Ähnlichkeit

Bei der zentrischen Streckung haben wir jeweils drei zusammengehörende Punkte gestreckt und damit ähnliche Dreiecke produziert. Statt 3 Punkten können wir auch irgendeine Anzahl \(n\) Punkte und irgendein \(n\)-Eck zentrisch strecken. Die gestreckten Figuren sind um den Streckungsfaktor \(k\) gestreckt oder gestaucht, aber sie erscheinen uns immer noch “gleich” – die verschiedenen Figuren sind geometrisch ähnlich.

Geometrisch ähnliche Figuren haben die folgenden gemeinsamen Eigenschaften:

• Die sich entsprechenden Winkel sind gleich
• Die Streckenverhältnisse sind gleich, d.h. ihre Proportionen bleiben gleich

In der folgenden Abbildung sind die untereinander ähnlichen Figuren in der gleichen Farbe gehalten. 

Wir wissen, dass zwei Dreiecke geometrisch ähnlich sind, wenn ihre drei Winkel übereinstimmen und wenn ihre Seiten proportional sind. Oft ist es aber so, dass wir nicht diese ganzen Informationen zur Verfügung haben und wir trotzdem wissen möchten, ob zwei Dreiecke ähnlich sind oder nicht.

Ähnlichkeitssätze bei Dreiecken

W:W:W-Satz

Der erste Ähnlichkeitssatz ist nach den drei Winkeln benannt. Eigentlich reicht es, wenn wir nur zwei Winkel kennen. Der dritte Winkel kann ja mit der Winkelsumme von 180° im Dreieck berechnet werden. Trotzdem wird der Satz mit 3 “W”s bezeichnet:

W:W:W-Satz: Die zwei Dreiecke \(ABC\) und \(A’B’C’\) mit drei gleichen Winkeln sind geometrisch ähnlich:

\[ \alpha = \alpha’ \quad \text{und} \quad \beta = \beta’ \quad (\text{und} \quad \gamma = \gamma’) \]

Beispiel

Zeige mit Hilfe des W:W:W-Satzes, dass die beiden Dreiecke \(ABC\) und \(A’B’C’\) geometrisch ähnlich sind.

Lösung

Im linken Dreieck sind die Winkel \(\alpha\) und \(\alpha’\) Scheitelwinkel und somit sind sie gleich: \[ \alpha = \alpha’ \] Wenn die Seiten \(a\) und \(a’\) parallel zu einander sind, dann schliessen sie mit \(c\) bzw. \(c’\) den gleichen Winkel \(\beta\) bzw. \(\beta’\) sein, d.h. es gilt: \[ \beta = \beta’ \] Beide Dreiecke haben je zwei Winkel gemeinsam. Aus der Winkelsumme \(\alpha + \beta + \gamma = 180\si{\degree}\) folgt, dass auch der dritte Winkel gleich sein muss: \[ \gamma = \gamma’ \] Somit haben wir für beide Dreiecke die gleichen drei Winkel. Die beiden Dreiecke sind unterschiedlich gross, aber sie sind geometrisch ähnlich.

S:S:S-Satz

Beim S:S:S-Satz geht es um Seiten-Verhältnisse. Geometrisch ähnliche Dreiecke können verschieden gross sein, d.h. die Seiten müssen nicht gleich gross sein, wie bei den Kongruenzsätzen.

Die Proportionen müssen gleich sein, d.h. die Verhältnisse der Seiten zueinander oder die Verhältnisse der Seiten zwischen den beiden Dreiecken, müssen immer gleich sein, damit zwei Dreiecke ähnlich sind.

S:S:S-Satz: Zwei Dreiecke \(ABC\) und \(A’B’C’\) sind geometrisch ähnlich, wenn die drei Seitenverhältnisse gleich sind. Wir können die entsprechenden Seiten bei den beiden Dreiecken miteinander verlgleichen…

\[ \frac{a}{a’} = \frac{b}{b’} = \frac{c}{c’} \]

…oder wir betrachten die Verhältnisse der Seiten im Dreieck selbst:

\[ \frac{a}{b} = \frac{a’}{b’} \qquad \qquad \frac{a}{c} = \frac{a’}{c’} \qquad \qquad \frac{b}{c} = \frac{b’}{c’} \]

Beispiel

Beweise, dass die beiden Dreiecke ähnlich sind.

Lösung

Wir schauen uns die Verhältnisse der Strecken auf den beiden Strahlen an. Den ersten Bruch erweitern wir mit 10 und kürzen dann mit 8: \[ \frac{4}{1.6}=\frac{40}{16}=\frac{5}{2}=2.5 \] Mit dem Zweiten Strahlensatz wissen wir, dass auch \[ \frac{a’}{a}=2.5 \] Damit hätten wir mit dem SSS-Satz nachgewiesen, dass die beiden Dreiecke ähnlich sind.

S:W:S-Satz

Wenn wir nur zwei Seitenverhältnisse haben, brauchen wir eine dritte Information, um über die Ähnlichkeit von zwei Dreiecken eine Aussage machen zu können.

Haben wir den Winkel zwischen den beiden Seiten, von welchen wir das Seitenverhältnis kennen, dann können wir die Ähnlichkeit mit dem S:W:S-Satz beweisen.

Beachte: Es klappt nicht mit einem anderen Winkel! Hier gibt es mehrere Lösungen, wobei gewisse Scheinlösungen geometrisch nicht ähnlich sind, obwohl die beiden (fälschlicherweise) betrachteten Winkel gleich sind.

S:W:S-Satz: Zwei Dreiecke sind geometrisch ähnlich, wenn die zwei Seitenverhältnisse und gleich sind, sowie die von den betreffenden Seiten eingeschlossenen Winkel gleich sind:

\[ \frac{b}{b’} = \frac{c}{c’} \quad \text{und} \quad \alpha = \alpha’ \]

Schauen wir uns nochmals kurz das Bild aus dem vorigen Beispiel an:

Hier haben wir auch nur zwei Seitenverhältnisse gegeben. Allerdings gibt uns die Skizze noch eine zusätzliche Information, nämlich dass der eingeschlossene Winkel zwischen den beiden Strahlen gleich ist. Damit hatten wir eigentlich eine SWS-Aufgabe.

S:S:W-Satz

Wenn wir nur zwei Seitenverhältnisse haben, können wir die dritte Information auch vom Winkel kriegen, der gegenüber der grösseren Seite ist.

S:S:W-Satz: Zwei Dreiecke sind geometrisch ähnlich, wenn die zwei Seitenverhältnisse und der Winkel gegenüber der jeweils grössten Seite im Dreieck gleich sind:

\[ \frac{b’}{b} = \frac{c’}{c} \quad \text{und} \quad \gamma = \gamma’ \]

In der nachfolgenden Grafik (links) wird gezeigt, dass ein gleicher Winkel (hier \(\beta’\)) gegenüber einer kürzeren Seite, zu mehreren Lösungen führt (links).

In der Grafik rechts ist der Winkel aber gegenüber der grösseren Seite (hier \(\gamma’\)). Es gibt nur eine eindeutige Lösung.

Beachte, dass der andere Schnittpunkt des Kreisbogens mit der gestrichelten Linie weiter oben zwar zu einem anderen Dreieck führt, das aber keine gültige Lösung darstellt. Nehmen wir nämlich den anderen Punkt, so wird die mit dem Radius 7 abgetragene Seite nicht zu einer Seite \(c’\), sondern zu einer Seite \(b’\), für die ein anderes Seitenverhältnis gilt. Sie hat somit nicht die Länge 7.