Histogramm

Wir nehmen wieder das gleiche Zufallsexperiment mit den gleichen Zahlen nach 20 Versuchen und nach 100 Versuchen. Dieses Mal legen wir nach jedem Wurf einen passenden “Ball” in das Fach der geworfenen Augenzahl. Damit entsteht eine Art Histogramm und die Höhe der Säule entspricht der absoluten Häufigkeit \(H_n\) für das entsprechende Ereignis.

Nach 20 Versuchen haben wir natürlich erst 20 Bälle verteilt und wir sehen wieder diesen grossen Unterschied zwischen der 4 mit sechs Bällen und der 5 mit nur einem Ball. Die Differenz dieser beiden beträgt

\[ \Delta H_{20} = 6-1 = 5 \]

Nach 100 Versuchen haben wir eine maximale Differenz der absoluten Häufigkeit von 

\[ \Delta H_{100} = 20-12 = 8 \]

Absolut gesehen, ist der Unterschied grösser. In Bezug auf die Höhe der höchsten Säule ist sie aber deutlich kleiner:

\[ \frac{\Delta H_{100}}{H_{100,max}} = \frac{8}{12} = \;\; 40\% \;\; < \;\; 83\% \;\; = \frac{5}{6} = \frac{\Delta H_{20}}{H_{20,max}} \]

Relativ gesehen, nehmen die Unterschiede mit steigender Anzahl Wiederholungen ab. Wir dividieren die absolute Häufigkeit mit der Anzahl Versuche und erhalten so die relativen Häufigkeiten \(h_n\). Ein Diagramm mit den Säulen der relativen Häufigkeiten heisst Histogramm.

Wir sehen hier, wie die Unterschiede mit zunehmender Zahl der Versuche abnehmen und wie die einzelnen Säulen sich einander angleichen. Theoretisch sollten sie bei einer unendlichen Anzahl Versuchen (\(n \rightarrow \infty\)) komplett verschwinden, denn alle Zahlen des Würfels sollten ja gleich häufig auftreten.

Es ist noch zu beachten, dass die Summe der absoluten Häufigkeit gleich der Anzahl Versuche \(n\) ist, denn es sind ja alle Bälle, die bis dahin verteilt worden sind:

\[ H_n(E_1) + H_n(E_2) + … + H_n(E_6) \;\; = \;\; n \]

Andererseits ist in den drei Histogrammen, die wir hier haben, die Summe der sechs Säulen immer eins:

\[ h_n(E_1) + h_n(E_2) + … + h_n(E_6) = \frac{H_n(E_1)}{n} + \frac{H_n(E_2)}{n} + … + \frac{H_n(E_6)}{n} \] 

\[ = \frac{1}{n} \cdot \Big( H_n(E_1) + H_n(E_2) + … + H_n(E_6) \Big) = \frac{1}{n} \cdot n = 1 \]

Schliesslich müssen die sechs Säulen, die zusammen 1 ergeben, die Höhe \(\frac{1}{6} \approx 1.67\) haben.