Wissenschaftliche Notation

Vom Kleinsten zum Grössten

Mit Hilfe der wissenschaftlichen Notation können wir unglaublich grosse Zahlen und auch unglaublich kleine Zahlen auf kompakte Art schreiben. Am Beispiel der realen Grössen in der Natur können wir erkennen, wie praktisch die wissenschaftliche Notation ist. Die kleinste Abmessung, die wir in der Physik kennen, ist die theoretisch berechnete Grösse des Universum zum Zeitpunkt des Urknalls in normaler und in wissenschaftlicher Notation:

\[ 0.0000000000000000000000000000000001\,\text{m} \]

\[ = 10^{-34}\,\text{m} \]

Seither sind rund 13.8 Milliarden Jahre vergangen und das Universum ist heute das Grösste, was wir uns vorstellen können, wenn überhaupt. Seine theoretisch berechnete Grösse beträgt in normaler und in wissenschaftlicher Notation:

\[ 100000000000000000000000000\,\text{m} \]

\[ = 10^{26}\,\text{m} \]

Wir können alles, was das Universum einschliesst, vom Kleinsten bis zum Grössten, mit der kompakten wissenschaftlichen Notation beschreiben, ohne dass wir uns mit dem Zählen von Nullen quälen müssen:

Grössenordnung

Der Trick der wissenschaftlichen Notation ist die Benützung von Zehnerpotenzen. Damit wird die Grössenordnung angegeben. Mit der Grössenordnung wird eine Klasse von Grössen gemeint, die mehr oder weniger gleich gross sind. Wir Menschen gehören in die Grössenordnung von ”wenigen Metern”:

\[ 1\,\text{m} \quad – \quad 9.9\,\text{m} \]

Dazu gehören z.B. Tische, Autos, kleine Bäume etc. Sie sind alle in der gleichen Grössenordnung wie wir Menschen. In wissenschaftlicher Notation schreiben wir die Zehnerpotenz \(10^0\) dazu. Beachten Sie, dass alles hoch null einfach eins ist.

\[ 1\cdot10^{0}\,\text{m} \quad – \quad 9.9\cdot10^{0}\,\text{m} \]

Eine Grössenordnung kleiner ist die von wenigen Dezimetern, d.h. 1 dm bis 9.9 dm. Dazu gehört z.B. unser Handy, ein Buch, ein Hocker, eine Katze etc.

\[ 1\cdot10^{-1}\,\text{m} \quad – \quad 9.9\cdot10^{-1}\,\text{m} \]

Die Grössenordnung grösser ist die von 10 m bis 99 m also z.B. Bäume, Lastwagen, Häuser, kleine Hügel etc. In wissenschaftlicher Notation schreiben wir:

\[ 1\cdot10^{1}\,\text{m} \quad – \quad 9.9\cdot10^{1}\,\text{m} \]

Mit der Zehnerpotenz klassifizieren wir die Grössen in Grössenordnungen. Das ist nicht besonders genau, aber es reicht zu sagen, dass Menschen und Autos etwa gleich gross sind, v.a. wenn wir sie mit anderen Grössenordnungen vergleichen. Wenn wir die Grösse der Erde vor Augen haben, sind Menschen und Autos wirklich etwa gleich gross oder eben sehr klein. Auch aus Sicht eines Bakteriums ist ein Mensch oder ein Auto etwa gleich riesig.

So geht’s!

Für grosse Zahlen schreiben wir einfach die Zehnerpotenz, wobei der Exponent einfach der Anzahl ”Nullen” nach der ersten Ziffer entspricht:

\[ 10 = 10^1 \]

\[ 100 = 10^2 \]

\[ 100’000’000 = 10^8 \]

Wenn wir jetzt eine Zahl haben, die von der reinen Zehnerpotenz abweicht, so schreiben wir einfach die Zahl mit einer Ziffer vor dem Komma und 2-4 Stellen nach dem Komma und multiplizieren dann mit der entsprechenden Zehnerpotenz:

\[ 20 = 2 \cdot 10^1 \]

\[ 2’500’000 = 2.5 \cdot 10^6 \]

\[ -7’954 = -7.954 \cdot 10^3 \]

Beachten Sie im letzten Beispiel, dass wir keine Nullen mehr haben. Es ist aber eine Zahl, die in die Grössenordnung der Tausender gehört. Statt Nullen können wir sagen, die Zahl hat nach der ersten Ziffer drei Stellen und deshalb \(10^3\). Wir haben jetzt nicht nur einen Tausender, sondern fast 8 Stück. Genauer gesagt sind es 7.954. Dann kommt noch hinzu, dass es eine negative Zahl ist, d.h. wir setzen zuvorderst ein Minuszeichen hin.

Für kleine Zahlen benutzen wir negative Exponenten. Wir wissen, dass ein negativer Exponent mit einem Kehrbruch geschrieben werden kann:

\[ 0.1 = 10^{-1} = \frac{1}{10^1} \]

\[ 0.01 = 10^{-2} = \frac{1}{10^2} \]

Wir können auch hier wieder die Anzahl Nullen nehmen, wobei wir die Null vor dem Komma auch mitzählen müssen:

\[ 0.000’001 = 10^{-6} \]

\[ 0.0025 = 2.5 \cdot 10^{-3} \]

\[ -0.7954 = -7.954 \cdot 10^{-1} \]

Wichtig ist, dass Sie die beiden negativen Vorzeichen im letzten Beispiel richtig deuten: Das erste Vorzeichen zeigt an, dass es eine negative Zahl ist. Das zweite negative Vorzeichen (im Exponenten) bedeutet, dass die Zahl vom Betrag her kleiner eins ist. Es ist deshalb eine kleine Zahl.

