eine bestimmte Fläche \(A\), die beweglich ist. Es ist die Kolbenfläche. Auf diese Fläche wirkt ebenfalls die Kraft \(F\), die durch die vielen Kollisionen der Gasteilchen entsteht. Die Kraft ist umso grösser, je grösser der Druck \(p\) im Gas oder die Fläche \(A\) ist. Aus der Definition des Drucks erhalten wir:

\[ p = \frac{F}{A} \quad \rightarrow \quad F = p \cdot A \]

Wenn die Fläche beweglich ist, so würde sie aufgrund der Kraft und gemäss Newtons Zweitem Gesetz beschleunigt werden. Es sei denn, es wirkt eine gleich grosse Gegenkraft \(F\), so dass die resultierende Kraft verschwindet. In dem Fall drückt die bewegliche Fläche \(A\) auf das Gas und das Gas drückt dagegen. Beide drücken gleich stark und die Fläche bleibt am Ort.

Wir können die Reihenfolge der Geschichte auch umkehren: Wir drücken mit der Kraft \(F\) auf die Fläche \(A\) und erzeugen so den Druck \(p=\frac{F}{A}\) im eingeschlossenen Gas. Weil die Gasteilchen sich gegenseitig anstossen, verteilt sich der Druck \(p\) im ganzen Gas. Dieser Verteilvorgang ist abhängig von der Schallgeschwindigkeit im Gas. Da die Schallgeschwindigkeit in der Grössenordnung von \(1’000\,\text{km}/\text{h}\) ist, können wir in kleineren Behältern immer davon ausgehen, dass der Druck \(p\) sich sofort überall ausgleicht.

Da der Ursprung des Drucks von den vielen Kollisionen der Gasteilchen herrührt und diese in allen zufälligen Richtungen fliegen, entstehen die Kollisionen in allen Richtungen. Wir können eine Wand in einer beliebigen Richtung aufstellen und sie wird immer die gleiche Anzahl Kollisionen verspüren und damit die gleiche Kraft \(F\), unabhängig von ihrer Ausrichtung. Wir sagen deshalb: Druck ist richtungslos.

Wir müssen an dieser Stelle aber sehr präzise sein: Wenn der Druck \(p\) selber richtungslos ist, so haben die Kollisionen mit einer Wand trotzdem eine Richtung, nämlich diejenige senkrecht zur Wand. Gasteilchen, die parallel zur Wand fliegen, gibt es auch, die kollidieren aber nicht. Gasteilchen, die in einem sehr flachen Winkel auftreffen erzeugen schwache Streifkollisionen. Nur die Gasteilchen, die ziemlich senkrecht auf die Wand auftreffen, tragen wesentlich zur Kraft bei. Damit entsteht durch die Fläche, die eine Richtung hat, immer auch eine Kraft mit einer Richtung.

Die obigen Überlegungen können auch auf eingeschlossene Flüssigkeiten übertragen werden.

Prinzip der Hydraulik

Wird eine Flüssigkeit unter Druck gesetzt, so verteilt sich der richtungslose Druck \(p\) in der ganzen eingeschlossenen Flüssigkeit. Hat die Flüssigkeit irgendwo ein “Fenster”, wo sie ohne Gegenkraft austreten kann, wird es genau an dieser Stelle herausspritzen. Hydraulische Systeme sind deshalb angewiesen, absolut dicht zu sein, sonst verlieren sie ihre Flüssigkeit und damit auch ihren Druck \(p\).

Im weiteren gehen wir aber davon aus, dass das hydraulische System dicht ist. Auf der einen Seite drücken wir mit einem Kolben mit der Fläche \(A_1\) und der Kraft \(F_1\) auf die Flüssigkeit. In der Flüssigkeit entsteht der Kolbendruck \(p\). Auf der anderen Seite erreicht die Flüssigkeit mit dem gleichen Druck \(p\) den anderen Kolben mit der Fläche \(A_2\). Die Flüssigkeit drückt mit der Kraft \(F_2=p \cdot A_2\) auf den zweiten Kolben.

