Integrale

Die Integralrechnung befasst sich am Anfang v.a. mit der Berechnung der Fläche unterhalb eines Funktionsgraphen. Die Möglichkeiten, die sich mit der Integralrechnung eröffnen sind aber viel, viel weitgehender als nur Flächenberechnungen. Sie sind sehr vielseitig einsetzbar und von grosser Bedeutung, v.a. in den Natur- und Ingenieurwissenschaften.

Wir fangen aber mit der Frage an, wie wir die Fläche \(A\) zwischen dem Verlauf der Funktion \(f(x)\) und der \(x\)-Achse berechnen können. Wir werden das am Beispiel der uns wohl bekannten quadratischen Funktion \(f(x)=x^2\) tun. Vertikal gesehen, ist die Fläche durch die \(x\)-Achse und den Funktionsverlauf gegeben. Horizontal gesehen, beschränken wir die Fläche mit den \(x\)-Positionen von \(0\) bis \(4\).

Wie berechnen wir eine solche Fläche? Wir können der Wahrheit näher kommen, indem wir eine Vielzahl von Rechtecken aufstellen und deren Flächen addieren. Die Rechtecke sind Säulen mit der Breite \(\Delta x\) und einer Höhe, die durch die Funktion gegeben ist. Auf der \(x\)-Achse schauen wir bestimmte \(x_i\)-Positionen an. Die Rechtecke haben somit die Fläche \(f(x_i) \cdot \Delta x\).

Die Fläche \(A\) ist damit näherungsweise die Summe aller Rechteckflächen:

\[ A \approx f(x_1)\Delta x + f(x_2)\Delta x + … \]

\[ … + f(x_i)\Delta x + … + f(x_{16})\Delta x \]

Wir klammern \(\Delta x\) aus:

\[ A \approx \Big[f(x_1) + … + f(x_{16})\Big]\Delta x \]

Statt die vielen Summanden aufzuzählen, schreiben wir ein Summenzeichen in der abgekürzten Schreibweise. Wir wissen aber, dass die Positionen \(x_i\) von \(x_1 = 0\) bis \(x_{16} = 4-\Delta x\) laufen.

\[ A \approx \Big[ \sum_{i} f(x_i) \Big] \cdot \Delta x = \sum_{i} \Big( f(x_i) \Delta x \Big) \]

Natürlich stimmt die Fläche so noch nicht sehr genau. Je schmaler die Rechtecke, desto feiner die Treppenstufen, desto genauer wird die Rechnung. Für die höchste Genauigkeit müssen wir einen Grenzwert berechnen und die Breite der Rechtecke \(\Delta x\) gegen null laufen lassen.

\[ A = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \Big[ \sum_{i} \Big( f(x_i) \Delta x \Big) \Big] \]

Diese Schreibweise ist nicht nur etwas kompliziert, sondern auch nicht ganz vollständig. Wir führen deshalb eine neue Schreibweise ein mit dem Integral:

\[ A = \int_{0}^{4} f(x)\,dx = \int_{0}^{4} x^2\,dx \]

Das Integralzeichen \(\int\) ersetzt den Grenzwert und die Summe \(\sum\). Es ist eine Art langgezogenes “S” für “Summe” und es ist genau so gemeint: Summe der unendlich vielen und unendlich schmalen Rechtecke.

Die kleinen Zahlen unter und über dem Integralzeichen heissen Integrationsgrenzen. Die Summe läuft von der unteren Grenze bis zur oberen Grenze. Wir lesen das Geschriebene so: Integral von \(f(x)\) über \(x\), laufend von \(0\) bis \(4\).

\(x\) ist die Integrationsvariable. Sie wird manchmal auch Laufvariable genannt, weil sie von der unteren Grenze zur oberen Grenze “läuft”, wenn wir integrieren. Statt einer Breite \(\Delta x\) schreiben wir die unendlich kleine Breite \(dx\). Diese ist unendlich schmal und als Grenzwert zu verstehen. Man sagt \(dx\) ist infinitesimal klein, d.h. unendlich klein und doch nicht einfach null.

Beispiel

Stelle einen Ausdruck für die Fläche von \(3\) bis \(4\) unterhalb von \(f(x)=x^2\) auf.

---

Wir wissen, dass wir mit dem Integral \(\int_{0}^{4} f(x)\,dx\;\) die Fläche von \(0\) bis \(4\) berechnen können. Entsprechend können wir mit dem Integral \(\int_{0}^{3} f(x)\,dx\;\) die Fläche von \(0\) bis \(3\) berechnen. Die Differenz der beiden ergibt genau die gesuchte Fläche von \(3\) bis \(4\):

Beispiel

Wie viel beträgt der Wert des folgenden Integrals?

\[ \int_{0}^{2\pi} \sin(x)\,dx \]

---

Beide Flächen sind aus symmetrischen Gründen gleich gross. Die Funktionswerte in der ersten Fläche sind positiv. In der zweiten Fläche sind die Funktionswerte gleich gross wie die entsprechenden in der zweiten Fläche, jedoch sind sie negativ.

Wenn beide Flächen gleich gross sind, jedoch ein unterschiedliches Vorzeichen haben, ist ihre Summe einfach null.

\[ \int_{0}^{2\pi} \sin(x)\,dx = 0 \]

Beispiel

Berechne das folgende Integral:

\[ \int_{0}^{x} f(s)\,ds \qquad \text{mit} \qquad f(s)=s \]

---

Wir machen eine kleine Skizze und sehen, dass mit dem Integral die Fläche von \(0\) bis \(x\), unterhalb der 45°-Geraden, gemeint ist. Da es sich hier um eine sehr einfache Funktion handelt, können wir die Fläche mit unseren Geometriekenntnissen angeben. Sie ist die Hälfte des Quadrats mit Seitenlänge \(x\):

\[ A = \frac{1}{2}x^2 \]

Beachte, dass im oberen Beispiel \(x\) eine fixe Grösse (Zahl) ist und wir deshalb eine andere Laufvariable als \(x\) brauchen. Es kommt nicht darauf an, ob die Laufvariable \(x\), \(s\) oder \(t\) heisst, solange wir \(f(x)\), \(f(s)\) und \(f(t)\) im entsprechenden Fall einsetzen. Zur Veranschaulichung betrachten wir das verwandte Summenzeichen:

\[ \sum_{i}a_i = \sum_{j}a_j = \sum_{k}a_k \]

Auch hier kommt es nicht darauf an, wie wir den Zähler nennen, ob \(i\). \(j\) oder \(k\). Deshalb gilt auch beim Integral:

\[ \int f(x)\,dx = \int f(s)\,ds = \int f(t)\,dt \]