Auf den meisten Taschenrechnern können Sie zwischen der normalen (normal), der wissenschaftlichen (science) und der sog. Ingenieurnotation (engineering) wechseln. In der wissenschaftlichen Notation gibt Ihnen der Taschenrechner beispielsweise folgendes Resultat:

\[ 10+10 = \text{2E01} \]

Gemeint ist damit \(2 \cdot 10^1 = 20\). Für die Zehnerpotenz wird ”E” für Exponent angegeben. Sie können Zahlen in wissenschaftlicher Notation mit der ”E” oder ”EE”-Taste auch sehr einfach eingeben:

\[ -1.602 \cdot 10^{-19} = \text{-1.609E-19} \]

Achten Sie aber auf die Verwendung der richtigen Minus-Taste, denn die meisten Taschenrechner unterscheiden zwischen der Minus-Vorzeichen-Taste und der Minus-Subtraktion-Taste.

Verwendung von Präfixen

In den Naturwissenschaften werden die Zehnerpotenzen mit Präfixen (”Vorsilbe”) benannt. Geschrieben wird aber nur ein Buchstabe, der für den Namen des Präfixes steht. Der Vorteil: Statt ”zwei Mal zehn hoch 3 Meter” sagt man einfach ”zwei Kilometer”:

\(2 \cdot 10^3 \,\text{m} = 2 \,\text{k}\text{m}\)

\(5.6 \cdot 10^-6 \,\text{g} = 5.6 \,\mu\text{g}\)

Im ersten Beispiel wurde \(10^3\) durch ”kilo” bzw. k ersetzt. Im zweiten Beispiel haben wir statt \(10^{-6}\) einfach den griechischen Buchstaben \(\mu\) (”mü”) eingesetzt für das Präfix ”micro”. Es handelt sich hier um 5.6 Mikrogramm.

Die Grössenordnungen werden, mit ein paar wenigen Ausnahmen, nur für alle drei Zehnerpotenzen spezielle bezeichnet. Die Zahl vor der Zehnerpotenz lässt man dafür bis zu drei Stellen anwachsen, bevor man zum nächsten Präfix wechselt. In der folgenden Tabelle wird die Verwendung von Präfixen gezeigt am Beispiel der Einheiten Meter m und Hertz Hz. Der Grund: Es ist unüblich die Präfixe Mega und Giga für Meter einzusetzen. Bei den Frequenzen sind aber MHz und GHz sehr üblich.

\(0.000’000’002\) m	\(2 \cdot 10^{-9}\) m	\(2 \cdot 10^{-9}\) m	2 nm	nano
\(0.000’000’02\) m	\(2 \cdot 10^{-8}\) m	\(20 \cdot 10^{-9}\) m	20 nm
\(0.000’000’2\) m	\(2 \cdot 10^{-7}\) m	\(200 \cdot 10^{-9}\) m	200 nm
\(0.000’002\) m	\(2 \cdot 10^{-6}\) m	\(2 \cdot 10^{-6}\) m	2 µm	micro
\(0.000’02\) m	\(2 \cdot 10^{-5}\) m	\(20 \cdot 10^{-6}\) m	20 µm
\(0.000’2\) m	\(2 \cdot 10^{-4}\) m	\(200 \cdot 10^{-6}\) m	200 µm
\(0.002\) m	\(2 \cdot 10^{-3}\) m	\(2 \cdot 10^{-3}\) m	2 mm	milli
\(0.02\) m	\(2 \cdot 10^{-2}\) m	\(20 \cdot 10^{-3}\) m	20 mm
\(0.2\) m	\(2 \cdot 10^{-1}\) m	\(200 \cdot 10^{-3}\) m	200 mm
\(2\) m	\(2 \cdot 10^{0}\) m	\(2 \cdot 10^{0}\) m	2 m	(kein Präfix)
\(20\) m	\(2 \cdot 10^{1}\) m	\(20 \cdot 10^{0}\) m	20 m
\(200\) m	\(2 \cdot 10^{2}\) m	\(200 \cdot 10^{0}\) m	200 m
\(2’000\) m	\(2 \cdot 10^{3}\) m	\(2 \cdot 10^{3}\) m	2 km	kilo
\(20’000\) m	\(2 \cdot 10^{4}\) m	\(20 \cdot 10^{3}\) m	20 km
\(200’000\) m	\(2 \cdot 10^{5}\) m	\(200 \cdot 10^{3}\) m	200 km
\(2’000’000\) Hz	\(2 \cdot 10^{6}\) Hz	\(2 \cdot 10^{6}\) Hz	2 MHz	Mega
\(20’000’000\) Hz	\(2 \cdot 10^{7}\) Hz	\(20 \cdot 10^{6}\) Hz	20 MHz
\(200’000’000\) Hz	\(2 \cdot 10^{8}\) Hz	\(200 \cdot 10^{6}\) Hz	200 MHz
\(2’000’000’000\) Hz	\(2 \cdot 10^{9}\) Hz	\(2 \cdot 10^{9}\) Hz	2 GHz	Giga
\(20’000’000’000\) Hz	\(2 \cdot 10^{10}\) Hz	\(20 \cdot 10^{9}\) Hz	20 GHz
\(200’000’000’000\) Hz	\(2 \cdot 10^{11}\) Hz	\(200 \cdot 10^{9}\) Hz	200 GHz

Verwendungen von Präfixen bei Flächen und Volumina

Wir wissen, dass Meter für Strecken benutzt werden. Für Flächen werden Quadratmeter und für Volumina Kubikmeter benutzt. Hier möchten wir uns anschauen, wie wir umrechnen müssen, wenn wir Präfixe haben.