Wir haben somit eine Kraft \(F_1\) über die Flüssigkeit auf auf einen anderen Kolben übertragen, der dann mit \(F_2\) gedrückt wird. Was bringt das? Es gibt hier zwei grosse Vorteile:

• Dezentrale Verteilung von Energie
• Einsatz als Kraftwandler, meist zur Erzeugung sehr hoher Kräfte

Um den ersten Vorteil besser zu verstehen, schauen wir uns einen Bagger genauer an. Er hat viele bewegliche Teile, die angetrieben werden müssen. Grundsätzlich könnte man jeden “Arm” mit einem eigenen Motor versehen. Mit Elektromotoren wäre das schon möglich, aber dann müsste der Bagger mit sehr viel Strom versorgt werden. Ein Bagger mit einem Kabel? Nicht gerade praktisch! Die Lösung: Ein Verbrennungsmotor treibt eine Pumpe an, die die Hydraulikflüssigkeit unter Druck setzt. Hochdruckschläuche verteilen diese Flüssigkeit und den Druck überall, wo er gebraucht wird. Mit einem Kolben kann dann eine Kraft erzeugt werden, die einen Teil des Baggers bewegt.

Wir haben also eine zentrale Druckerzeugung und eine sehr praktische und einfache Verteilung der Energie über flexible Schläuche.

Der zweite Vorteil wird z.B. in hydraulischen Pressen angewandt. Wir erzeugen mit einer Pumpe, d.h. mit einem Kolben mit kleiner Fläche \(A_1\) und einer relativ bescheidenen Kraft \(F_1\) einen Kolbendruck \(p\):

\[ p = \frac{F_1}{A_1} \]

Auf der anderen Seite nehmen wir einen zweiten Kolben mit einer grossen Fläche \(A_2\). Die Kraft \(F_2\) ist dann:

\[ F_2 = p \cdot A_2 \]

Je grösser wir die Fläche \(A_2\) machen, desto grösser wird die Kraft \(F_2\), ohne dass wir bei \(F_1\) etwas ändern müssen. Wir können so die Kraft unserer Pumpe um Faktoren vergrössern! Hydraulische Pressen erreichen extrem hohe Kräfte bis \(80\,\text{MN}\), was keine Pumpe oder Motor aufbringen könnte. Durch die Verwendung von verschieden grossen Flächen haben wir einen sog. Kraftwandler realisiert. Er wandelt die Kraft \(F_1\) in eine Kraft \(F_2\).

Beispiel

Welchen Druck \(p\) (in bar) und welche Kraft \(F_2\) erzeugt die hydraulische Presse?

\[ F_1 = 20\,\text{kN}, \quad A_1 = 10\,\text{cm}^2, \quad A_2 = 0.02\,\text{m}^2 \]

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Für den Druck nehmen wir die Definition “Kraft durch Fläche”:

\[ p = \frac{F_1}{A_1} = \frac{20\,\text{kN}}{10\,\text{cm}^2} \]

Um den Druck in Pascal zu erhalten, wandeln wir die Einheiten in Grundeinheiten um und benutzen die wissenschaftliche Notation:

\[ p = \frac{2 \cdot 10^4\,\text{N}}{10 \cdot (10^{-2}\,\text{m})^2} = \frac{2 \cdot 10^4}{10 \cdot 10^{-4}}\,\text{Pa} = 2 \cdot 10^7\,\text{Pa} = \underline{200\,\text{bar}} \]

Für die Kraft benutzen wir wieder die Definition des Drucks und lösen nach der Kraft auf:

\[ F_2 = p \cdot A_2 = 2 \cdot 10^7\,\frac{\text{N}}{\text{m}^2}\cdot 0.02\,\text{m}^2 = 0.04 \cdot 10^7\,\text{N} = \underline{400\,\text{kN}} \]